北师大版七年级下册数学知识点归纳总结.docx
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七年级下册数学北师大版知识点总结
第一章、整式的乘除
第一节、同底数幕的乘法
1、 n个相同因式(或因数)a相乘,记作a%读作a的n次方(矗),其中a为底数,n为指数,a11的结果叫做幕。
2、 底数相同的幕叫做同底数幕。
3、 同底数蓦乘法的运算法则:
同底数幕相乘,底数不变,指数相加。
BP:
am•an=am+no
4、 此法则也可以逆用,即:
am+n=am•an0
5、 底数不相同的幕的乘法,如果可以化成底数相同的幕的乘法,先化成同底数幕再运用法则。
第二节、幕的乘方与积的乘方
一、 幕的乘方
1、 矗的乘方是指几个相同的幕相乘。
(am)n表示n个a1"相乘。
2、 矗的乘方运算法则:
矗的乘方,底数不变,指数相乘。
(a^^a^o
3、 此法则也可以逆用,即:
amn=(am)n=(an)ra0
二、 积的乘方
1、 积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。
2、 积的乘方运算法则:
积的乘方,等于把积中的每个因式分别乘方,然后把所得的幕相乘。
即(ab)n=anbno
3、 此法则也可以逆用,即:
anbn=(ab)no
三、 三种“幕的运算法则”异同点
1、共同点:
(1) 法则中的底数不变,只对指数做运算。
(2) 法则中的底数(不为零)和指数具有普遍性,即可以是数,也可以是式(单项式或多项式)。
(3) 对于含有3个或3个以上的运算,法则仍然成立。
2、不同点:
(1)同底数幕相乘是指数相加。
⑵蓦的乘方是指数相乘。
(3)积的乘方是每个因式分别乘方,再将结果相乘。
第三节、同底数幕的除法
1、 同底数幕的除法法则:
同底数蓦相除,底数不变,指数相减,即:
am-an=am'n(a尹0)。
2、 此法则也可以逆用,即:
am-n=am^an(a^0)o
3、 零指数幕的意义:
任何不等于0的数的0次矗都等于1,即:
a°=l(a^0)o
4、 任何不等于0的数的-n(n为正整数)次暴,等于这个数的n次矗的倒数,即:
an=l/ano
注:
在同底数矗的除法、零指数幕、负指数幕中底数不为0。
第四节、整式的乘法
一、 单项式与单项式相乘
1、 单项式乘法法则:
单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幕分别相乘,其余字母连同它的指数不变,作为积的因式。
2、 系数相乘时,注意符号。
3、 相同字母的幕相乘时,底数不变,指数相加。
4、 对于只在一个单项式中含有的字母,连同它的指数一起写在积里,作为积的因式。
5、 单项式乘以单项式的结果仍是单项式。
6、 单项式的乘法法则对于三个或三个以上的单项式相乘同样适用。
二、 单项式与多项式相乘
1、 单项式与多项式乘法法则:
单项式与多项式相乘,就是根据分配率用单项式去乘多项式中的每一项,再把所得的积相加。
即:
m(a+b+c)=ma+mb+mc。
2、 运算时注意积的符号,多项式的每一项都包括它前面的符号。
3、 积是一个多项式,其项数与多项式的项数相同。
4、 混合运算中,注意运算顺序,结果有同类项时要合并同类项,从而得到最简结果。
三、多项式与多项式相乘
1、 多项式与多项式乘法法则:
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。
即:
(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。
2、 多项式与多项式相乘,必须做到不重不漏。
相乘时,要按一定的顺序进行,即一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项。
3、 多项式的每一项都包含它前面的符号,确定积中每一项的符号时应用“同号得正,异号得负”。
4、 对于含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘时,可以运用下面的公式简化运算:
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab。
注意:
①多项式与多项式相乘的结果仍是多项式,在合并同类项之前,积的项数等于两个多项式项数的积。
②结果中有同类项,则要合并,所得的结果必须化为最简的形式。
第五节、平方差公式
K(a+b)(a-b)=a2-b2,即:
两数和与这两数差的积,等于它们的平方之差。
2、 平方差公式中的a、b可以是单项式,也可以是多项式。
3、 平方差公式可以逆用,即:
a2-b2=(a+b)(a-b)o
4、 平方差公式还能简化两数之积的运算,解这类题,首先看两个数能否转化成(a+b)(a-b)的形式,然后看a?
与b?
是否容易计算。
第六节、完全平方公式
K(a+b)2=a2+2ab+b2或(a-b)2=a2-2ab+b2即:
两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍。
2、 公式中的a,b可以是单项式,也可以是多项式。
3、 掌握理解完全平方公式的变形公式:
(1) a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab=l/2[(a+b)2+(a-b)2]
(2) (a+b)2=(a-b)2+4ab
(3) ab=l/4[(a+b)2-(a-b)2]
4、 完全平方式:
我们把形如a2+2ab+b2或a?
-2ab+b2的二次三项式称作完全平方式。
5、 当计算较大数的平方时,利用完全平方公式可以简化数的运算。
6、 完全平方公式可以逆用,a2+2ab+b2=(a+b)2或a2-2ab+t)2=(a-b)2。
7、 巧记口诀:
首平方,尾平方,2倍乘积在中央。
第七节、整式的除法
一、 单项式除以单项式的法则
1、 单项式除以单项式的法则:
一般地,单项式相除,把系数、同底数幕分别相除后,作为商的因式;对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式。
2、 根据法则可知,单项式相除与单项式相乘计算方法类似,也是分成系数、相同字母与不相同字母三部分分别进行考虑。
二、 多项式除以单项式的法则
1、 多项式除以单项式的法则:
多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项分别除以单项式,再把所得的商相加。
用字母表示为:
(a+b+c)4-m=a4-m+b4-m+c-Fm
2、 多项式除以单项式,注意多项式各项都包括前面的符号。
三、 整式的混合运算
1、 含有整式的加减、乘除及乘方的多种运算叫做整式的混合运算。
2、 整式的混合运算顺序:
先乘方,再乘除,后加减。
有括号时,先算括号里面的;去括号时,先去小括号,再去中括号,最后去大括号。
第二章、相交线与平行线
第一节、两条直线的位置关系
一、 平行线与相交线
1、 平行线:
在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。
2、 相交线:
在同一平面内,若两条直线只有一个公共点,我们称这两条直线为相交线。
3、 在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:
相交和平行。
(两条完全重合的直线视为一条直线)
二、 余角与补角
1、如果两个角的和是直角,那么称这两个角互为余角,简称为互余,称其中一个角是另一个角的余角。
2、 如果两个角的和是平角,那么称这两个角互为补角,简称为互补,称其中一个角是另一个角的补角。
3、 互余和互补是指两角和为直角或两角和为平角,它们只与角的度数有关,与角的位置无关。
4、 余角和补角的性质:
同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等。
5、 余角和补角的性质是证明两角相等的一个重要方法。
三、 对顶角
1、 两条直线相交成四个角,其中不相邻的两个角是对顶角。
2、 一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,这两个角叫做对顶角。
3、 对顶角的性质:
对顶角相等。
4、 对顶角的性质在今后的推理说明中应用非常广泛,它是证明两个角相等的依据及重要桥梁。
5、 对顶角是从位置上定义的,对顶角一定相等,但相等的角不一定是对顶角。
四、 垂线及其性质
1、 垂线:
两条直线相交成直角时,叫做互相垂直,其中一条叫做另一条的垂线。
2、 垂线的性质:
性质1:
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2:
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。
五、 同位角、内错角、同旁内角
1、 两条直线被第三条直线所截,形成了8个角。
2、 同位角:
两个角都在两条直线的同侧,并且在第三条直线(截线)的同旁,这样的一对角叫做同位角。
3、 内错角:
两个角都在两条直线之间,并且在第三条直线(截线)的两旁,这样的一对角叫做内错角。
4、 同旁内角:
两个角都在两条直线之间,并且在第三条直线(截线)的同旁,这样的一对角叫同旁内角。
5、 这三种角只与位置有关,与大小无关,通常情况下,它们之间不存在固定的大小关系。
六、六类角
1、 补角、余角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角六类角都是对两角来说的。
2、 余角、补角只有数量上的关系,与其位置无关。
3、 同位角、内错角、同旁内角只有位置上的关系,与其数量无关。
4、 对顶角既有数量关系,又有位置关系。
第二节、平行线的判定方法
1、
同位角相等,两直线平行。
2、
内错角相等,两直线平行。
3、
同旁内角互补,
两直线平行。
4、
在同一平面内,
如果两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线平行。
5、
在同一平面内,
如果两条直线都垂直于第三条直线,那么这两条直线平行。
6、
在同一平面内,
两条直线永不相交,那么这两条直线平行。
7、
在同一平面内,
两条直线间的距离处处相等,那么这两条直线平行。
第三节、平行线的性质
1、两直线平行,同位角相等。
2、两直线平行,内错角相等。
3、两直线平行,同旁内角互补。
第四节、用尺规作角
1、 在几何里,只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图。
2、 尺规作图是最基本、最常见的作图方法,通常叫基本作图。
3、 尺规作图中直尺的功能是:
(1)在两点间连接一条线段;
(2)将线段向两方延长。
4、 尺规作图中圆规的功能是:
(1)以任意一点为圆心,任意长为半径作一个圆;
(2)以任意一点为圆心,任意长为半径画一段孤。
5、熟练掌握以下作图语言:
(1)作射线XX;
(2)在射线上截取XX=XX;(3)在射线XX±依次截取XX=XX=XX;(4)以点X为圆心,XX为半径画孤,交乂乂于点乂;(5)分别以点X、点X为圆心,以XX、XX为半径作孤,两孤相交于点X;⑹过点X和点X画直线XX(或画射线XX);⑺在ZXXX的外部(或内部)画zxxx=zxXXo6、在作较复杂图形时,涉及基本作图的地方,不必重复作图的详细过程,只用一句话概括叙述就可以了。
(1)画线段xx=xX;
(2)画zxxx=zxXxo
第三章、变量之间的关系
第一节、用表格表示变量间关系
一、 变量、常量、自变量、因变量
1、 在某一变化过程中,不断变化的量叫做变量。
数值始终不变的量叫做常量。
2、 如果一个变量y随另一个变量x的变化而变化,则把x叫做自变量,y叫做因变量。
3、 自变量与因变量的确定:
(1)自变量是先发生变化的量;因变量是后发生变化的量。
(2)自变量是主动发生变化的量,因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。
(3)利用具体情境来体会两者的依存关系。
二、 表格
1、 表格是表达、反映数据的一种重要形式,从中获取信息、研究不同量之间的关系。
(1) 首先要明确表格中所列的是哪两个量;
(2) 分清哪一个量为自变量,哪一个量为因变量;
(3) 结合实际情境理解它们之间的关系。
2、 绘制表格表示两个变量之间关系
(1) 列表时首先要确定各行、各列的栏目;
(2) 一般有两行,第一行表示自变量,第二行表示因变量;(3)写出栏目名称,有时还根据问题内容写上单位;
(4) 在第一行列出自变量的各个变化取值;第二行对应列出因变量的各个变化取值。
(5) 一般情况下,自变量的取值从左到右应按由小到大的顺序排列,这样便于反映因变量与自变量之间
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