四川文数学第三章Word格式文档下载.docx
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3.有人说:
三角函数线的长度表示三角函数值的绝对值,三角函数线的方向表示三角函数值的符号.你认为此说法正确吗?
正确.
1.如图,在直角坐标系xOy中,射线OP交单位圆O于点P,若∠AOP=θ,则点P的坐标是( )
A.(cosθ,sinθ) B.(-cosθ,sinθ)
C.(sinθ,cosθ)D.(-sinθ,cosθ)
解析:
选A 由三角函数的定义可知,点P的坐标是(cosθ,sinθ).
2.已知角α的终边过点P(-1,2),则sinα=( )
A.B.C.-D.-
选B |OP|==,所以sinα==.
3.若角θ同时满足sinθ<0且tanθ<0,则角θ的终边一定落在( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
选D 由sinθ<0,可知θ的终边可能位于第三或第四象限,也可能与y轴的非正半轴重合.由tanθ<0,可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限,故θ的终边只能位于第四象限.
4.下列与的终边相同的角的表达式中正确的是________(填序号).
①2kπ+45°
(k∈Z);
②k·
360°
+(k∈Z);
③k·
-315°
④kπ+(k∈Z).
∵=×
180°
=360°
+45°
=720°
,
∴与终边相同的角可表示为k·
(k∈Z).
答案:
③
5.(教材习题改编)弧长为3π,圆心角为135°
的扇形半径为________,面积为________.
l=3π,θ=135°
=,所以r==,=4,S=lr=×
3π×
4=6π.
4 6π
考点一
角的集合表示及象限角的判定
[例1]
(1)写出终边在直线y=x上的角的集合;
(2)若角θ的终边与角的终边相同,求在[0,2π)内终边与角的终边相同的角;
(3)已知角α为第三象限角,试确定2α的终边所在的象限.
[自主解答]
(1)∵在(0,π)内终边在直线y=x上的角是,
∴终边在直线y=x上的角的集合为.
(2)∵θ=+2kπ(k∈Z),
∴=+(k∈Z).
依题意0≤+<2π⇒-≤k<,k∈Z.
∴k=0,1,2,即在[0,2π)内终边与相同的角为,,.
(3)由α是第三象限角,得π+2kπ<α<+2kπ(k∈Z),
∴2π+4kπ<2α<3π+4kπ(k∈Z).
∴角2α的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴.
【互动探究】
在本例(3)的条件下,判断为第几象限角?
解:
∵π+2kπ<α<+2kπ(k∈Z),
∴+kπ<<+kπ(k∈Z).
当k=2n(n∈Z)时,+2nπ<<+2nπ,
当k=2n+1(n∈Z)时,+2nπ<<+2nπ,
∴为第二或第四象限角.
【方法规律】
象限角和终边相同角的判断及表示方法
(1)若要确定一个绝对值较大的角所在的象限,一般是先将角化为2kπ+α(0≤α<2π)(k∈Z)的形式,然后再根据α所在的象限予以判断.
(2)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角.
1.若α=k·
(k∈Z),则α在( )
A.第一或第三象限
B.第一或第二象限
C.第二或第四象限
D.第三或第四象限
选A 当k为偶数时,α在第一象限;
当k为奇数时,α在第三象限.
2.设集合M=
,N=
,那么( )
A.M=NB.M⊆N
C.N⊆MD.M∩N=∅
选B 法一:
由于M=
={…,-45°
,45°
,135°
,225°
,…},
N=
,0°
,90°
,180°
,…},显然有M⊆N.
法二:
由于M中,x=·
=k·
90°
=45°
·
(2k+1),2k+1是奇数;
而N中,x=·
45°
=(k+1)·
,k+1是整数,因此必有M⊆N.
考点二
弧度制的应用
[例2] 已知扇形的圆心角是α,半径为R,弧长为l.
(1)若α=60°
,R=10cm,求扇形的弧长l;
(2)若扇形的周长为20cm,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大?
[自主解答]
(1)∵α=60°
=,R=10cm,
∴l=Rα=10×
=cm.
(2)∵扇形的周长为20cm,∴2R+l=20,
即2R+Rα=20,
∴S=R2α=R(20-2R)=-R2+10R
=-(R-5)2+25,
∴当R=5时,扇形的面积最大,此时α==2,
即α=2弧度时,这个扇形的面积最大.
在本例
(1)的条件下,求扇形的弧所在的弧形的面积.
设弧形的面积为S,则S=S扇-S△=R2α-R2sin=×
102×
-×
=50=cm2.
应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.
(2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决.
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.
1.设扇形的周长为8cm,面积为4cm2,则扇形的圆心角的弧度数是________.
设扇形所在圆的半径为rcm,则扇形的弧长l=8-2r.
由题意得S=(8-2r)×
r=4,
整理得r2-4r+4=0,解得r=2,
即l=4,故|α|==2.
2
2.已知扇形的圆心角是α=120°
,弦长AB=12cm,求弧长l.
设扇形的半径为Rcm,如图.
由sin60°
=,得R=4cm.
故l=|α|·
R=×
4=cm.
高频考点
考点三三角函数的定义
1.三角函数的定义是高考的常考内容,多以选择题、填空题的形式考查,难度较小,属中低档题.
2.高考对三角函数定义的考查主要有以下几个命题角度:
(1)利用三角函数的定义求三角函数值;
(2)三角函数值的符号和角的位置的判断;
(3)与向量等问题形成交汇问题.
[例3]
(1)(2011·
江西高考)已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,若P(4,y)是角θ终边上一点,且sinθ=-,则y=________.
(2)(2012·
山东高考)
如图,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,
的坐标为___________.
(3)(2014·
日照模拟)已知点P(sinθcosθ,2cosθ)位于第三象限,则角θ是第________象限角.
[自主解答]
(1)r==,且sinθ=-,所以sinθ===-,所以θ为第四象限角,解得y=-8.
(2)
如图,连接AP,分别过P,A作PC,AB垂直x轴于C,B点,过A作AD⊥PC于D点.由题意知的长为2.
∵圆的半径为1,∴∠BAP=2,
故∠DAP=2-.
∴DP=AP·
sin=-cos2,
∴PC=1-cos2,DA=APcos=sin2,
∴OC=2-sin2.故
=(2-sin2,1-cos2).
(3)因为点P(sinθcosθ,2cosθ)位于第三象限,
所以sinθcosθ<0,2cosθ<0,即
所以θ为第二象限角.
[答案]
(1)-8
(2)(2-sin2,1-cos2) (3)二
三角函数定义问题的常见类型及解题策略
(1)利用定义求三角函数值.在利用三角函数的定义求角α的三角函数值时,若角α终边上点的坐标是以参数的形式给出的,则要根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论.任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关,而与角α终边上点P的位置无关.
(2)三角函数值的符号及角的位置的判断.已知一角的三角函数值(sinα,cosα,tanα)中任意两个的符号,可分别确定出角终边所在的可能位置,二者的交集即为该角的终边位置.注意终边在坐标轴上的特殊情况.
(3)与向量等问题形成的交汇问题.抓住问题的实质,寻找相应的角度,然后通过解三角形求得解.
1.点P从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点,则点Q的坐标为( )
A. B.
C.D.
选A 由三角函数定义可知点Q的坐标(x,y)满足x=cos=-,y=sin=.
2.若三角形的两个内角α,β满足sinαcosβ<0,则该三角形的形状为________.
∵sinαcosβ<0,且α,β是三角形的两个内角.
∴sinα>0,cosβ<0,∴β为钝角.故三角形为钝角三角形.
钝角三角形
3.若角α的终边过点P(-8m,-6sin30°
),且cosα=-,则m的值为________.
∵r=,∴cosα==-,
∴m>0,=,∴m=.
—————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————
1条规律——三角函数值的符号规律
三角函数值在各象限的符号规律概括为:
2个技巧——三角函数的定义及单位圆的应用技巧
(1)在利用三角函数定义时,点P可取终边上异于原点的任一点,如有可能则取终边与单位圆的交点,|OP|=r一定是正值.
(2)在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线是一个小技巧.
4个注意点——理解角的概念、弧度制及三角函数线应注 意的问题
(1)第一象限角、锐角、小于90°
的角是概念不同的三类角,第一类是象限角,第二类、第三类是区间角.
(2)角度制与弧度制可利用180°
=πrad进行互化,在同一个式子中,采用的度量制度必须一致,不可混用.
(3)要熟记0°
~360°
间特殊角的弧度表示.
(4)要注意三角函数线是有向线段.
前沿热点(四)
以三角函数的定义为载体的创新问题
三角函数的概念是考查三角函数的重要工具,在高考命题中很少单独考查,但常结合三角函数的基础知识、三角恒等变换和向量等知识综合考查,涉及的知识点较多,且难度不大.
[典例] (2014·
南宁模拟)如图所示,质点P在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为P0(,-),角速度为1,那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为( )
[解题指导] 用t表示出OP与x轴正方向所成的角,然后利用三角函数的定义得到d的函数表达式即可.
[解析] ∵P0(,-),∴∠P0Ox=.
按逆时针转时间t后,得∠POP0=t,∠POx=t-.
由三角函数定义,知点P的纵坐标为2sin,
因此d=2.
令t=0,则d=2=,当t=时,d=0,故选C.
[答案] C
[名师点评] 解决本题的关键有以下两点:
(1)结合圆周运动,准确理解题意,根据三角函数定义,表示出d=2是关键.
(2)涉及函数图象判定问题,结合函数的性质、特殊化思想是快捷求解的有效途径.
如图,设点A是单位圆上的一定点,动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周,点P所旋转过的弧A的长为l,弦AP的长为d,则函数d=f(l)的图象大致为( )
选C
如图取AP的中点为D,连接OD.
设∠DOA=θ,
则d=2sinθ,l=2θ,
故d=2sin.
[全盘巩固]
1.θ是第二象限角,则下列选项中一定为正值的是( )
A.sinB.cos
C.tanD.cos2θ
选C 因为θ是第二象限角,所以为第一或第三象限角,所以tan>0.
2.一条弦的长等于半径,则这条弦所对的圆周角的弧度数为 ( )
A.1B.C.或D.或
选C 因为弦长等于半径,所以此弦所对的圆心角为,所以弦所对的圆周角为或.
3.点A(sin2013°
,cos2013°
)在直角坐标平面上位于( )
选C 由2013°
×
5+(180°
+33°
)可知,2013°
角的终边在第三象限,所以sin2013°
<0,cos2013°
<0,即点A位于第三象限.
4.若α是第三象限角,则y=+的值为( )
A.0B.2C.-2D.2或-2
选A 由于α是第三象限角,所以是第二或第四象限角,
当是第二象限角时,
y=+=1-1=0;
当是第四象限角时,
y=+=-1+1=0.
5.(2014·
温州模拟)若sinαtanα<0,且<0,则角α是( )
A.第一象限角B.第二象限角
C.第三象限角D.第四象限角
选C 由sinαtanα<0可知sinα,tanα异号,从而α为第二或第三象限角.
由<0可知cosα,tanα异号,从而α为第三或第四象限角.综上可知,α为第三象限角.
6.已知扇形的周长是4cm,则扇形面积最大时,扇形的圆心角的弧度数是( )
A.2B.1C.D.3
选A 设此扇形的半径为r,弧长为l,则2r+l=4,
面积S=rl=r(4-2r)=-r2+2r=-(r-1)2+1,
故当r=1时S最大,这时l=4-2r=2.
从而α===2.
7.若角120°
的终边上有一点(-4,a),则a的值是________.
由题意知-=tan120°
,即-=-,故a=4.
4
8.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,角α的终边与单位圆交于点A,点A的纵坐标为,则cosα=________.
因为A点纵坐标yA=,且A点在第二象限,又因为圆O为单位圆,所以A点横坐标xA=-,由三角函数的定义可得cosα=-.
-
9.已知角α的终边落在直线y=-3x(x<0)上,则-=________.
因为角α的终边落在直线y=-3x(x<0)上,
所以角α是第二象限角,因此sinα>0,cosα<0,
故-=-=1+1=2.
10.已知角θ的终边上有一点P(x,-1)(x≠0),且tanθ=-x,求sinθ+cosθ的值.
∵θ的终边过点(x,-1)(x≠0),∴tanθ=-.
又tanθ=-x,∴x2=1,即x=±
1.
当x=1时,sinθ=-,cosθ=.
因此sinθ+cosθ=0;
当x=-1时,sinθ=-,cosθ=-,
因此sinθ+cosθ=-.
故sinθ+cosθ的值为0或-.
11.一个扇形OAB的面积是1cm2,它的周长是4cm,求圆心角的弧度数和弦长AB.
设圆的半径为rcm,弧长为lcm,
则解得
则圆心角α==2.
如图,过O作OH⊥AB于H,则∠AOH=1,
故AH=1·
sin1=sin1cm,故AB=2sin1cm.
12.角α终边上的点P与A(a,2a)关于x轴对称(a>0),角β终边上的点Q与A关于直线y=x对称,求sinα·
cosα+sinβ·
cosβ+tanα·
tanβ的值.
由题意得,点P的坐标为(a,-2a),点Q的坐标为(2a,a).
所以sinα==-,
cosα==,
tanα==-2,
sinβ==,
cosβ==,
tanβ==,
故有sinα·
tanβ=
+×
+(-2)×
=-1.
[冲击名校]
1.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos2θ=( )
A.- B.-C.D.
选B 取终边上一点(a,2a)(a≠0),根据任意角的三角函数定义,可得cosθ=±
,故cos2θ=2cos2θ-1=-.
2.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cosα≤0,sinα>0,则实数a的取值范围是( )
A.(-2,3]B.(-2,3)
C.[-2,3)D.[-2,3]
选A ∵由cosα≤0,sinα>0,∴角α的终边落在第二象限内或y轴的正半轴上.
∴
∴-2<a≤3.
3.角θ的终边上有一点(a,a),a∈R且a≠0,则sinθ的值是________.
由已知得r==|a|,
sinθ===
所以sinθ的值是或-.
或-
第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
1.理解同角三角函数的基本关系式:
sin2x+cos2x=1,=tanx.
2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±
α,π±
α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系:
sin2α+cos2α=1.
(2)商数关系:
tanα=.
2.三角函数的诱导公式
公式一:
sin(α+2kπ)=sinα,cos(α+2kπ)=cos_α,tan(α+2kπ)=tanα,其中k∈Z.
公式二:
sin(π+α)=-sin_α,cos(π+α)=-cos_α,tan(π+α)=tanα.
公式三:
sin(-α)=-sin_α,cos(-α)=cos_α,tan(-α)=-tanα.
公式四:
sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cos_α,tan(π-α)=-tanα.
公式五:
sin=cos_α,cos=sinα.
公式六:
sin=cos_α,cos=-sin_α.
1.有人说sin(kπ-α)=sin(π-α)=sinα(k∈Z),你认为正确吗?
不正确.当k=2n(n∈Z)时,sin(kπ-α)=sin(2nπ-α)=sin(-α)=-sinα;
当k=2n+1(n∈Z)时,sin(kπ-α)=sin[(2n+1)·
π-α]=sin(2nπ+π-α)=sin(π-α)=sinα.
2.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变,符号看象限”中的“符号”是否与α的大小有关?
无关,只是把α从形式上看作锐角,从而2kπ+α(k∈Z),π+α,-α,π-α,-α,+α分别是第一,三,四,二,一,二象限角.
1.tan330°
等于( )
A.B.-C.D.-
选D tan330°
=tan(360°
-30°
)=tan(-30°
)=
-tan30°
=-.
2.若cosα=,α∈,则tanα等于( )
A.-B.C.-2D.2
选C 由已知得sinα=-=-=-,所以tanα==-2.
3.(教材习题改编)若tanα=2,则的值为( )
A.-B.-C.D.
选C ===.
4.cos-sin=________.
cos-sin=cos+sin
=cos+sin
=cos+sin=+=.
5.已知tanα=,π<α<,则cosα-sinα=________.
∵tanα=,π<α<,∴α=,
∴cosα-sinα=cos-sin=
-cos+sin=-+=.
同角三角函数基本关系式的应用
[例1] 已知α是三角形的内角,且sinα+cosα=.
(1)求tanα的值;
(2)把用tanα表示出来,并求其值.
[自主解答]
(1)法一:
联立方程
由①得cosα=-sinα,
将其代入②,整理得
25sin2α-5sinα-12=0.
∵α是三角形内角,
∴∴tanα=-.
∵sinα+cosα=,
∴(sinα+cosα)2=2,即1+2sinαcosα=,
∴2sinαcosα=-,
∴(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=1+=.
∵sinαcosα=-<
0且0<
α<
π,
∴sinα>
0,cosα<
0,∴sinα-cosα>
0.
∴sinα-cosα=.
由得
∴tanα=-.
(2)===.
∵tanα=-,
∴===-.
保持本例条件不变,求:
(1);
(2)sin2α+2sinαcosα的值.
由例题可知tanα=-.
(1)===.
(2)sin2α+2sinαcosα==
==-.
同角三角函数基本关系式的应用技巧
(1)利用sin2α+cos2α=1可以实现角α正弦、余弦的互化,利用=tanα可以实现角α的弦切互化.
(2)注意公式逆用及变形应用:
1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.
1.已知=5,则sin2α-sinαcosα的值是( )
A.B.-C.-2D.2
选A 由=5,得=5,即tanα=2.
所以sin2α-sinαcosα===.
2.已知α∈,tanα=2,则cosα=________.
依题意得
由此解得cos2α=,又α∈,因此cosα=-.
诱导公式的应用
[例2]
(1)(2014·
长沙模拟)若cos=-,则sin=( )
A. B.-C.D.-
(2)已知α为第三象限角,
f
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