函数的单调性与最值Word文档格式.docx
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函数单调性、单调区间及应用函数单调性求值域、最值,比较或应用函数值大小
教学难点
教学过程
一、课堂导入
确定函数单调性、单调区间及应用函数单调性求值域、最值,比较或应用函数值大小,是高考的热点及重点.常与函数的图象及其他性质交汇命题.题型多以选择题、填空题形式出现,若与导数交汇则以解答题形式出现.
二、复习预习
函数的概念、表示方法、分段函数是近几年高考的热点;
常和对数、指数函数的性质等相结
合考查,有时也会命制新定义问题;
题型以选择题和填空题为主,与其他知识点交汇则以解答题的形式出现。
三、知识讲解
考点1单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某
个区间D上的任意两个自变量x1,x2,改变量⊿x=x2-x1>
当x1<
x2时,都有f(x1)<
f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数
x2时,都有f(x1)>
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
考点2单调区间的定义
若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做f(x)的单调区间。
注:
①单调区间是定义域的子区间
②函数的单调性反映在图象上是在某一区间上是上升的或下降的;
而最大(小)值反映在图象上为其最高(低)点的纵坐标的值。
考点3函数的最值
前提
设函数f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足
条件
1对于任意x∈I,都有f(x)≤M
2存在x0∈I,使得f(x0)=M
1对于任意x∈I,都有f(x)≥M
结论
M为最大值
M为最小值
函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大元素;
任何一个函数,其值域必定存在,但其最值不一定存在。
四、例题精析
例1判断函数
在(-1,+∞)上的单调性.
【规范解答】方法一:
定义法:
设x1>
x2>
-1,
则
∵x1>
-1,x2-x1<
0,x1+1>
0,x2+1>
0,
即y1-y2<
0,y1<
y2.
在(-1,+∞)上是减
函数.
方法二:
导数法:
∴在(-1,+∞)上,y′<
0,故
在(-1,+∞)上为减函数.
【总结与反思】本例为判断函数的单调性或求函数的单调区间.
(1)转化为基本初等函数的单调性去判断;
(2)可用定义法或导数法.
例2求函数
的单调区间
【规范解答】设y=
,u=x2+x-6.
由x2+x-6≥0
,得x≤-3或x≥2,
结合二次函数图象可知,函数u=x2+x-6在(-∞,-3]上是递减的,在[2,+∞)上是递增的.
又∵函数y=
是递增的,∴函数
在(-∞,-3]上是递减的,在[2,+∞)上是递增的.
【总结与反思】该函数整体来说是一个二次根式,首先要考虑被开方数大于等于零,在此基础上求被开方函数的单调性即可.
例3已知函数f(x)对于任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,f
(1)=-
.
(1)求证:
f(x)在R上是减函数;
(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.
【规范解答】
(1)方法一:
∵函数f(x)对于任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),
令x=y=0,得f(0)=0.再令y=-x,得f(-x)=-f(x).在R上任取x1>x2,则Δx=x1-x2>0,
Δy=f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)=f(Δx),
又∵x>0时,f(x)<0.而Δx>0,
∴f(Δx)<0,即Δy<
0.因此f(x)在R上是减函数.
在R上任取x1,x2,不妨设x1>x2,
则Δx=x1-x2>
0,Δy=f(x1)-f(x2)
=f(x1-x2+x2)-f(x2)
=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)
=f(x1-x2)=f(Δx)
又∵x>0时,f(x)<0,而Δx>0,∴f(Δx)<0,即Δy<
0.
因此f(x)在R上是减函数.
(2)∵f(x)在R上为减函数,
∴f(x)在[-3,3]上也为减函数,
∴f(x)在[-3,3]上的最大值为f(-3)、最小值为f(3),
而f(3)=f(1+2)=f
(1)+f
(2)=f
(1)+f(1+1)=f
(1)+f
(1)+f
(1)=3f
(1)=-2,
∵0=f(0)=f(3-3)=f(3)+f(-3),
∴f(-3)=-f(3)=2,
因此,f(x)在[-3,3]上的最大值为2,最小值为-2.
【总结与反思】求函数最值(值域)常用的方法:
(1)单调性法:
先确定函数的单调性,再由单调性求最值;
(2)图象法:
先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值;
(3)基本不等式法:
先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值;
(4)导数法:
先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值;
(5)换元法:
对比较复杂的函数可通过换元转
化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值.
课程小结
1、用定义证明函数单调性的一般步骤
2、利用导数的基本步骤
3、求函数的单调性或单调区间的方法
4、应用函数的单调性
5、求函数最值(值域)常用的方法
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- 关 键 词:
- 函数 调性
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