河北中考数学复习第12讲 一次函数的实际应用Word下载.docx
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5x+200=500x+200,y火=240×
1.6x+
5x+
2280=396x+2280.
若y汽>y火,则500x+200>396x+2280.
解得x>20.
(3)上周货运量
=(17+20+19+22+22+23+24)÷
7=21>20.
从平均数分析,建议下一周预定火车,可以使每天的运输总费用较省.
从折线图走势分析,上周货运量周四(含周四)后大于20t且呈上升趋势,建议下一周预订火车,可以使每天的运输总费用较省.
2.(2015,河北)如图,水平放置的容器内原有210mm高的水,将若干个球逐一放入该容器中,每放入一个大球水面就上升4mm,每放入一个小球水面就上升3mm,假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出.设水面高为ymm.
(1)只放入大球,且个数为x大,求y关于x大的函数解析式;
(不必写出x大的取值范围)
(2)仅放入6个大球后,开始放入小球,且小球的个数为x小.
①求y关于x小的函数解析式;
(不必写出x小的取值范围)
②限定水面高不超过260mm,最多能放入几个小球?
第2题图
【思路分析】
(1)根据每放入一个大球水面就上升4mm,即可解答.
(2)①根据y=放入小球水面上升的高度+放入大球水面上升的高度+210,即可解答.②根据题意列出不等式,即可解答.
(1)根据题意,得y=4x大+210.
(2)①根据题意,得y=3x小+4×
6+210=3x小+234.
②依题意,得3x小+234≤260.
解得x小≤8
.
∵x小为自然数,
∴x小最大为8,即最多能放入8个小球.
图象型一次函数应用题
例1(2018,秦皇岛海港区模拟)有A,B两个港口,水由A港口流向B港口,水流的速度是4km/h.甲、乙两船同时由A港口顺流驶向B港口,各自不停地在A,B两个港口之间往返航行.甲船在静水中的速度是28km/h,乙船在静水中的速度是20km/h.
设甲船航行的时间为th,甲船距B港口的距离为s1km,乙船距B港口的距离为s2km.如图所示的是s1(km)与t(h)之间的函数关系的部分图象.
(1)A,B两个港口之间的距离是96km;
(2)在图中画出乙船从出发到第一次返回A港口这段时间内,s2(km)与t(h)之间的函数关系的图象;
(3)甲、乙两船第二次(不算开始时甲、乙两船在A港口处的那一次)在位于A,B港口的什么位置相遇?
例1题图
【思路分析】
(1)已知甲船顺流航行的速度为(28+4)km/h.从图象中可看出甲船由A港口顺流驶向B港口的航行时间是3h,据此可求出A,B两个港口之间的距离.
(2)乙船顺流航行和逆流航行的速度是已知的,根据
(1)中所求的距离可以求出往返的时间分别是4h,6h,故图象是过起点(0,96),转折点(4,0),终点(10,96)的两段折线.(3)图象中,线段EF和CD的交点表示两船第二次相遇,故由点的坐标求出两直线的解析式,再求交点坐标即可.
(1)96
(2)如答图.
(3)由图象,知E(7,96),F(10,0),C(10,96),D(4,0),
∴直线EF的解析式为s1=-32t+320,直线CD的解析式为s2=16t-64.
解方程组
得
所以甲、乙两船第二次在距离B港口64km处相遇.
例1答图
针对训练1(2018,临安)某市推出电脑上网包月制,每月收取费用y(元)与上网时间x(h)之间的函数关系如图所示,其中BA是线段,且BA∥x轴,AC是射线.
(1)当x≥30时,求y关于x的函数解析式;
(2)若小李4月份上网20h,他应付多少元的上网费用?
(3)若小李5月份的上网费用为75元,则他在5月份的上网时间是多少?
训练1题图
【思路分析】
(1)由图可知,当x≥30时,是一次函数的图象.设函数解析式为y=kx+b,利用待定系数法求解即可.
(2)从图象上看,30h以内的上网费用都是60元.(3)因为75>
60,所以当y=75时,代入
(1)中的函数解析式计算出x的值即可.
(1)当x≥30时,设函数解析式为y=kx+b.
把(30,60),(40,90)代入,得
解得
所以y关于x的函数解析式为y=3x-30.
(2)观察图象,可知若小李4月份上网20h,他应付60元的上网费用.
(3)∵75>
60,
∴75=3x-30.
解得x=35.
所以小李在5月份的上网时间是35h.
表格型一次函数应用题
例2今年4月初,某地连续降雨导致该地某水库水位持续上涨,下表是该水库4月1日至4月4日的水位变化情况:
日期x
1
3
4
水位y/m
20
20.5
21
21.5
请建立该水库水位y与日期x之间的函数模型.
【思路分析】由给出的表格中的数据可知水库水位y与日期x之间的函数关系是一次函数.设y=kx+b.把(1,20)和(2,20.5)代入,求出k,b的值即可.
水库水位y随日期x的变化是均匀的,因此水库水位y与日期x之间是一次函数关系.
设y=kx+b.
把x=1,y=20和x=2,y=20.5分别代入,得
所以水库水位y与日期x之间的函数关系是y=0.5x+19.5.
针对训练2(2018,湖州)“绿水青山就是金山银山”,为了保护环境和提高果树产量,某果农计划从甲、乙两个仓库用汽车向A,B两个果园运送有机化肥.甲、乙两个仓库分别可运出80t和100t有机化肥,A,B两个果园分别需用110t和70t有机化肥.两个仓库到A,B两个果园的路程如下表所示.
路程/km
甲仓库
乙仓库
A果园
15
25
B果园
设甲仓库运往A果园xt有机化肥,若汽车每吨每千米的运费为2元.
(1)根据题意,填写下表;
运量/t
运费/元
x
110-x
2×
15x
25(110-x)
(2)设总运费为y元,求y关于x的函数解析式,并求当甲仓库运往A果园多少吨有机化肥时,总运费最省?
最省的总运费是多少元?
【思路分析】
(1)甲、乙两个仓库运出的有机化肥的总量与A,B两个果园运进的有机化肥的总量相等.如果甲仓库运往A果园xt,那么运往B果园(80-x)t,乙仓库运往A果园(110-x)t,运往B果园
t,化简为(x-10)t.运费等于相应的运量乘路程再乘每吨每千米的运费2元即可.
(2)总运费是x的一次函数,根据函数的增减性,在自变量取值范围内可求出最小值.
(1)填表如下:
80-x
x-10
20(80-x)
20(x-10)
(2)y=2×
15x+2×
25(110-x)+2×
20(80-x)+2×
20(x-10)=-20x+8300,
即y关于x的函数解析式为y=-20x+8300.
∵-20<0,且10≤x≤80,
∴当x=80时,总运费y最省,
此时y最小=-20×
80+8300=6700.
答:
当甲仓库运往A果园80t有机化肥时,总运费最省,最省的总运费是6700元.
文字型一次函数应用题
例3某公司在甲、乙两个仓库共存放某种原料450t.如果运出甲仓库所存原料的60%,乙仓库所存原料的40%,那么乙仓库剩余的原料比甲仓库剩余的原料多30t.
(1)求甲、乙两个仓库各存放原料多少吨;
(2)现公司需将300t原料运往工厂,从甲、乙两个仓库到工厂的运价分别为120元/t和100元/t.经协商,从甲仓库到工厂的运价可优惠a元/t(10≤a≤30),从乙仓库到工厂的运价不变.设从甲仓库运mt原料到工厂,请求出总运费W关于m的函数解析式;
(不要求写出m的取值范围)
(3)在
(2)的条件下,请根据函数的性质说明:
随m的增大,W的变化情况.
【思路分析】
(1)设甲仓库存放原料xt,乙仓库存放原料yt.利用甲、乙两个仓库的原料之和为450t以及乙仓库剩余的原料比甲仓库剩余的原料多30t,即可列出二元一次方程组求解.
(2)若从甲仓库运mt原料到工厂,则从乙仓库运(300-m)t原料到工厂.从甲仓库到工厂的运价为(120-a)元/t,从乙仓库到工厂的运价为100元/t.利用“运费=运价×
质量”即可求出从甲、乙两个仓库到工厂的总运费W.(3)本题考查一次函数的性质,一次项系数20-a的正负决定W随m的增大而如何变化,需根据题中所给参数a的取值范围,分三种情况进行讨论.判断20-a的正负,可依次得到20-a>0,20-a=0,20-a<0,即得W随m的增大的变化情况.
(1)设甲仓库存放原料xt,乙仓库存放原料yt.
根据题意,得
甲仓库存放原料240t,乙仓库存放原料210t.
(2)若从甲仓库运mt原料到工厂,则从乙仓库运(300-m)t原料到工厂.
根据题意,得W=(120-a)m+100(300-m)=(20-a)m+30000.
(3)①当10≤a<
20时,20-a>
0.
由一次函数的性质,可知W随m的增大而增大.
②当a=20时,20-a=0,W=30000,是一定值,
随m的增大不发生变化.
③当20<a≤30时,20-a<0,W随m的增大而减小.
针对训练3(2017,德州)公式L=L0+KP表示当重力为P时的物体作用在弹簧上时弹簧的长度.L0表示弹簧的初始长度,用厘米(cm)表示,K表示单位重力物体作用在弹簧上时弹簧的长度,用厘米(cm)表示.下面给出的四个公式中,表明这是一个短而硬的弹簧的是(A)
A.L=10+0.5PB.L=10+5PC.L=80+0.5PD.L=80+5P
【解析】L0越小表示弹簧越短,K越小,说明单位重力下弹簧伸长的长度越小,即弹簧越硬.
一、选择题
1.(2018,石家庄28中质检)2016年某省财政收入比2015年增长8.9%,2017年比2016年增长9.5%.若2015年和2017年该省财政收入分别为a亿元和b亿元,则a,b之间满足的关系式是(C)
A.b=a(1+8.9%+9.5%)B.b=a(1+8.9%×
9.5%)
C.b=a(1+8.9%)(1+9.5%)D.b=a(1+8.9%)2(1+9.5%)
【解析】2015年该省财政收入为a亿元,2016年该省财政收入为a(1+8.9%)亿元,2017年比2016年增长9.5%,应为a(1+8.9%)(1+9.5%)亿元.
2.某工厂加工一批零件,为了提高工人工作的积极性,工厂规定每名工人每天薪金如下:
生产的零件不超过a件,则每件3元;
超过a件,超过部分每件b元.如图所示的是一名工人一天获得薪金y(元)与其生产的件数x(件)之间的函数关系,则下列结论错误的是(D)
A.a=20
B.b=4
C.若工人甲一天获得薪金180元,则他共生产零件50件
D.若工人乙一天生产零件m件,则他获得薪金4m元
【解析】根据题意和图象可得,a=20,b=
=4.由(20,60)和(40,140)得出薪金与件数的函数关系为y=
可判断C,D选项的对错.
3.(2018,咸宁)甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400m,先到终点的人原地休息.已知甲先出发4min.在整个步行过程中,甲、乙两人之间的距离y(m)与甲出发的时间t(min)之间的关系如图所示.下列结论:
①甲步行的速度为60m/min;
②乙走完全程用了32min;
③乙用16min追上甲;
④乙到达终点时,甲离终点还有300m.其中正确的结论有(A)
第3题图
A.1个B.2个C.3个D.4个
【解析】前4min,y的值等于甲步行的路程,可得甲的速度是60m/min,故①正确.从图象中可看出乙在16min时追上甲,则乙的速度为
+60=80(m/min),乙走完全程需要
=30(min),故②错误.乙比甲晚出发4min,则乙追上甲用了12min,故③错误.乙到达终点时,甲离终点的距离是2400-60×
(30+4)=360(m),故④错误.
二、填空题
4.(2017,达州)甲、乙两动点分别从线段AB的两端点同时出发,甲从点A出发,向终点B运动,乙从点B出发,向终点A运动.已知线段AB的长为90cm,甲的速度为2.5cm/s.设运动时间为xs,甲、乙两点之间的距离为ycm,y与x之间的函数图象如图所示,则图中线段DE所表示的函数解析式为y=4.5x-90(20≤x≤36).(写出自变量的取值范围)
第4题图
【解析】线段DE所表示的是甲、乙两点相遇后到甲到达终点前的函数解析式,y的值实际上是甲、乙两点路程之和-90.观察图象可知,乙的速度为90÷
45=2(cm/s),相遇所用的时间为90÷
(2.5+2)=20(s),甲到达终点所用的时间是90÷
2.5=36(s),∴线段DE所表示的函数解析式为y=(2.5+2)x-90=4.5x-90(20≤x≤36).
5.(2018,义乌)实验室里有一个水平放置的长方体容器,从内部量得它的高是15cm,底面的长是30cm,宽是20cm,容器内的水深是xcm.现往容器内放入如图所示的长方体实心铁块(铁块一面平放在容器底面),过顶点A的三条棱的长分别是10cm,10cm,ycm(y≤15),当铁块的顶部高出水面2cm时,x,y满足的关系式是(y=
或y=
(6≤x<8)).
第5题图
【解析】①当铁块的棱长为10cm和ycm的那一面平放在容器底面时,浸在水中的高度是8cm,水位比原来上升了(8-x)cm(其中x<
8),铁块浸在水中的体积等于水上升部分的体积,即10×
8·
y=30×
20×
(8-x),∴y=
.∵y≤15,∴x≥6,即y=
(6≤x<
8).②当铁块的棱长为10cm和10cm的那一面平放在容器底面时,同理得y=
三、解答题
6.(2018,义乌)一辆汽车行驶时的耗油量为0.1L/km,如图所示的是油箱剩余油量y(L)关于加满油后已行驶的路程x(km)的函数图象.
(1)根据图象,直接写出汽车行驶400km时,油箱内的剩余油量,并计算加满油时油箱的油量;
(2)求y关于x的函数解析式,并计算该汽车在剩余油量为5L时,已行驶的路程.
第6题图
【思路分析】
(1)由图象,可知汽车行驶400km,剩余油量为30L,行驶时的耗油量为0.1L/km,则汽车行驶400km,耗油400×
0.1=40(L),故加满油时油箱的油量是40+30=70(L).
(2)设y=kx+b(k≠0).把(0,70),(400,30)代入可得k=-0.1,b=70,求出解析式.当y=5时,可得x=650.
(1)由图象,可知汽车行驶400km时,油箱内的剩余油量为30L.
∵行驶时的耗油量为0.1L/km,
∴汽车行驶400km,耗油400×
0.1=40(L).
∴加满油时油箱的油量是40+30=70(L).
(2)设y关于x的函数解析式为y=kx+b(k≠0).
把(0,70),(400,30)代入,
∴y=-0.1x+70.
当y=5时,x=650,
即已行驶的路程为650km.
7.(2018,唐山路南区二模)某新建小区要修一条1050m长的路,甲、乙两个工程队都想承建这项工程.经了解得到下表所示信息:
工程队
每天修路的
长度/m
单独完成
所需天数
每天所需
费用/元
甲队
30
n
600
乙队
m
n-14
1160
(1)甲队单独完成这项工程所需天数n=35天,乙队每天修路的长度m=50m;
(2)甲队先修了xm之后,甲、乙两队一起修路,又用了y天完成这项工程(其中x,y为正整数).
①当x=90时,求出乙队修路的天数;
②求y关于x的函数解析式;
(不用写出x的取值范围)
③若总费用不超过22800元,求甲队至少先修了多少米.
【思路分析】
(1)用总长度÷
甲队每天修路的长度可得n的值,继而可得乙队单独完成所需时间,再用总长度÷
乙队单独完成所需时间可得m的值.
(2)①根据甲队先修了的长度+(甲队每天修路的长度+乙队每天修路的长度)×
两队合作时间=总长度,列式计算可得.②由①中的相等关系可得y关于x的函数解析式.③根据甲队先修xm的费用+甲、乙两队每天所需费用×
合作时间≤22800,列不等式求解可得.
(1)35 50
(2)①乙队修路的天数为
=12.
②由题意,得x+(30+50)y=1050.
∴y关于x的函数解析式为y=
,即y=-
+
③由题意,得600×
+(600+1160)×
y≤22800,即20x+1760×
≤22800.
解得x≥150.
若总费用不超过22800元,甲队至少先修了150m.
1.(2018,南京,导学号5892921)小明从家出发,沿一条直道跑步,经过一段时间原路返回,刚好在第16min回到家中.设小明出发第tmin时的速度为vm/min,离家的距离为sm,v与t之间的函数关系如图所示(图中的空心圆圈表示不包含这一点).
(1)小明出发第2min时离家的距离为200m;
(2)当2<
t≤5时,求s关于t的函数解析式;
(3)画出s与t之间的函数图象.
【思路分析】
(1)由图象可知,出发后2min之内,速度是100m/min,故离家的距离为200m.
(2)前2min,速度是100m/min,2到5min之间,速度是160m/min,所以当2<
t≤5时,s=200+160(t-2)=160t-120.(3)出发后第5min时,离家的距离为680m;
5到16min之间,速度是80m/min,设其中有amin是离家途中,(16-5-a)min是返家所用的时间,则有680+80a=80(16-5-a),解得a=1.25,即6.25min时开始返回.此时,离家的距离是680+1.25×
80=780(m).因每段时间都是匀速跑步,所以s与t之间的函数图象是折线,几个关键点的坐标是(0,0),(2,200),(5,680),(6.25,780),(16,0).
(1)200
(2)根据题意,得当2<
t≤5时,s关于t的函数解析式为s=200+160
,即s=160t-120.
(3)s与t之间的函数图象如答图.
第1题答图
2.(导学号5892921)为缓解油价上涨给出租车行业带来的成本压力,某巿调整出租车收费标准,调整方案见下表及图象(如图)(其中a,b,c为常数).
行驶路程
收费标准
调价前
调价后
不超过3km的部分
起步价6元
起步价a元
超过3km且不超出
6km的部分
每千米2.1元
每千米b元
超出6km的部分
每千米c元
设行驶路程xkm时,调价前的费用为y1(元),调价后的费用为y2(元).折线ABCD表示y2与x之间的函数关系,线段EF表示当0≤x≤3时,y1与x之间的函数关系.根据图表信息,完成下列各题:
(1)a=7,b=1.4,c=2.1;
(2)写出当x>3时,y1与x之间的函数关系,并在图中画出该函数的图象;
(3)函数y1与y2的图象是否存在交点?
若存在,求出交点的坐标,并说明该点的实际意义;
若不存在,请说明理由.
【思路分析】
(1)线段AB表示行驶路程不超过3km,收费7元,即a=7;
BC段表示行驶路程超过3km且不超出6km的部分,b=(11.2-7)÷
(6-3)=1.4;
CD段表示行驶路程超过6km的部分,c=(13.3-11.2)÷
(7-6)=2.1.
(2)y1=6+2.1(x-3)=2.1x-0.3.(3)观察图象,知有交点,在BC段.则
即交点坐标为
.其实际意义是当行驶路程为
km时,调价前后费用一样,都是9元;
当x<
时,调价前费用低;
当x>
时,调价后费用低.
(1)7 1.4 2.1
(2)y1=6+2.1(x-3)=2.1x-0.3.
该函数的图象如答图.
(3)存在交点,在BC段.
由题意,得y2=7+1.4(x-3).
联立成方程组
∴交点的坐标为
其实际意义是当行驶路程为
时,调
价前费用低;
第2题答图
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