向量的物理背景与概念及向量的几何表示.docx
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向量的物理背景与概念及向量的几何表示
2.1.1向量的物理背景与概念及向量的几何表示
教学目标:
1.了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示;掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念;并会区分平行向量、相等向量和共线向量.
2.通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数学本质的能力.
教学重点:
理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量.
教学难点:
平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
学法:
本节是本章的入门课,概念较多,但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念,结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.
教学思路:
(一)
一、情景设置:
如图,老鼠由A向西北逃窜,猫在B处向东追去,设问:
猫能否追到老鼠?
(画图)
结论:
猫的速度再快也没用,因为方向错了.
分析:
老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上
都是有方向、有长短的量.
引言:
请同学指出哪些量既有大小又有方向?
哪些量只有大小没有方向?
二、新课学习:
(一)向量的概念:
。
(二)请同学阅读课本后回答:
(7个问题一次出现)
1、数量与向量有何区别?
(数量没有方向而向量有方向)
2、如何表示向量?
3、有向线段和线段有何区别和联系?
分别可以表示向量的什么?
4、长度为零的向量叫什么向量?
长度为1的向量叫什么向量?
5、满足什么条件的两个向量是相等向量?
单位向量是相等向量吗?
6、有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系?
7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O,这是它们是不是平行向量?
这时各向量的终点之间有什么关系?
(三)探究学习
1、数量与向量的区别:
2.向量的表示方法:
向量与有向线段的区别:
4、零向量、单位向量概念:
5、平行向量定义:
(四)理解和巩固:
例1书本75页例1.
例2判断:
(1)平行向量是否一定方向相同?
(不一定)
(2)与任意向量都平行的向量是什么向量?
(零向量)
(3)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量?
(平行向量)
课堂练习:
书本77页练习1、2、3题
三、小结:
1、描述向量的两个指标:
模和方向.
2、平面向量的概念和向量的几何表示;
3、向量的模、零向量、单位向量、平行向量等概念。
2.1.2相等向量与共线向量
教学目标:
1.掌握相等向量、共线向量等概念;并会区分平行向量、相等向量和共线向量.
2.通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数学本质的能力.
教学重点:
理解并掌握相等向量、共线向量的概念,教学难点:
平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
教学思路:
一、情景设置:
(一)、复习:
1、数量与向量有何区别?
(数量没有方向而向量有方向)2、如何表示向量?
3、有向线段和线段有何区别和联系?
分别可以表示向量的什么?
4、长度为零的向量叫什么向量?
长度为1的向量叫什么向量?
5、满足什么条件的两个向量是相等向量?
单位向量是相等向量吗?
6、有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系?
7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O,这是它们是不是平行向量?
这时各向量的终点之间有什么关系?
(二)、新课学习1、有一组向量,它们的方向相同、大小相同,这组向量有什么关系?
2、任一组平行向量都可以移到同一直线上吗?
这组向量有什么关系?
三、探究学习
1、相等向量定义:
2、共线向量与平行向量关系:
四、理解和巩固:
例1.如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别写出图中与向量、、相等的向量.
变式一:
与向量长度相等的向量有多少个?
变式二:
是否存在与向量长度相等、方向相反的向量?
变式三:
与向量共线的向量有哪些?
例2判断:
(1)不相等的向量是否一定不平行?
(2)与零向量相等的向量必定是什么向量?
(3)两个非零向量相等的当且仅当什么?
(4)共线向量一定在同一直线上吗?
()
例3下列命题正确的是()A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行
课堂练习:
1.判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.
①向量与是共线向量,则A、B、C、D四点必在一直线上;②单位向量都相等;
③任一向量与它的相反向量不相等;④四边形ABCD是平行四边形当且仅当=
⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0;⑥共线的向量,若起点不同,则终点一定不同.
2.书本77页练习4题
三、小结:
1.描述向量的两个指标:
模和方向.2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.
3、共线向量与平行向量关系、相等向量。
2.2.1向量的加法运算及其几何意义
教学目标:
1.掌握向量的加法运算,并理解其几何意义;2.会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量,培养数形结合解决问题的能力;3.通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比,使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律,并会用它们进行向量计算,渗透类比的数学方法;教学重点:
会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.教学难点:
理解向量加法的定义.
教学思路:
一、设置情景:
1、复习:
向量的定义以及有关概念
强调:
向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此,我们研究的向量是与起点无关的自由向量,即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下,移到任何位置
2、情景设置:
(1)某人从A到B,再从B按原方向到C,则两次的位移和:
(2)若上题改为从A到B,再从B按反方向到C,则两次的位移和:
(3)某车从A到B,再从B改变方向到C,则两次的位移和:
(4)船速为,水速为,则两速度和:
二、探索研究:
1、向量的加法:
2、三角形法则(“首尾相接,首尾连”)如图,已知向量a、b.在平面内任取一点,作=a,=b,则向量叫做a与b的和,记作a+b,即a+b,规定:
a+0-=0+
a
a
a
探究:
(1)两向量的和与两个数的和有什么关系?
两向量的和仍是一个向量;
什么时候时,|+|<||+||;什么时候|+|=||+||,什么时候|+|=||-||,
(3)“向量平移”(自由向量):
3.例一、已知向量、,求作向量+
4.加法的交换律和平行四边形法则
问题:
上题中+的结果与+是否相同?
验证结果相同
从而得到:
1)向量加法的平行四边形法则(对于两个向量共线不适应)
2)向量加法的交换律:
+=+
5.你能证明:
向量加法的结合律:
(+)+=+(+)吗?
6.由以上证明你能得到什么结论?
三、应用举例:
例二(P83—84)略
变式1、一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶,船的实际航行速度的大小为,求水流的速度.
变式2、一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时河水的流速为,船的实际航行的速度的大小为,方向与水流间的夹角是,求和.
练习:
P84面1、2、3、4题
四、小结
1、向量加法的几何意义;2、交换律和结合律;3、|+|≤||+||,当且仅当方向相同时取等号.
五、思考:
你能用向量加法证明:
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形吗?
2.2.2向量的减法运算及其几何意义
教学目标:
1.了解相反向量的概念;2.掌握向量的减法,会作两个向量的减向量,并理解其几何意义;
3.通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算,使学生理解事物间可以相互转化的辩证思想.
教学重点:
向量减法的概念和向量减法的作图法.教学难点:
减法运算时方向的确定.
教学思路:
一、复习:
向量加法的法则:
三角形法则与平行四边形法则,向量加法的运算定律:
例:
在四边形中,.
二、提出课题:
向量的减法
1.用“相反向量”定义向量的减法
(1)“相反向量”的定义:
(2)规定:
零向量的相反向量仍是零向量.(a)=a.任一向量与它的相反向量的和是零向量.a+(a)=0如果a、b互为相反向量,则a=b,b=a,a+b=0
(3)向量减法的定义:
.
2.用加法的逆运算定义向量的减法:
向量的减法是向量加法的逆运算:
若b+x=a,则x叫做a与b的差,记作ab
3.求作差向量:
已知向量a、b,求作向量ab
∵(ab)+b=a+(b)+b=a+0=a
作法:
在平面内取一点O,
作=a,=b则=ab
即ab可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.
注意:
1表示ab.强调:
差向量“箭头”指向被减数
2用“相反向量”定义法作差向量,ab=a+(b)
4.探究:
1)如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量,那么所得向量是
2)若a∥b,如何作出ab ?
三、例题:
例一、(P86例三)已知向量a、b、c、d,求作向量ab、cd.
例二、平行四边形中,a,b,用a、b表示向量、.
变式一:
当a,b满足什么条件时,a+b与ab垂直?
(|a|=|b|)
变式二:
当a,b满足什么条件时,|a+b|=|ab|?
(a,b互相垂直)
变式三:
a+b与ab可能是相等向量吗?
(不可能,∵对角线方向不同)
练习:
1。
P87面1、2题
2.在△ABC中,=a,=b,则等于()
A.a+bB.-a+(-b)C.a-bD.b-a
2.2.3向量数乘运算及其几何意义
教学目标:
(1)掌握向量数乘运算,并理解其几何意义;
(2)培养数形结合解决问题的能力;
(3)通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比,使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律,并会用它们进行向量计算,渗透类比的数学方法
一、情境设计:
1.复习:
向量的加法运算和减法运算定义以及有关概念.
2.情景设置:
二、探索研究:
探究2:
(1)若b=a,a与b有什么关系呢?
(2)若a与b共线,能否得到a与b的一个关系呢?
4.共线定理:
5.平面向量的线性运算
(1)称为线性运算。
三、例题:
A
练习:
课本P88例5
例2、已知e1,e2,C、D是AB的三等分点,
求、.(见成才之路P48例4)
四、小结:
向量答案:
2.1.1向量的物理背景与概念及向量的几何表示
(一)向量的概念:
我们把既有大小又有方向的量叫向量。
1、数量与向量的区别:
数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小;向量有方向,大小,双重性,不能比较大小.2.向量的表示方法:
①用有向线段表示;②用字母a、b(黑体,印刷用)等表示;③用有向线段的起点与终点字母:
;④向量的大小―长度称为向量的模,记作||.3.有向线段:
具有方向的线段就叫做有向线段,三个要素:
起点、方向、长度向量与有向线段的区别:
(1)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,这两个向量就是相同的向量;
(2)有向线段有起点、大
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- 向量 物理 背景 概念 几何 表示