高考数学导数的综合应用.docx
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高考数学导数的综合应用
第二轮专题复习:
导数的综合应用(教师版)
★★★高考在考什么
【考题回放】
2.(06江西卷)对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1)f(x)0,则必有(C)
A.f(0)+f
(2)2f
(1)B.f(0)+f
(2)2f
(1)
C.f(0)+f
(2)2f
(1)D.f(0)+f
(2)2f
(1)
解:
依题意,当x1时,f(x)0,函数f(x)在(1,+)上是增函数;当x1时,f(x)0,f(x)在(-,1)上是减函数,故f(x)当x=1时取得最小值,即有f(0)f
(1),f
(2)f
(1),故选C
3.(06全国II)过点(-1,0)作抛物线y=x2+x+1的切线,则其中一条切线为
(A)2x+y+2=0(B)3x-y+3=0(C)x+y+1=0(D)x-y+1=0
解:
y=2x+1,设切点坐标为(x0,y0),则切线的斜率为2x0+1,且y0=x02+x0+1
于是切线方程为y-(x02+x0+1)=(2x0+1)(x-x0),因为点(-1,0)在切线上,可解得
x0=0或-4,代入可验正D正确。
选D
4.(06四川卷)曲线y=4x-x3在点(-1,-3)处的切线方程是
(A)y=7x+4(B)y=7x+2(C)y=x-4(D)y=x-2
解:
曲线y=4x-x3,导数y=4-3x2,在点(-1,-3)处的切线的斜率为k=1,所以切线方程是y=x-2,选D.
5.(06天津卷)函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点( )
A.1个B.2个
C.3个D.4个
解析:
函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示,函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点,其导数值为由负到正的点,只有1个,选A.
6.(浙江卷)f(x)=x3-3x2+2在区间[-1,1]上的最大值是
(A)-2(B)0(C)2(D)4
解:
f(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f(x)=0可得x=0或2(2舍去),当-1x0时,f(x)0,当0x1时,f(x)0,所以当x=0时,f(x)取得最大值为2。
选C
9.(湖南卷)曲线和y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积
是.
解析:
曲线和y=x2在它们的交点坐标是(1,1),两条切线方程分别是y=-x+2和y=2x-1,它们与x轴所围成的三角形的面积是.
(安徽卷)设函数f(x)=x3+bx2+cx(xR),已知g(x)=f(x)-f(x)是奇函数。
(Ⅰ)求b、c的值。
(Ⅱ)求g(x)的单调区间与极值。
【专家解答】:
(Ⅰ)∵f(x)=x3+bx2+cx,∴f(x)=3x2+2bx+c.从而g(x)=f(x)-f(x)=x3+bx2+cx-(3x2+2bx+c)=x3+(b-3)x2+(c-2b)x-c是一个奇函数,所以g(0)=0得c=0,由奇函数定义得b=3;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知g(x)=x3-6x,从而g(x)=3x2-6,由此可知,
和是函数g(x)是单调递增区间;
是函数g(x)是单调递减区间;
g(x)在时,取得极大值,极大值为,g(x)在时,取得极小值,极小值为。
★★★高考要考什么
【考点透视】
从近几年的高考命题分析,高考对到导数的考查可分为三个层次:
第一层次是主要考查导数的概念和某些实际背景,求导公式和求导法则。
第二层次是导数的简单应用,包括求函数的极值,求函数的单调区间,证明函数的增减性等;
第三层次是综合考查,包括解决应用问题,将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的切线问题等有机的结合在一起,设计综合试题。
【热点透析】
导数综合试题,主要有以下几方面的内容:
1.函数,导数,不等式综合在一起,解决单调性,参数的范围等问题,这类问题涉及到含参数的不等式,不等式的恒成立,能成立,恰成立的求解;
2.函数,导数,方程,不等式综合在一起,解决极值,最值等问题,这类问题涉及到求极值和极值点,求最值,有时需要借助于方程的理论解决问题;
3.利用导数的几何意义,求切线方程,解决与切线方程有关的问题;
4.通过构造函数,以导数为工具,证明不等式.
5.导数与其他方面的知识的综合
★★★高考将考什么
【范例1】设函数f(x)=ax3-2bx2+cx+4d(a、b、c、d∈R)的图象关于原点对称,且x=1时,f(x)取极小值-。
(1)求a、b、c、d的值;
(2)当x∈[-1,1]时,图象上是否存在两点,使得过此两点的切线互相垂直?
试证明你的结论;
(3)若x1,x2∈[-1,1]时,求证:
|f(x1)-f(x2)|≤。
解答
(1)∵函数f(x)图象关于原点对称,∴对任意实数x,都有f(-x)=-f(x).
∴-ax3-2bx2-cx+4d=-ax3+2bx2-cx-4d,即bx2-2d=0恒成立.
∴b=0,d=0,即f(x)=ax3+cx.∴f′(x)=3ax2+c.
∵x=1时,f(x)取极小值-.∴f′
(1)=0且f
(1)=-,
即3a+c=0且a+c=-.解得a=,c=-1.
(2)证明:
当x∈[-1,1]时,图象上不存在这样的两点使结论成立,假设图象上存在
两点A(x1,y1)、B(x2+y2),使得过这两点的切线互相垂直,
则由f′(x)=x2-1,知两点处的切线斜率分别为k1=x12-1,k2=x22-1,
且(x12-1)(x22-1)=-1.(*)
∵x1、x2∈[-1,1],∴x12-1≤0,x22-1≤0
∴(x12-1)(x22-1)≥0,这与(*)相矛盾,故假设不成立.
(3)证明:
∵f′(x)=x2-1,由f′(x)=0,得x=±1.
当x∈(-∞,-1)或(1,+∞)时,f′(x)>0;当x∈(-1,1)时,f′(x)<0.
∴f(x)在[-1,1]上是减函数,且fmax(x)=f(-1)=,fmin(x)=f
(1)=-.
∴在[-1,1]上,|f(x)|≤.
于是x1,x2∈[-1,1]时,|f(x1)-f(x2)|≤|f(x1)|+|f(x2)|≤+=.
故x1,x2∈[-1,1]时,|f(x1)-f(x2)|≤.
【点晴】①若x0点是y=f(x)的极值点,则f′(x0)=0,反之不一定成立;
②在讨论存在性问题时常用反证法;
③利用导数得到y=f(x)在[-1,1]上递减是解第(3)问的关键.
【文】设函数
(1)求函数的单调区间、极值.
(2)若当时,恒有,试确定a的取值范围.
解答:
(1)=
令得
列表如下:
x
(-∞,a)
a
(a,3a)
3a
(3a,+∞)
-
0
+
0
-
极小
极大
∴在(a,3a)上单调递增,在(-∞,a)和(3a,+∞)上单调递减
时,,时,
(2)
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