最新高中数学苏教版必修一221《函数的单调性一》教学设计doc文档格式.docx
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一、填空题
1.定义在R上的函数y=f(x+1)的图象如右图所示.
给出如下命题:
①f(0)=1;
②f(-1)=1;
③若x>
0,则f(x)<
0;
④若x<
0,则f(x)>
0,其中正确的是________.(填序号)
2.若(a,b)是函数y=f(x)的单调增区间,x1,x2∈(a,b),且x1<
x2,则f(x1)________f(x2).(填“>
”、“<
”或“=”)
3.f(x)在区间[a,b]上单调,且f(a)·
f(b)<
0,则方程f(x)=0在区间[a,b]上________.(填序号)
①至少有一个根;
②至多有一个根;
③无实根;
④必有唯一的实根.
4.函数y=x2-6x+10的单调增区间是________.
5.如果函数f(x)在[a,b]上是增函数,对于任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),则下列结论中正确的是______________________________________.
①
>
②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>
③f(a)<
f(x1)<
f(x2)<
f(b);
④
0.
6.函数y=
的单调递减区间为________.
7.设函数f(x)是R上的减函数,若f(m-1)>
f(2m-1),则实数m的取值范围是________.
8.函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[2,+∞)时是增函数,当x∈(-∞,2]时是减函数,则f
(1)=________.
二、解答题
9.画出函数y=-x2+2|x|+3的图象,并指出函数的单调区间.
10.已知f(x),g(x)在(a,b)上是增函数,且a<
g(x)<
b,
求证:
f(g(x))在(a,b)上也是增函数.
11.已知f(x)=
,试判断f(x)在[1,+∞)上的单调性,并证明.
能力提升
12.定义在R上的函数f(x)满足:
对任意实数m,n总有f(m+n)=f(m)·
f(n),且当x>
0时,0<
f(x)<
1.
(1)试求f(0)的值;
(2)判断f(x)的单调性并证明你的结论.
13.函数f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,对任意的x,y∈(0,+∞),都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且f(4)=5.
(1)求f
(2)的值;
(2)解不等式f(m-2)≤3.
1.函数的单调区间必须是定义域的子集.因此讨论函数的单调性时,必须先确定函数的定义域.
2.研究函数的单调性,必须注意无意义的特殊点,如函数f(x)=
在(-∞,0)和(0,
+∞)上都是减函数,但不能说函数f(x)=
在定义域上是减函数.
3.求单调区间的方法:
(1)图象法;
(2)定义法;
(3)利用已知函数的单调性.
4.用单调性的定义证明函数的单调性分四个主要步骤:
即“取值——作差变形——定号——判断”这四个步骤.
若f(x)>
0,则判断f(x)的单调性可以通过作比的方法去解决,即“取值——作比变形——与1比较——判断”.
2.1.3 函数的简单性质
第1课时 函数的单调性
知识梳理
1.f(x1)<
f(x2) 增函数 增区间 减函数 减区间 2.[0,+∞)
3.增 4.(-∞,0)和(0,+∞)
作业设计
1.①④
2.<
解析 由题意知y=f(x)在区间(a,b)上是增函数,因为x2>
x1,所以f(x2)>
f(x1).
3.④
解析 ∵f(x)在[a,b]上单调,且f(a)·
0,
∴当f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)<
0,f(b)>
当f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)>
0,f(b)<
故f(x)在区间[a,b]上必有x0使f(x0)=0且x0是唯一的.
4.[3,+∞)
解析 如图所示,该函数的对称轴为x=3,根据图象可知函数在[3,+∞)上是递增的.
5.①②④
解析 由函数单调性的定义可知,若函数y=f(x)在给定的区间上是增函数,则x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,由此可知,①、②、④正确;
对于③,若x1<
x2时,可有x1=a或x2=b,
即f(x1)=f(a)或f(x2)=f(b),故③不成立.
6.(-∞,-3]
解析 该函数的定义域为(-∞,-3]∪[1,+∞),函数f(x)=x2+2x-3的对称轴为x=-1,由函数的单调性可知该函数在区间(-∞,-3]上是减函数.
7.m>
解析 由f(m-1)>
f(2m-1)且f(x)是R上的减函数得m-1<
2m-1,∴m>
8.-3
解析 f(x)=2(x-
)2+3-
,
由题意
=2,∴m=8.
∴f
(1)=2×
12-8×
1+3=-3.
9.解 y=-x2+2|x|+3
=
.
函数图象如图所示.
函数在(-∞,-1],[0,1]上是增函数,
函数在[-1,0],[1,+∞)上是减函数.
∴函数y=-x2+2|x|+3的单调增区间是(-∞,-1]和[0,1],
单调减区间是[-1,0]和[1,+∞).
10.证明 设a<
x1<
x2<
∵g(x)在(a,b)上是增函数,
∴g(x1)<
g(x2),
且a<
g(x1)<
g(x2)<
又∵f(x)在(a,b)上是增函数,
∴f(g(x1))<
f(g(x2)),
∴f(g(x))在(a,b)上是增函数.
11.解 函数f(x)=
在[1,+∞)上是增函数.
证明如下:
任取x1,x2∈[1,+∞),且x1<
x2,
则f(x2)-f(x1)=
-
∵1≤x1<
∴x2+x1>
0,x2-x1>
+
∴f(x2)-f(x1)>
0,即f(x2)>
f(x1),
故函数f(x)在[1,+∞)上是增函数.
12.解
(1)在f(m+n)=f(m)·
f(n)中,
令m=1,n=0,得f
(1)=f
(1)·
f(0).
因为f
(1)≠0,所以f(0)=1.
(2)函数f(x)在R上单调递减.
任取x1,x2∈R,且设x1<
x2.
在已知条件f(m+n)=f(m)·
若取m+n=x2,m=x1,
则已知条件可化为f(x2)=f(x1)·
f(x2-x1),
由于x2-x1>
0,所以0<
f(x2-x1)<
在f(m+n)=f(m)·
令m=x,n=-x,则得f(x)·
f(-x)=1.
当x>
1,
所以f(-x)=
1>
又f(0)=1,所以对于任意的x1∈R均有f(x1)>
所以f(x2)-f(x1)=f(x1)[f(x2-x1)-1]<
即f(x2)<
所以函数f(x)在R上单调递减.
13.解
(1)∵f(4)=f(2+2)=2f
(2)-1=5,∴f
(2)=3.
(2)由f(m-2)≤3,得f(m-2)≤f
(2).
∵f(x)是(0,+∞)上的减函数,
∴
,解得m≥4.∴不等式的解集为{m|m≥4}.
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