初中数学竞赛因式分解的应用与探究含答案文档格式.docx
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,再用完全平方公式对原式进行因式分解,产生x+y的整体形式,最后将x+y=1代入求出最终结果.
例2【构造求值型】已知x2+2x+y2+6y+10=0,求xy的值.
答:
xy=3
例3【构造求值型】已知:
a=10000,b=9999,求a2+b2-2ab-6a+6b+9的值。
解:
a2+b2-2ab-6a+6b+9=(a-b)2-2×
(a-b)×
3+32=(a-b-3)2=4
例4【构造求值型】【广西桂林04】计算:
;
为了便于观察,我们将原式“倒过来”,即
原式=
=……=22+2=4+2=6
此题的解题过程中,巧妙地用到了提公因式法进行分解因式,使结构特点明朗化,规律凸现出来。
此题解法很多,比如,我们还可以采用整体思想,把原式看作一个整体,利用方程与提公因式法分解因式相结合的方法解答此题。
设M=
,则
-M=
,即
,解得M=6.
例5【探索规律型】观察下列各式:
12+(1×
2)2+22=9=32,22+(2×
3)2+32=49=72,32+(3×
4)2+42=169=132,……你发现了什么规律?
请用含有n(n为正整数)的等式表示出来,并说明其中的道理。
例6【探索规律型】阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题:
1+x+x(1+x)+x(1+x)2=(1+x)[1+x+x(1+x)]
=(1+x)2(1+x)
=(1+x)3
⑴上述分解因式的方法是,共应用了次;
⑵若分解1+x+x(1+x)+x(1+x)2+…+x(1+x)2004,则需应用上述方法次,结果是;
⑶分解因式:
1+x+x(1+x)+x(1+x)2+…+x(1+x)n(n为正整数).
例7【开放创新型】【四川03】多项式9x2+1加上一个单项式后,使它能成为一个整式的完全平方,那么加上的单项式可以是(填上一个你认为正确的即可);
根据完全平方公式a2±
2ab+b2=(a±
b)2的特点,若9x2+1表示了a2+b2的话,则有a=3x,b=1,所以,缺少的一项为±
2ab=±
2·
3x·
1=±
6x,此时,9x2+1±
6x=(3x±
1)2;
如果认为9x2+1表示了2ab+b2的话,则有a=4.5x2,b=1,所以,缺少的一项为a2=(4.5x)2=20.25x4,此时,20.25x4+9x2+1=(4.5x2+1)2.
从另外一个角度考虑,“一个整式的完全平方”中所指的“整式”既可以是上面所提到的多项式,也可以是单项式.注意到9x2=(3x)2,1=12,所以,保留二项式9x2+1中的任何一项,都是“一个整式的完全平方”,故所加单项式还可以是-1或者-9x2,此时有9x2+1-1=9x2=(3x)2,或者9x2+1-9x2=12.
综上分析,可知所加上的单项式可以是±
6x、20.25x4、-1或者-9x2.
例8【开放创新型】【福建南平03】请你写出一个三项式,使它能先提公因式,再运用公式来分解.
利用整式乘法与因式分解的互逆关系,可以先利用乘法公式中的完全平方公式,写出一个等式,在它的两边都乘一个因式,比如:
2m(m+n)2=2m(m2+2mn+n2)=2m3+4m2n+2mn2;
3a(2x-5y)2=3a(4x2-20xy+25y2)=12ax2-60axy+75ay2,等等.
于是编写的三项式可以是2m3+4m2n+2mn2,分解因式的结果是2m(m+n)2;
或者编写的三项式可以是12ax2-60axy+75ay2,分解因式的结果是3a(2x-5y)2,等等.
例9【数形结合型】【陕西02,桥西02~03】如图,在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a>b),把余下的部分剪拼成一个矩形,通过计算两个图形(阴影部分)的面积,验证了一个等式,则这个等式是(A)
(A)
(B)
(C)
(D)
例10【数形结合型】
【福建福州05】如图,在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a>b),把剩下的部分拼成一个梯形,分别计算这两个图形阴影部分的面积,验证了公式a2-b2=(a+b)(a-b);
例11【数形结合型】
【济南02】请你观察右下方图形,依据图形面积间的关系,不需要添加辅助线,便可得到一个你非常熟悉的公式,这个公式是(x+y)(x-y)=x2-y2或x2-y2=(x+y)(x-y)或(x-y)2=x2-2xy+y2;
例12【数形结合型】【山西03】有若干张如图所示的正方形和长方形卡片,则
表中所列四种方案能拼成边长为(a+b)的正方形的是(A)
⑴
⑵
⑶
1
2
(B)
(D)
此题的本意就是判断哪些卡片的面积之和是(a+b)2.
因为a2+2ab+b2=(a+b)2,对照如图所示的正方形和长方形卡片,可知三种卡片的面积分别为a2、b2和ab,它们分别需要1张、1张、2张,由此可选出正确答案为(A).
例13【数形结合型】【山西太原03】如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形,请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a、b的恒等式(a+b)2-4ab=(a-b)2;
外框围成的大正方形面积为(a+b)2,4个矩形的面积之和为4ab,中间的空白部分的面积为(a-b)2.于是,可以列出等式(a+b)2-4ab=(a-b)2.对于它的正确性,可以用因式分解的方法证明:
(a+b)2-4ab=a2+2ab+b2-4ab=a2-2ab+b2=(a-b)2.
例14【数形结合型】
给你若干个长方形和正方形的卡片,如图所示,请你运用拼图的方法,下载相应的种类和数量的卡片,拼成一个矩形,使它的面积等于a2+5ab+4b2,并根据你拼成的图形分解多项式a2+5ab+4b2.
由a2+5ab+4b2知,可用1张大正方形,5张长方形,4张小正方形,
拼成的矩形如下图所示,根据图形的面积可得
a2+5ab+4b2=(a+b)(a+4b)
优化训练
一、选择题:
1.计算
结果为()
(A)2100(B)-2(C)0(D)-2100
2.已知
是一个关于x的完全平方式,则m的值为()
(A)4(B)±
4(C)
(D)16
3.已知
(A)4(B)-4(C)16(D)±
4
4.设m=2002+2001×
2002+2001×
20022+…+2001×
20022000,n=20022001,则正确的关系是()
(A)m=n×
2001(B)m=n(C)m=n÷
2002(D)m=n+2002
二、填空题:
5.已知x、y为正整数,且x2=y2+37,则x=;
6.方程x2-y2=29的整数解为;
7.
有若干个大小相同的小球一个挨一个摆放,刚好摆成一个等边三角形(如图1);
将这些小球换一种摆法,仍一个挨一个摆放,又刚好摆成一个正方形(如图2),则这种小球最少有个;
三、解答题:
图1图2
8.计算:
;
9.求x2-4xy+5y2-2y+2004的最小值.
10.观察:
1×
2×
3×
4+1=52,2×
4×
5+1=112,3×
5×
6+1=192,…
⑴请写出一个具有普遍性的结论,并给出证明;
⑵根据⑴,计算2000×
2001×
2002×
2003+1的结果(用一个最简式子表示).
11.一个自然数a恰等于另一个自然数b的平方,则称自然数a为完全平方数,如64=82,64就是一个完全平方数.若a=20022+20022×
20032+20032,求证:
a是一个完全平方数,并写出a的平方根.
12.公园长椅上坐着两位白发苍苍的老人,旁边站着两个年轻人,他们在交谈,老人说:
“我们俩的年龄的平方差是195……”不等老人说完,青年人就说:
“真巧,我们俩年龄的平方差也是195。
”这时一对中年夫妇也凑过来说:
“真是巧极了,我们俩年龄的平方差也是195。
”现在请你想一想,这三对人的年龄各是多少?
其实符合年龄平方差为195的应有4对,如果你有余兴,不妨把第4对人的年龄也找出来。
答案:
1.【桥西01~02】计算
结果为(D)
是一个关于x的完全平方式,则m的值为(C)
是一个关于x的完全平方式,则m的值为(D)
4.【重庆02竞赛】设m=2002+2001×
20022000,n=20022001,则正确的关系是(B)
5.【桥西02~03】已知x、y为正整数,且x2=y2+37,则x=19;
6.方程x2-y2=29的整数解为
,
7.有若干个大小相同的小球一个挨一个摆放,刚好摆成一个等边三角形(如图1);
将这些小球换一种摆法,仍一个挨一个摆放,又刚好摆成一个正方形(如图2),则这种小球最少有36个;
原式=(x-2y)2+(y-1)2+2003,
∴当x=2,y=1时,原式取得最小值2003.
10.【黄冈02竞赛,桥东03~04】观察:
⑴结论:
n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n+1)2,
证明:
n(n+1)(n+2)(n+3)+1
=(n2+3n)(n2+3n+2)+1
=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1
=(n2+3n+1)2;
⑵2000×
2003+1=(20002+3×
2000+1)2=40060012;
先从较小的数字探索:
a1=12+12×
22+22=32=(1×
2+1)2,
a2=22+22×
32+32=72=(2×
3+1)2,
a3=32+32×
42+42=132=(3×
4+1)2,
a4=42+42×
52+52=212=(4×
5+1)2,…
于是猜想:
a=20022+20022×
20032+20032=(2002×
2003+1)2=(4010007)2,
证明采用配方法(略).
推广到一般,若n是正整数,则
a=n2+n2(n+1)2+(n+1)2是一个完全平方数[n(n+1)+1]2.
解题策略:
猜想是数学中重要的思想和方法之一。
较大的数字问题可仿较小数字问题来处理,实现了以简驭繁的策略。
在解题时,如果你不能解决所提出的问题,可先解决“一个与此有关的问题”。
你能不能想出一个更容易着手的问题?
一个更普遍的问题?
一个更特殊的问题?
你能否解决这个问题的一部分?
这就是数学家解题时的“绝招”。
“我们俩的年龄的平方差是195……”不等老人说完,青年人就说:
由x2-y2=195=3×
13,可得
解得,
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- 初中 数学 竞赛 因式分解 应用 探究 答案