第23章《一元二次方程》好题集08232+一元二次方程的解法Word格式.docx
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第23章《一元二次方程》好题集08232+一元二次方程的解法Word格式.docx
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200.x2+3x+ _________ =(x+ _________ )2.
201.若x2+8x+m=(x+n)2,则m= _________ ,n= _________ .
202.若x2﹣2px+q=(x+
)2﹣
,则p= _________ ,q= _________ .
203.填空:
(1)x2+12x+ _________ =(x+6)2;
(2)x2﹣10x+ _________ =(x﹣ _________ )2;
(3)x2+8x+ _________ =(x+ _________ )2.
204.(1999•广州)把x2﹣4x+1化为(x+h)2+k(其中h,k是常数)的形式是 _________ .
205.填上适当的数,使下列等式成立:
x2﹣9x+ _________ =(x﹣ _________ )2.
206.配方:
x2﹣3x+ _________ =(x﹣ _________ )2;
2y2+4y﹣3=2(y+ _________ )2﹣5.
207.
(1)x2+6x+9=(x+ _________ )2,
(2)x2﹣ _________ +
=(x﹣
)2.
208.配方:
x2﹣4x+3=(x﹣□)2+○,要使等式成立,则□= _________ 、○= _________ .
209.
(1)x2﹣2x+ _________ =(x﹣1)2;
(2)x2+
x+
=(x+ _________ )2.
210.配方:
x2﹣4x+3=(x﹣□)2+△,请在“□、△”中填上适当的数,使等式成立 _________ 、 _________ .
参考答案与试题解析
181.关于x的一元二次方程x2+3xy+2y2=0有解,那么有x+y= 0 或x+2y= 0 .
考点:
解一元二次方程-因式分解法.菁优网版权所有
专题:
因式分解.
分析:
由题已知的方程进行因式分解,将方程左边化为两式相乘的形式,再根据两式相乘值为0,这两式中至少有一式值为0,即可求解.
解答:
解:
∵x2+3xy+2y2=0
即(x+y)(x+2y)=0,
∴x+y=0或x+2y=0.
点评:
解此题的关键是进行因式分解.
182.已知三角形的两边分别是4和7,第三边数值是方程x2﹣16x+55=0的根,则此三角形的周长为 16 .
解一元二次方程-因式分解法;
三角形三边关系.菁优网版权所有
分类讨论.
由方程可以求出第三边的可能的长度,再根据三角形的三边关系定理,就可以确定第三边的具体长度,从而可以求出三角形的周长.
解方程x2﹣16x+55=0得:
x1=11x2=5,
当第三边长是11时,4+7=11不满足三角形的三边关系,应舍去;
当第三边长是5时,能构成三角形,周长是4+7+5=16.
求三角形的边长时,一定注意判断是否能构成三角形的三边.
2008x﹣1=0的较大根为a,方程x2+2006x﹣2007=0的较小根为b,则a﹣b= 2008 .
根据系数的特点,应用十字相乘法来因式分解,从而求解.
(2007x)2﹣2006×
2008x﹣1=0,
原方程可化为,
20072x2+(﹣20072+1)x﹣1=0,
(x﹣1)(20072x+1)=0,
解得x1=1,x2=﹣
.
∵所求方程x2+2006x﹣2007=0,
则原方程可化为,
(x﹣1)(x+2007)=0,
解得x3=1,x4=﹣2007.
方程(2007x)2﹣2006×
2008x﹣1=0的较大根为x1=1,
方程x2+2006x﹣2007=0的较小根为x4=﹣2007;
则a﹣b=1﹣(﹣2007)=2008.
本题考查了解一元二次方程的方法,当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时,一般情况下是把左边的式子因式分解,再利用积为0的特点解出方程的根.因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法,要会灵活运用.当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法,此法适用于任何一元二次方程.
十字相乘法:
x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).
184.方程x2﹣|x﹣1|﹣1=0的根是x1= 1 ,x2= ﹣2 (x1>x2).
分类讨论;
本题中因为含有绝对值,因此要对x的取值进行讨论.然后将得出的式子因式分解,即可解出方程的根.
当x≥1,x2﹣|x﹣1|﹣1=x2﹣x+1﹣1=x2﹣x=x(x﹣1)
即x(x﹣1)=0,
∴x=0或x=1,
∵x≥1,
∴x=1…①
当x<1时,x2﹣|x﹣1|﹣1=x2﹣1+x﹣1=x2+x﹣2=(x﹣1)(x+2)
即(x﹣1)(x+2)=0,
∴x=1或x=﹣2,∵x<1,∴x=﹣2…②
综合①②可得:
方程的根为1或﹣2.
本题考查了一元二次方程的解法和绝对值的性质.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法,配方法,公式法,因式分解法,要根据方程的提点灵活选用合适的方法,本题运用的是因式分解法,而去绝对值时要对绝对值内式子的符号进行讨论.
185.(x2+y2)(x2﹣1+y2)﹣12=0,则x2+y2的值是 4 .
换元法解一元二次方程;
换元法.
在解此题时可把x2+y2当成一个整体,用因式分解法求得方程的根,然后根据平方的非负性即可确定.
原式可变为(x2+y2)2﹣(x2+y2)﹣12=0
因式分解得(x2+y2﹣4)(x2+y2+3)=0
∴(x2+y2)=4或﹣3.﹣3<0不合题意舍去.
∴x2+y2=4.
此题主要是把(x2+y2)当成一个整体来进行求解.
186.(2009•青浦区二模)解双二次方程x4+5x2﹣14=0时,如果设x2=y,那么原方程化为关于y的方程是 y2+5y﹣14=0 .
此题用换元法可将二次方程转化为一元二次方程,然后再求解.
设x2=y,代入双二次方程x4+5x2﹣14=0,得y2+5y﹣14=0.
此题考查用换元法求方程解的问题,考查学生整体代换的思想.
187.已知实数x满足(x2﹣x)2﹣4(x2﹣x)﹣12=0,则代数式x2﹣x+1的值为 7 .
换元法解一元二次方程.菁优网版权所有
将x2﹣x看作一个整体,然后用换元法解方程求出x2﹣x的值,再整体代值求解.
设x2﹣x=m,则原方程可化为:
m2﹣4m﹣12=0,解得m=﹣2,m=6;
当m=﹣2时,x2﹣x=﹣2,即x2﹣x+2=0,△=1﹣8<0,原方程没有实数根,故m=﹣2不合题意,舍去;
当m=6时,x2﹣x=6,即x2﹣x﹣6=0,△=1+24>0,故m的值为6;
∴x2﹣x+1=m+1=7.
本题的关键是把x2﹣x看成一个整体来计算,即换元法思想.
188.(2004•锦州)若关于x的方程x2+5x+k=0有实数根,则k的取值范围是 k≤
.
根的判别式.菁优网版权所有
判断上述方程的根的情况,只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了.关于x的方程x2+5x+k=0有实数根,△=b2﹣4ac≥0.
∵a=1,b=5,c=k,
∴△=b2﹣4ac=52﹣4×
1×
k=25﹣4k≥0,
∴k≤
总结:
一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;
(3)△<0⇔方程没有实数根.
(1)当b2﹣4ac > 0⇔方程有两个不相等的实数根.
(2)当b2﹣4ac = 0⇔方程有两个相等的实数根.
(3)当b2﹣4ac < 0⇔方程无实数根.
判断上述方程的根的情况,只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了.
因为一元二次方程的根的判别式△=b2﹣4ac,
当△>0时,方程有两个不相等的实数根;
当△=0时,方程有两个相等的实数根;
当△<0时,方程无实数根.
一元二次方程根的判别式的应用是需要熟记的内容.
190.方程3x2+2x+4=0中,b2﹣4ac= ﹣44 ,则该一元二次方程没有实数根.
把a,b,c代入△=b2﹣4ac,求出△的值,然后根据判别式与0的大小就可以得到方程根的情况.
∵a=3,b=2,c=4,
∴△=b2﹣4ac=4﹣48=﹣44<0,
∴方程没有实数根.
故填空答案:
﹣44.
注意△=b2﹣4ac中a,b,c的含义,在确定时首先把方程化为一般形式.
191.已知一元二次方程ax2+4x+2=0,且b2﹣4ac=0,则a= 2 ,x= ﹣1 .
根的判别式;
解一元二次方程-配方法.菁优网版权所有
把方程的a,b,c的值代入b2﹣4ac=0中,求得a的值,化简方程求解.
∵a=a,b=4,c=2,
∴b2﹣4ac=16﹣8a=0,
∴a=2,
方程化简为:
2x2+4x+2=0,即x2+2x+1=0,
解得x=﹣1.
根据条件求出了a的值,用配方法求出了方程的根.
192.如果方程3x2+x+a=0有实数根,则a的取值范是 a≤
若一元二次方程有实根,则根的判别式△=b2﹣4ac≥0,建立关于a的不等式,即可求出a的取值范围.
∵方程有实数根,
∴△=b2﹣4ac=12﹣4×
3×
a=1﹣12a≥0,
解得:
a≤
故应填a
193.关于x的方程ax2﹣3x﹣1=0有实数根,则a的取值范围是 a≥
由于关于x的方程ax2﹣3x﹣1=0有实数根,所以分两种情况:
(1)当a≠0时,方程为一元二次方程,那么它的判别式的值是一个非负数,由此即可求出a的取值范围;
(2)当a=0时,方程为﹣3x﹣1=0,此时一定有解.
(1)当a=0时,方程为﹣3x﹣1=0,此时一定有解;
(2)当a≠0时,方程为一元二次方程,
∴△=b2﹣4ac=9+4a≥0,
∴a≥﹣
所以根据两种情况得a的取值范围是a≥﹣
a≥﹣
此题切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件.
194.(2010•泰州模拟)如果关于x的方程x2+4x﹣m=0有两个不相等的实数根,那么m的取值范围是 m>﹣4 .
要使方程x2+4x﹣m=0有两个不相等的实数根,只需△>0.即可得到关于m的不等式,从而求得m的范围.
∵方程x2+4x﹣m=0有两个不相等的实数根,
∴△=16+4m>0,
即m>﹣4.
本题考查了一元二次方程根的判别式的应用.
195.已知a,b,c分别是三角形的三边,则方程(a+b)x2+2cx+(a+b)=0的根的情况是 无解 .
△=(2c)2﹣4(a+b)(a+b)=4c2﹣4(a+b)2只要说明这个式子的值的符号,问题可求解.根据三角形的三边关系即可判断.
△=(2c)2﹣4(a+b)(a+b)=4c2﹣4(a+b)2=4(c+a+b)(c﹣a﹣b)
∵a,b,c分别是三角形的三边,
∴a+b>c.
∴c+a+b>0,c﹣a﹣b<0
∴△<0,
则方程没有实数根.
本题综合考查了三角形的三边关系,一元二次方程的根的判别式.
196.若方程x2﹣2|x|+3=k有四个互不相等的实数根,则k的取值范围是 2<k<3 .
解方程x2﹣2|x|+3=k,根据绝对值的意义,去掉绝对值可化为两个方程,原方程有四个不同的解,则得到的两个一元二次方程都有两个不同的解,根据△=b2﹣4ac≥0,建立关于k的不等式,求出k的取值范围.
整理方程:
x2﹣2|x|+3﹣k=0,△=b2﹣4ac=4﹣4(3﹣k)=﹣8+4k>0,∴k>2
当x≥0时,方程可化为:
x2﹣2x+3﹣k=0,
∵△=b2﹣4ac=4﹣4(3﹣k)=﹣8+4k>0,
∴k>2
方程的两个实根是正数则3﹣k>0
∴k<3.
则2<k<3
当x<0时,方程可化为:
x2+2x+3﹣k=0,
同理可得:
2<k<3
∴综上所求,使方程有四个不相等的根,2<k<3.
197.若方程x2﹣4|x|+5=m有4个互不相等的实数根,则m应满足 1<m<5 .
方程含有绝对值,先化简原方程为两个方程,再利用一元二次方程有两个不等实数根时,根的判别式△>0,建立关于m的不等式,结合y轴上的点的坐标,即可求m的取值范围.
设y=|x|,则原方程为:
y2﹣4y+5=m,
∵方程x2﹣4|x|+5=m有4个互不相等的实数根,
∴方程y2﹣4y+5=m有2个互不相等的正实数根,
设y1与y2是方程y2﹣4y+5=m的两个根,
∴△=b2﹣4ac=16﹣4(5﹣m)=4m﹣4>0,y1•y2=5﹣m>0,
∴m>1且m<5.
故答案为:
1<m<5.
注意方程中含有绝对值时,要把方程化为两个方程后分析求解.
198.(2010•仙桃)二次三项式x2﹣4x﹣1写成a(x+m)2+n的形式为 (x﹣2)2﹣5 .
配方法的应用.菁优网版权所有
将所给式子配成完全平方式即可.
原式=x2﹣4x+4﹣5=(x﹣2)2﹣5.
配方法的难点是配方,要求学生必须熟练掌握公式“a2±
2ab+b2”,判断什么是:
“a”或“b”或“ab”,怎样从a2、2ab这两项去找出“b”,或从a2、b2这两项去找出2ab”,或从2ab去找出a2和b2”.同学们要熟练掌握这些基本方法,从而做到心中有数,配方有路可循.
199.(2010•济宁)若代数式x2﹣6x+b可化为(x﹣a)2﹣1,则b﹣a的值是 5 .
先将代数式配成完全平方式,然后再判断a、b的值.
x2﹣6x+b=x2﹣6x+9﹣9+b=(x﹣3)2+b﹣9=(x﹣a)2﹣1,
∴a=3,b﹣9=﹣1,即a=3,b=8,故b﹣a=5.
5.
能够熟练运用完全平方公式,是解答此类题的关键.
200.x2+3x+
=(x+
)2.
配方法.
此题考查了配方法,若二次项系数为1,则常数项是一次项系数一半的平方.
x2+3x+
=(x+
解此题的关键是找到常数项,常数项是一次项系数一半的平方.
201.若x2+8x+m=(x+n)2,则m= 16 ,n= 4 .
此题考查了配方法,若二次项的系数为1,则常数项为一次项系数的一半的平方,若二次项系数不是1,则可先提取二次项系数,将其化为1即可.
∵x2+8x+16=(x+4)2
∴m=16,n=4.
16,4.
此题考查了学生的应用能力,解题时注意常数项的确定方法.
,则p= ﹣
,q= ﹣
此题考查了配方法,解题时要注意常数项的求得,若二次项系数为1,则常数项是一次项系数的一半的平方,若二次项系数不为1,则可提取二次项系数,将其化为1.
∵x2﹣2px+q=x2﹣2px+p2﹣p2+q=(x﹣p)2+q﹣p2=(x+
∴p=﹣
,q﹣p2=﹣
,q=﹣
此题考查了学生学以致用的能力,解题时要注意常数项的求解方法.
(1)x2+12x+ 36 =(x+6)2;
(2)x2﹣10x+ 25 =(x﹣ 5 )2;
(3)x2+8x+ 16 =(x+ 4 )2.
(1)x2+12x+36=(x+6)2;
(2)x2﹣10x+25=(x﹣5)2;
(3)x2+8x+16=(x+4)2.
204.(1999•广州)把x2﹣4x+1化为(x+h)2+k(其中h,k是常数)的形式是 (x﹣2)2﹣3 .
压轴题.
二次项系数为1,则常数项是一次项系数的一半的平方即可求解.
原式=x2﹣4x+4﹣3=(x﹣2)2﹣3.
“a”或“b”,或“ab”,怎样从a2、2ab这两项去找出“b”,或从a2、b2这两项去找出2ab”,或从2ab去找出a2和b2”.同学们要熟练掌握这些基本方法,从而做到心中有数,配方有路可循.
x2﹣9x+
=(x﹣
若要将x2﹣9x配成完全平方式,常数项应该是一次项系数的一半的平方,即
,然后再按完全平方公式进行求解即可.
x2﹣9x+
=x2﹣9x+(
)2=(x﹣
在对二次三项式进行配方时,一般要将二次项系数化为1,然后将常数项进行拆分,使得其中一个常数是一次项系数的一半的平方.
x2﹣3x+
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- 一元二次方程 23 一元 二次方程 好题集 08232 解法