98年至06年全国数学竞赛试题徐军波数学试题 竞赛模拟.docx

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98年至06年全国数学竞赛试题徐军波数学试题竞赛模拟

1998年全国数学联赛试卷

一、选择题：

（每小题6分，共30分）

1、已知a、b、c都是实数，并且，那么下列式子中正确的是（　　）

（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）

2、如果方程的两根之差是1，那么p的值为（）

（Ａ）2（Ｂ）4（Ｃ）（Ｄ）

3、在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么△ABC的面积等于（）

（Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）18

4、已知，并且，那么直线一定通过第（）象限

（Ａ）一、二（Ｂ）二、三（Ｃ）三、四（Ｄ）一、四

5、如果不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a、b的有序数对（a、b）共有（）

（Ａ）17个（Ｂ）64个（Ｃ）72个（Ｄ）81个

二、填空题：

（每小题6分，共30分）

6、在矩形ABCD中，已知两邻边AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，那么PE+PF=__________。

7、已知直线与抛物线相交于A、B两点，O为坐标原点，那么△OAB的面积等于_______。

8、已知圆环内直径为acm，外直径为bcm，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为___________cm。

9、已知方程（其中a是非负整数），至少有一个整数根，那么a=_____。

10、B船在A船的西偏北450处，两船相距km，若A船向西航行，B船同时向南航行，且B船的速度为A船速度的2倍，那么A、B两船的最近距离是___________km。

三、解答题：

（每小题20分，共60分）

11、如图，在等腰三角形ABC中，AB=1，∠A=900，点E为腰AC中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，求△CEF的面积。

12、设抛物线的图象与x轴只有一个交点，

（1）求a的值；

（2）求的值。

13、A市、B市和C市有某种机器10台、10台、8台，现在决定把这些机器支援给D市18台，E市10台。

已知：

从A市调运一台机器到D市、E市的运费为200元和800元；从B市调运一台机器到D市、E市的运费为300元和700元；从C市调运一台机器到D市、E市的运费为400元和500元。

（1）设从A市、B市各调x台到D市，当28台机器调运完毕后，求总运费W（元）关于x（台）的函数关系式，并求W的最大值和最小值。

（2）设从A市调x台到D市，B市调y台到D市，当28台机器调运完毕后，用x、y表示总运费W（元），并求W的最大值和最小值。

1999年全国初中数学联合竞赛试卷

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）

1、计算的值是（）。

（A）1；（B）－1；（C）2；（D）－2。

2、△ABC的周长是24，M是AB的中点，MC＝MA＝5，则△ABC的面积是（）。

（A）12；（B）16；（C）24；（D）30。

3、设，将一次函数与的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（）。

4、若函数，则当自变量取1、2、3、…、100这100个自然数时，函数值的和是（）。

（A）540；（B）390；（C）194；（D）97。

5、如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝998，DC＝1001，AD＝1999，点P在线段AD上，则满足条件∠BPC＝90°的点P的个数为（）。

0；（B）1；（C）2；（D）不小于3的整数。

6、有下列三个命题：

（甲）若是不相等的无理数，则是无理数；（乙）若是不相等的无理数，则是无理数；（丙）若是不相等的无理数，则是无理数。

其中正确命题的个数是（）。

（A）0；（B）1；（C）2；（D）3。

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）

本题共有4道小题，要求直接把答案写在横线上。

1、已知且，则＝________。

2、如图，在△ABC中，∠B＝36°，∠ACB＝128°，∠CAB的平分线交BC于M，△ABC的外接圆的切线AN交BC的延长线于N，则△ANM的最小角等于________。

3、已知为整数，且满足，则＝________。

4、在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB＝∠MBC，则tg∠ABM＝________。

一、（本题满分20分）

某班参加一次智力竞赛，共三题，每题或者得满分或者得0分。

其中题满分20分，题、题满分分别为25分。

竞赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全答对的有1人，答对其中两道题的有15人，答对题的人数与答对题的人数之和为29，答对题的人数与答对题的人数之和为25，答对题的人数与答对题的人数之和为20，问这个班的平均成绩是多少分？

二、（本题满分25分）

   如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD＝4DC。

已知圆过点C且与AC相交于F，与AN相切于AB的中点G。

求证：

AD⊥BF。

三、（本题满分25分）

   已知为整数，方程的两根都大于－1且小于0，求和的值。

2000年全国初中数学联合竞赛试卷

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）

1、计算的值是（）。

（A）1；（B）；（C）；（D）5。

2、若，则的值是（）。

（A）；（B）；（C）5；（D）6。

3、设是不相等的任意正数，又，则这两个数一定（）。

（A）都不大于2；（B）都不小于2；（C）至少有1个大于2；（D）至少有1个小于2。

4、正整数小于100，并满足等式，其中表示不超过的最大整数，这样的正整数有（）。

（A）2个；（B）3个；（C）12个；（D）16个。

5、已知一个梯形的四条边的长分别为1、2、3、4，则此梯形的面积等于（）。

（A）4；（B）6；（C）；（D）。

6、已知ABCD是一个半径为R的圆的内接四边形，AB＝12，CD＝6，分别延长AB和DC，它们相交于P且BP＝8，∠APD＝60°，则R等于（）。

（A）10；（B）；（C）；（D）14。

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）

1、是正数，并且抛物线和都与轴有公共点，则的最小值是________。

2、某果品店组合销售水果，甲种搭配：

2千克A水果，4千克B水果；乙种搭配：

3千克A水果，8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：

2千克A水果，6千克B水果，l千克C水果。

A水果价格每千克2元，B水果价格每千克1.2元，C水果价格每千克10元。

某天该店销售三种搭配共得441.2元，其中A水果的销售额为116元，则C水果的销售额为_______元。

3、实数满足和，则________。

4、设正三角形ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是边BC上的任意一点，PA＋PM的最大值和最小值分别记为和，则________。

一、（本题满分20分）

设是实数，二次函数的图象与轴有两个不同的交点。

（1）求证：

；

（2）若间的距离不超过，求的最大值。

二、（本题满分25分）

   EFGH是正方形ABCD的内接四边形，两条对角线EG和FH所夹的锐角为θ，且∠BEG与∠CFH都是锐角。

已知EG＝，FH＝，四边形EFGH的面积为。

（1）求证：

；

（2）试用表示正方形ABCD的面积。

三、（本题满分25分）

   设关于的二次方程的两根都是整数，求满足条件的所有实数的值。

2001年全国初中数学联赛

一、选择题（每小题7分，共42分）

1、a，b，c为有理数，且等式成立，则2a+999b+1001c的值是（）

1999（B）2000（C）2001（D）不能确定

2、若，且有5a2+2001a+9=0及，则的值是（）

（A）（B）（C）（D）

3、已知在△ABC中，∠ACB=900，∠ABC=150，BC=1，则AC的长为（）

（A）（B）（C）（D）

4、如图，在△ABC中，D是边AC上的一点，下面四种情况中，△ABD∽△ACB不一定成立的情况是（）

（A）（B）

（C）∠ABD=∠ACB（D）

5、①在实数范围内，一元二次方程的根为；②在△ABC中，若，则△ABC是锐角三角形；③在△ABC和中，a，b，c分别为△ABC的三边，分别为的三边，若，则△ABC的面积S大于的面积。

以上三个命题中，假命题的个数是（）

（A）0（B）1（C）2（D）3

6、某商场对顾客实行优惠，规定：

①如一次购物不超过200元，则不予折扣；②如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠。

某人两次去购物，分别付款168元和423元；如果他只去一次购物同样的商品，则应付款是（）

（A）522.8元（B）510.4元（C）560.4元（D）472.8

二、填空题（每小题7分，共28分）

1、已知点P在直角坐标系中的坐标为（0，1），O为坐标原点，∠QPO=1500，且P到Q的距离为2，则Q的坐标为。

2、已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P，则点P到两圆外公切线的距离为。

3、已知是正整数，并且，则=。

4、一个正整数，若分别加上100和168，则可得到两个完全平方数，这个正整数为。

解答题（共70分）

1、在直角坐标系中有三点A（0，1），B（1，3），C（2，6）；已知直线上横坐标为0、1、2的点分别为D、E、F。

试求的值使得AD2+BE2+CF2达到最大值。

（20分）证明：

（1）若取任意整数时，二次函数总取整数值，那么都是整数；

（2）写出上述命题的逆命题，并判断真假，且证明你的结论。

（25分）

2、如图，D，E是△ABC边BC上的两点，F是BC延长线上的一点，∠DAE=∠CAF。

（1）判断△ABD的外接圆与△AEC的外接圆的位置关系，并证明你的结论；

（2）若△ABD的外接圆的半径的2倍，BC=6，AB=4，求BE的长。

解答题：

3、如图，EFGH是正方形ABCD的内接四边形，两条对角线EG和FH所夹的锐

角为θ，且∠BEG与∠CFH都是锐角。

已知EG=k，FH=，四边形EFGH的面积为S。

（1）求证：

sinθ=；

（2）试用来表示正方形的面积。

求所有的正整数a，b，c，使得关于x的方程，，

的所有的根都是正整数。

4、在锐角△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，DE⊥AC，E为垂足，DF⊥AB，F为垂足。

O为△ABC的外心。

求证：

（1）△AEF∽△ABC；

（2）AO⊥EF

5、如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，直线平行于BD，且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P。

求证：

PMPN＝PRPS

2002年全国初中数学联合竞赛试卷

一、选择题（本题42分，每小题7分）

1、已知a=-1，b=2-，c=-2，那么a，b，c的大小关系是（）

（A）a

2、若m2=n+2，n2=m+2（m≠n），则m3-2mn+n3的值为（）

（A）1（B）0（C）-1（D）-2

3、已知二次函数的图象如图所示，并设M=|a+b+c|-|a-b+c|+|2a+b|-|2a-b|，则（）

（A）M>0（B）M＝0（C）M<0（D）不能确定M为正、为负或为0

4、直角三角形ＡBC的面积为120，且∠BAC=90º，AD是斜边上的中线，过D作DE⊥AB于E，连CE交AD于F，则△AFE的面积为（）

（A）18（B）20（C）22（D）24

5、圆O1与O2圆外切于点A，两圆的一条外公切线与圆O1相切于点B，若AB与两圆的另一条外公切线平行，则圆O1与圆O2的半径之比为（）

（A）