概率统计精简版Word文件下载.docx

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Poisson'

泊松分布

rayl'

Rayleigh'

瑞利分布

t'

T'

T分布

unif'

Uniform'

均匀分布

unid'

DiscreteUniform'

离散均匀分布

weib'

Weibull'

Weibull分布

例如二项分布：

设一次试验，事件A发生的概率为p，那么，在n次独立重复试验中，事件A恰好发生K次的概率P_K为：

P_K=P{X=K}=pdf（'

，K，n，p）

例4-4计算正态分布N（0，1）的随机变量X在点0.6578的密度函数值。

解：

>

pdf（'

0.6578,0,1）

ans=

0.3213

4.1.2专用函数计算概率密度函数值

命令二项分布的概率值

函数binopdf

格式binopdf（k,n,p）%等同于

，p—每次试验事件A发生的概率；

K—事件A发生K次；

n—试验总次数

命令泊松分布的概率值

函数poisspdf

格式poisspdf（k,Lambda）%等同于

命令正态分布的概率密度值

函数normpdf（K,mu,sigma）%计算参数为μ=mu，σ=sigma的正态分布密度函数在K处的值

专用函数计算概率密度函数列表如表4-2。

表4-2专用函数计算概率密度函数表

函数名

调用形式

注释

Unifpdf

unifpdf（x,a,b）

[a,b]上均匀分布（连续）概率密度在X=x处的函数值

unidpdf

Unidpdf（x,n）

均匀分布（离散）概率密度函数值

Exppdf

exppdf（x,Lambda）

参数为Lambda的指数分布概率密度函数值

normpdf

normpdf（x,mu,sigma）

参数为mu，sigma的正态分布概率密度函数值

chi2pdf

chi2pdf（x,n）

自由度为n的卡方分布概率密度函数值

Tpdf

tpdf（x,n）

自由度为n的t分布概率密度函数值

Fpdf

fpdf（x,n1,n2）

第一自由度为n1,第二自由度为n2的F分布概率密度函数值

gampdf

gampdf（x,a,b）

参数为a,b的

分布概率密度函数值

betapdf

betapdf（x,a,b）

lognpdf

lognpdf（x,mu,sigma）

参数为mu,sigma的对数正态分布概率密度函数值

nbinpdf

nbinpdf（x,R,P）

参数为R，P的负二项式分布概率密度函数值

Ncfpdf

ncfpdf（x,n1,n2,delta）

参数为n1，n2，delta的非中心F分布概率密度函数值

Nctpdf

nctpdf（x,n,delta）

参数为n，delta的非中心t分布概率密度函数值

ncx2pdf

ncx2pdf（x,n,delta）

参数为n，delta的非中心卡方分布概率密度函数值

raylpdf

raylpdf（x,b）

参数为b的瑞利分布概率密度函数值

weibpdf

weibpdf（x,a,b）

参数为a,b的韦伯分布概率密度函数值

binopdf

binopdf（x,n,p）

参数为n,p的二项分布的概率密度函数值

geopdf

geopdf（x,p）

参数为p的几何分布的概率密度函数值

hygepdf

hygepdf（x,M,K,N）

参数为M，K，N的超几何分布的概率密度函数值

poisspdf

poisspdf（x,Lambda）

参数为Lambda的泊松分布的概率密度函数值

例4-6绘制卡方分布密度函数在自由度分别为1、5、15的图形

x=0:

0.1:

30;

y1=chi2pdf（x,1）;

plot（x,y1,'

:

）

holdon

y2=chi2pdf（x,5）;

plot（x,y2,'

+'

y3=chi2pdf（x,15）;

plot（x,y3,'

o'

axis（[0,30,0,0.2]）%指定显示的图形区域

则图形为图4-1。

4.1.3常见分布的密度函数作图

1．二项分布

例4-7

x=0:

10;

y=binopdf（x,10,0.5）;

plot（x,y,'

4．指数分布

例4-10

y=exppdf（x,2）;

plot（x,y）

图4-3

10．正态分布

例4-16

x=-3:

0.2:

3;

y=normpdf（x,0,1）;

plot（x,y）

图4-6

11．泊松分布

例4-17

15;

y=poisspdf（x,5）;

4.2随机变量的累积概率值（分布函数值）

4.2.1通用函数计算累积概率值

命令通用函数cdf用来计算随机变量

的概率之和（累积概率值）

函数cdf

格式

说明返回以name为分布、随机变量X≤K的概率之和的累积概率值，name的取值见表4-1常见分布函数表

例4-21求标准正态分布随机变量X落在区间（-∞，0.4）内的概率（该值就是概率统计教材中的附表：

标准正态数值表）。

cdf（'

0.4,0,1）

0.6554

4.3.2专用函数计算累积概率值（随机变量

的概率之和）

命令二项分布的累积概率值

函数binocdf

格式binocdf（k,n,p）%n为试验总次数，p为每次试验事件A发生的概率，k为n次试验中事件A发生的次数，该命令返回n次试验中事件A至多发生k次的概率。

命令正态分布的累积概率值

函数normcdf

格式normcdf（

）%返回F（x）=

的值，mu、sigma为正态分布的两个参数

例4-23设X~N（3,22）

（1）求

（2）确定c，使得

解

（1）p1=

p2=

p3=

p4=

则有：

p1=normcdf（5,3,2）-normcdf（2,3,2）

p1=

0.5328

p2=normcdf（10,3,2）-normcdf（-4,3,2）

p2=

0.9995

p3=1-normcdf（2,3,2）+normcdf（-2,3,2）

p3=

0.6853

p4=1-normcdf（3,3,2）

p4=

0.5000

专用函数计算累积概率值函数列表如表4-3。

表4-3专用函数的累积概率值函数表

unifcdf

unifcdf（x,a,b）

[a,b]上均匀分布（连续）累积分布函数值F（x）=P{X≤x}

unidcdf

unidcdf（x,n）

均匀分布（离散）累积分布函数值F（x）=P{X≤x}

expcdf

expcdf（x,Lambda）

参数为Lambda的指数分布累积分布函数值F（x）=P{X≤x}

normcdf

normcdf（x,mu,sigma）

参数为mu，sigma的正态分布累积分布函数值F（x）=P{X≤x}

chi2cdf

chi2cdf（x,n）

自由度为n的卡方分布累积分布函数值F（x）=P{X≤x}

tcdf

tcdf（x,n）

自由度为n的t分布累积分布函数值F（x）=P{X≤x}

fcdf

fcdf（x,n1,n2）

第一自由度为n1,第二自由度为n2的F分布累积分布函数值

gamcdf

gamcdf（x,a,b）

分布累积分布函数值F（x）=P{X≤x}

betacdf

betacdf（x,a,b）

logncdf

logncdf（x,mu,sigma）

参数为mu,sigma的对数正态分布累积分布函数值

nbincdf

nbincdf（x,R,P）

参数为R，P的负二项式分布概累积分布函数值F（x）=P{X≤x}

ncfcdf

ncfcdf（x,n1,n2,delta）

参数为n1，n2，delta的非中心F分布累积分布函数值

nctcdf

nctcdf（x,n,delta）

参数为n，delta的非中心t分布累积分布函数值F（x）=P{X≤x}

ncx2cdf

ncx2cdf（x,n,delta）

参数为n，delta的非中心卡方分布累积分布函数值

raylcdf

raylcdf（x,b）

参数为b的瑞利分布累积分布函数值F（x）=P{X≤x}

weibcdf

weibcdf（x,a,b）

参数为a,b的韦伯分布累积分布函数值F（x）=P{X≤x}

binocdf

binocdf（x,n,p）

参数为n,p的二项分布的累积分布函数值F（x）=P{X≤x}

geocdf

geocdf（x,p）

参数为p的几何分布的累积分布函数值F（x）=P{X≤x}

hygecdf

hygecdf（x,M,K,N）

参数为M，K，N的超几何分布的累积分布函数值

poisscdf

poisscdf（x,Lambda）

参数为Lambda的泊松分布的累积分布函数值F（x）=P{X≤x}

说明累积概率函数就是分布函数F（x）=P{X≤x}在x处的值。

4.3随机变量的逆累积分布函数

MATLAB中的逆累积分布函数是已知

，求x。

逆累积分布函数值的计算有两种方法

4.3.1通用函数计算逆累积分布函数值

命令icdf计算逆累积分布函数

格式

说明返回分布为name，参数为

，累积概率值为P的临界值，这里name与前面表4.1相同。

如果

，则

例4-24在标准正态分布表中，若已知

=0.975，求x

x=icdf（'

0.975,0,1）

x=

1.9600

4.4.2专用函数-inv计算逆累积分布函数

命令正态分布逆累积分布函数

函数norminv

格式X=norminv（p,mu,sigma）%p为累积概率值，mu为均值，sigma为标准差，X为临界值，满足：

p=P{X≤x}。

例4-27设

，确定c使得

。

由

得，

=0.5，所以

X=norminv（0.5,3,2）

X=

3

关于常用临界值函数可查下表4-5。

表4-5常用临界值函数表

unifinv

x=unifinv（p,a,b）

均匀分布（连续）逆累积分布函数（P=P{X≤x}，求x）

unidinv

x=unidinv（p,n）

均匀分布（离散）逆累积分布函数，x为临界值

expinv

x=expinv（p,Lambda）

指数分布逆累积分布函数

norminv

x=Norminv（x,mu,sigma）

正态分布逆累积分布函数

chi2inv

x=chi2inv（x,n）

卡方分布逆累积分布函数

tinv

x=tinv（x,n）

t分布累积分布函数

finv

x=finv（x,n1,n2）

F分布逆累积分布函数

gaminv

x=gaminv（x,a,b）

分布逆累积分布函数

betainv

x=betainv（x,a,b）

logninv

x=logninv（x,mu,sigma）

对数正态分布逆累积分布函数

nbininv

x=nbininv（x,R,P）

负二项式分布逆累积分布函数

ncfinv

x=ncfinv（x,n1,n2,delta）

非中心F分布逆累积分布函数

nctinv

x=nctinv（x,n,delta）

非中心t分布逆累积分布函数

ncx2inv

x=ncx2inv（x,n,delta）

非中心卡方分布逆累积分布函数

raylinv

x=raylinv（x,b）

瑞利分布逆累积分布函数

weibinv

x=weibinv（x,a,b）

韦伯分布逆累积分布函数

binoinv

x=binoinv（x,n,p）

二项分布的逆累积分布函数

geoinv

x=geoinv（x,p）

几何分布的逆累积分布函数

hygeinv

x=hygeinv（x,M,K,N）

超几何分布的逆累积分布函数

poissinv

x=poissinv（x,Lambda）

泊松分布的逆累积分布函数

例4-28公共汽车门的高度是按成年男子与车门顶碰头的机会不超过1%设计的。

设男子身高X（单位：

cm）服从正态分布N（175，36），求车门的最低高度。

设h为车门高度，X为身高

求满足条件

的h，即

，所以

h=norminv（0.99,175,6）

h=

188.9581

4.4随机变量的数字特征

4.5.1平均值、中值

命令利用mean求算术平均值

格式mean（X）%X为向量，返回X中各元素的平均值

mean（A）%A为矩阵，返回A中各列元素的平均值构成的向量

说明X为向量时，算术平均值的数学含义是

，即样本均值。

例4-30

A=[1345;

2346;

1315]

A=

1345

2346

1315

mean（A）

1.33333.00003.00005.3333

命令利用median计算中值（中位数）

格式median（X）%X为向量，返回X中各元素的中位数。

median（A）%A为矩阵，返回A中各列元素的中位数构成的向量。

例4-32

median（A）

命令求最大值与最小值之差

函数range

格式Y=range（X）%X为向量，返回X中的最大值与最小值之差。

Y=range（A）%A为矩阵，返回A中各列元素的最大值与最小值之差。

例4-38

A=[123;

452;

370]

123

452

370

Y=range（A）

Y=

353

4.5.3期望

命令计算样本均值

函数mean

格式用法与前面一样

例4-39随机抽取6个滚珠测得直径如下：

（直径：

mm）

14.7015.2114.9014.9115.3215.32

试求样本平均值

X=[14.7015.2114.9014.9115.3215.32]；

mean（X）%计算样本均值

则结果如下：

15.0600

命令由分布律计算均值

利用sum函数计算

例4-40设随机变量X的分布律为：

X

-2

-1

1

2

P

0.3

0.1

0.2

求E（X）E（X2-1）

在Matlab编辑器中建立M文件如下：

X=[-2-1012];

p=[0.30.10.20.10.3];

EX=sum（X.*p）

Y=X.^2-1

EY=sum（Y.*p）

运行后结果如下：

EX=

0

30-103

EY=

1.6000

4.5.4方差

命令求样本方差

函数var

格式D=var（X）%var（X）=

若X为向量，则返回向量的样本方差。

D=var（A）%A为矩阵，则D为A的列向量的样本方差构成的行向量。

D=var（X,1）%返回向量（矩阵）X的简单方差（即置前因子为

的方差）

命令求标准差

函数std

格式std（X）%返回向量（矩阵）X的样本标准差（置前因子为

）即：

std（X,1）%返回向量（矩阵）X的标准差（置前因子为

std（X,0）%与std（X）相同

例4-41求下列样本的样本方差和样本标准差，方差和标准差

14.7015.2114.9015.3215.32

X=[14.715.2114.914.9115.3215.32];

DX=var（X,1）%方差

DX=

0.0559

sigma=std（X,1）%标准差

sigma=

0.2364

DX1=var（X）%样本方差

DX1=

0.0671

sigma1=std（X）%样本标准差

sigma1=

0.2590

命令样本的偏斜度

函数skewness

格式y=skewness（X）%X为向量，返回X的元素的偏斜度；

X为矩阵，返回X各列元素的偏斜度构成的行向量。

y=skewness（X,flag）%flag=0表示偏斜纠正，flag=1（默认）表示偏斜不纠正。

说明偏斜度样本数据关于均值不对称的一个测度，如果偏斜度为负，说明均值左边的数据比均值右边的数据更散；

如果偏斜度为正，说明均值右边的数据比均值左边的数据更散，因而正态分布的偏斜度为0；

偏斜度是这样定义的：

其中：

μ为x的均值，σ为x的标准差，E（.）为期望值算子

例4-43

X=randn（[5,4]）

X=

0.29440.8580-0.39990.6686

-1.33621.25400.69001.1908

0.7143-1.59370.8156-1.2025

1.6236-1.44100.7119-0.0198

-0.69180.57111.2902-0.1567

y=skewness（X）

y=

-0.0040-0.3136-0.8865-0.2652

y=skewness（X,0）

-0.0059-0.4674-1.3216-0.3954

4.5.6协方差与相关系数

命令协方差

函数cov

格式cov（X）%求向量X的协方差

cov（A）%求矩阵A的协方差矩阵，该协方差矩阵的对角线元素是A的各列的方差，即：

var（A）=diag（cov（A））。

cov（X,Y）%X,Y为等长列向量，等同于cov（[XY]）。

例4-47

X=[0-11]'

;

Y=[122]'

；

C1=cov（X）%X的协方差

C1=

1

C2=cov（X,Y）%列向量X、Y的协方差矩阵，对角线元素为各列向量的方差

C2=

1.00000

00.3333

40-1;

173]

40-1

173

C1=cov（A）%求矩阵A的协方差矩阵

3.0000-4.5000-4.0000

-4.500013.00006.0000

-4.00006.00005.3333

C2=var（A（:

1））%求A的第1列向量的方差

C3=var（A（:

2））%求A的第2列向量的方差

C3=

13

C4=var（A（:

3））

C4=

5.3333

命令相关系数

函数corrcoef

格式corrcoef（X,Y）%返回列向量X,Y的相关系数，等同于corrcoef（[XY]）。

corrcoef（A）%返回矩阵A的列向量的相关系数矩阵

例4-48

139]

139

C1=corrcoef（A）%求矩阵A的相关系数矩阵

1.0000-0.9449-0.8030

-0.94491.00000.9538

-0.80300.95381.0000

C1=corrcoef（A（:

2）,A（:

3））%求A的第2列与第3列列向量的相关系数矩阵

1.00000.9538

0.95381.0000

4.7参数估计

4.7.1常见分布的参数估计

命令正态分布的参数估计

函数normfit

格式[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit（X）

[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit（X,alpha）

说明muhat,sigmahat分别为正态分布的参数μ和σ的估计值，muci,sigmaci分别为置信区间，其置信度为

alpha给出显著水平α，缺省时默认为0.05，即置信度为95%。

例4-63分别使用金球和铂球测定引力常数

（1）用金球测定观察值为：

6.6836.6816.6766.678