专题05 对角互补模型巩固练习提优冲刺中考几何专项复习解析版Word下载.docx
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∴△DBG≌△DCH,∴BG=CH,∴结论仍然成立.
2.在等边△ABC中,点D是线段BC的中点,∠EDF=120º
,射线DE与线段AB相交于点E,射线DF与线段AC(或AC的延长线)相交于点F.
(1)如图1,若DF⊥AC,直接写出DE与AB的位置关系;
(2)如图2,将
(1)中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度,DF仍与线段AC相交于点F,求证:
DE=DF;
(3)在∠EDF绕D顺时针旋转过程中,直接用等式表示线段BE、CF、AB之间的数量关系.
(1)DE⊥AB;
(2)见解析;
(3)
(1)∵DF⊥AC,∴∠AFD=90º
∵∠A=60º
,∠EDF=120º
,∴∠AED=360º
-∠A-∠AFD-∠EDF=90º
,∴∠DE⊥AB;
(2)连接AD,过点D作DM⊥AB于点M,作DN⊥AC于点N,如图所示:
∵点D是BC的中点,∴AD是∠BAC的角平分线,∴DM=DN,
∵∠AMD=∠BMD=∠AND=∠CND=90º
,∠A=60º
,∴∠MDN=360º
-60º
-90º
=120º
∵∠EDF=120º
,∴∠MDE=∠NDF,∴△EMD≌△FND,∴DE=DF;
(3)过点D作DM⊥AB于点M,作DN⊥AC于点N,如图所示:
在△BOM与△CDN中,
,∴BM=CN,DM=DN,
=∠MDN,∴∠EDM=∠NDF,
在△DME与△NDF中,
,∴△EDM≌△FDN,∴ME=NF,
∴BE-CF=BM+EM-(FN-CN)=2BM=BD=
.
3.抛物线
与
轴交于点A,顶点为B,对称轴BC与
轴交于点C.
(1)如图1,求点A的坐标及线段OC的长;
(2)点P在抛物线上,直线PQ∥BC交
轴于点Q,连接BQ.若含45º
角的直角三角板如图2所示放置,其中,一个顶点与点C重合,直角顶点D在BQ上,另一个顶点E在PQ上,求直线BQ的函数解析式;
(1)
,OC=1;
(2)
(1)将
代入到
中,解得
,∴
∵BC为对称轴,点B的坐标为(1,3),∴OC=1;
(2)如图,分别过点D作DM⊥
轴于点M,作DN⊥PQ于点N.
∵PQ∥BC,∴∠DMQ=∠DNQ=∠MQN=90º
,∴四边形DMQN是矩形,
∵△CDE是等腰直角三角形,∴DC=DE,
∵∠CDM+∠MDE=∠EDN+MDE=90º
,∴∠CDM=∠EDN,∴△CDM≌△EDN,
∴DM=DN,∴矩形DMQN是正方形,∴∠BQC=45º
,∴△BQC是等腰直角三角形,
∴CQ=CB=3,∴Q(4,0),设BQ的解析式为
,将点B、Q坐标代入解得K=-1,b=4,
∴直线BQ的解析式为
4.如图,在正方形ABCD中,AC是对角线,今有较大的直角三角板,一边始终经过点B,直角顶点P在射线AC上移动,另一边交DC于Q.
(1)如图1,当点Q在DC边上,猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系,并加以说明;
(2)如图2,当点Q落在DC延长线上时,猜想并写出PB与PQ满足的数量关系,请证明你的猜想.
(1)PB=PQ;
(2)PB=PQ
(1)过点P作PE⊥BC,PF⊥CD,如图所示:
∵P、C为正方形对角线AC上的点,∴PC平分∠DCB,∠DCB=90º
∴PF=PE,∴四边形PECF为正方形,
∵∠BPE+∠QPE=90º
,∠QPE+∠QPF=90º
∴∠BPE=∠QPF,∴△PQF≌△PBE,∴PB=PQ;
(2)过点P作PE⊥BC,PF⊥CD,如图所示:
证明过程参考
(1),通过证△PQF≌△PBE即可得到PB=PQ.
5.我们把两组对边分别平行的四边形定义为平行四边形,同样的道理,我们也可以把至少有一组邻边相等的四边形定义为等邻边四边形.把对角互补的等邻边四边形定义为完美等邻边四边形.
(1)请写出一个你学过的特殊四边形中是等邻边四边形的图形的名称;
(2)已知,如图,完美等邻边四边形ABCD,AD=CD,∠B+∠D=180°
,连接对角线AC,BD,请你结合图形,写出完美等邻边四边形的一条性质;
(3)在四边形ABCD中,若∠B+∠D=180°
,且BD平分∠ABC时,
求证:
四边形ABCD是完美等邻边四边形.
(1)菱形、正方形都是满足条件的等邻边四边形;
(2)∠BAD+∠BCD=180°
;
(3)见解析
(1)菱形、正方形都是满足条件的等邻边四边形
(2)性质是∠BAD+∠BCD=180°
(3)证明:
作DM⊥BC,DN⊥AB,垂足分别为M,N,
∵BD平分∠ABC,DM⊥BC,DN⊥AB,
∴DM=DN,
∵∠DMB=∠DNB=90°
∴∠ABC+∠MDN=180°
∵∠ABC+∠ADC=180°
∴∠ADC=∠MDN,
∴∠ADN=∠MDC,
∵∠DNA=∠DMC,
∴△DMC≌△DNA,
∴AD=CD,
∴四边形ABCD是等邻边四边形;
又∵∠ABC+∠ADC=180°
∴等邻边四边形ABCD是完美等邻边四边形.
6.阅读理解
如果同一平面内的四个点在同一个圆上,则称这四个点共圆,一般简称为“四点共圆”.证明“四点共圆”判定定理有:
1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等,那么这两点和线段两端点四点共圆;
2、若平面上四点连成的四边形对角互补,那么这四点共圆.例:
如图1,若∠ADB=∠ACB,则A,B,C,D四点共圆;
或若∠ADC+∠ABC=180°
,则A,B,C,D四点共圆.
(1)如图1,已知∠ADB=∠ACB=60°
,∠BAD=65°
,则∠ACD= ;
(2)如图2,若D为等腰Rt△ABC的边BC上一点,且DE⊥AD,BE⊥AB,AD=2,求AE的长;
(3)如图3,正方形ABCD的边长为4,等边△EFG内接于此正方形,且E,F,G分别在边AB,AD,BC上,若AE=3,求EF的长.
(1)55°
(2)2
(1)∵∠ADB=∠ACB=60°
∴A,B,C,D四点共圆,
∴∠ACD=∠ABD=180°
﹣∠ADB﹣∠BAD=180°
﹣60°
﹣65°
=55°
故答案为:
55°
(2)在线段CA取一点F,使得CF=CD,如图2所示:
∵∠C=90°
,CF=CD,AC=CB,
∴AF=DB,∠CFD=∠CDF=45°
∴∠AFD=135°
∵BE⊥AB,∠ABC=45°
∴∠ABE=90°
,∠DBE=135°
∴∠AFD=∠DBE,
∵AD⊥DE,
∴∠ADE=90°
∵∠FAD+∠ADC=90°
,∠ADC+∠BDE=90°
∴∠FAD=∠BDE,
在△ADF和△DEB中,
∴△ADF≌△DEB(ASA),
∴AD=DE,
∵∠ADE=90°
∴△ADE是等腰直角三角形,
∴AE
AD=2
(3)作EK⊥FG于K,则K是FG的中点,连接AK,BK,如图3所示:
∴∠EKG=∠EBG=∠EKF=∠EAF=90°
∴E、K、G、B和E、K、F、A分别四点共圆,
∴∠KBE=∠EGK=60°
,∠EAK=∠EFK=60°
∴△ABK是等边三角形,
∴AB=AK=KB=4,作KM⊥AB,则M为AB的中点,
∴KM=AK•sin60°
=2
∵AE=3,AM
AB=2,
∴ME=3﹣2=1,
∴EK
∴EF
.
7.我们规定:
一组邻边相等且对角互补的四边形叫作“完美四边形”.
(1)在①平行四边形,②菱形,③矩形,④正方形中,一定为“完美”四边形的是 (请填序号);
(2)在“完美”四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°
,连接AC.
①如图1,求证:
AC平分∠BCD;
小明通过观察、实验,提出以下两种想法,证明AC平分∠BCD:
想法一:
通过∠B+∠D=180°
,可延长CB到E,使BE=CD,通过证明△AEB≌△ACD,从而可证AC平分∠BCD;
想法二:
通过AB=AD,可将△ACD绕点A顺时针旋转,使AD与AB重合,得到△AEB,可证C,B,E三点在一条直线上,从而可证AC平分∠BCD.
请你参考上面的想法,帮助小明证明AC平分∠BCD;
②如图2,当∠BAD=90°
,用等式表示线段AC,BC,CD之间的数量关系,并证明.
(1)④;
(2)①见解析;
②BC+CD
AC
(1)由“完美四边形”的定义可得正方形是“完美四边形”.
④
(2)①想法一:
延长CB使BE=CD,连接AE
∵∠ADC+∠ABC=180°
,∠ABE+∠ABC=180°
∴∠ADC=∠ABE
∵AD=AB,
∴△ADC≌△ABE(SAS)
∴∠ACD=∠AEB,AC=AE
∴∠ACB=∠AEB.
∴∠ACD=∠ACB.
即AC平分∠BCD4
将△ACD绕点A顺时针旋转,使AD边与AB边重合,得到△ABE,
∴△ADC≌△ABE.
∴∠ADC=∠ABE;
∠ACD=∠AEB;
AC=AE.
∴∠ABE+∠ABC=180°
∴点C,B,E在一条直线上.
∵AC=AE,
∴∠ACB=∠AEB
∴∠ACD=∠ACB
即AC平分∠BCD
理由如下:
延长CB使BE=CD,连接AE,
由①得△ACE为等腰三角形.
∵∠BAD=90°
∴∠EAC=90°
∴CE2=2AC2,
∴
∴BC+CD
AC.
8.定义:
若四边形有一组对角互补,一组邻边相等,且相等邻边的夹角为直角,像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形,简称“直等补”四边形.
根据以上定义,解决下列问题:
(1)如图1,正方形ABCD中,E是CD上的点,将△BCE绕B点旋转,使BC与BA重合,此时点E的对应点F在DA的延长线上,则四边形BEDF为“直等补”四边形,为什么?
(2)如图2,已知四边形ABCD是“直等补”四边形,AB=BC=5,CD=1,AD>AB,点B到直线AD的距离为BE.
①求BE的长;
②若M、N分别是AB、AD边上的动点,求△MNC周长的最小值.
(1)见解析;
(2)①4;
②8
(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC=∠BAD=∠C=∠D=90°
∵将△BCE绕B点旋转,使BC与BA重合,此时点E的对应点F在DA的延长线上,
∴BE=BF,∠CBE=∠ABF,
∴∠EBF=∠ABC=90°
∴∠EBF+∠D=180°
∴四边形BEDF为“直等补”四边形;
(2)①过C作CF⊥BF于点F,如图1,
则∠CFE=90°
∵四边形ABCD是“直等补”四边形,AB=BC=5,CD=1,AD>AB,
∴∠ABC=90°
,∠ABC+∠D=180°
∴∠D=90°
∵BE⊥AD,
∴∠DEF=90°
∴四边形CDEF是矩形,
∴EF=CD=1,
∵∠ABE+∠A=∠CBE+∠ABE=90°
∴∠A=∠CBF,
∵∠AEB=∠BFC=90°
,AB=BC=5,
∴△ABE≌△BCF(AAS),
∴BE=CF,
设BE=CF=x,则BF=x﹣1,
∵CF2+BF2=BC2,
∴x2+(x﹣1)2=52,
解得,x=4,或x=﹣3(舍),
∴BE=4;
②如图2,延长CB到F,使得BF=BC,延长CD到G,使得CD=DG,连接FG,分别与AB、AD交于点M、N,过G作GH⊥BC,与BC的延长线交于点H.
则BC=BF=5,CD=DG=1,
∵∠ABC=∠ADC=90°
∴CM=FM,CN=GN,
∴△MNC的周长=CM+MN+CN=FM+MN+GN=FG的值最小,
∵四边形ABCD是“直等补”四边形,
∴∠A+∠BCD=180°
∵∠BCD+∠HCG=180°
∴∠A=∠HCG,
∵∠AEB=∠CHG=90°
∴△ABE∽△CGH,
∵AB=5,BE=4,
∴GH
,CH
∴FH=FC+CH
∴FG
8
∴△MNC周长的最小值为8
9.如图1,四边形ABCD,将顶点为A的∠EAF绕着顶点A顺时针旋转,角的一条边与DC的延长线交于点F,角的另一边与CB的延长线交于点E,连接EF.
(1)如果四边形ABCD为正方形,当∠EAF=45°
时,有EF=DF﹣BE.请你思考如何证明这个结论(只需思考,不必写出证明过程);
(2)如图2,如果在四边形ABCD中,AB=AD,∠ABC=∠ADC=90°
,当∠EAF
∠BAD时,EF与DF、BE之间有怎样的数量关系?
请写出它们之间的关系式(只需写出结论);
(3)如图3,如果在四边形ABCD中,AB=AD,∠ABC与∠ADC互补,当∠EAF
∠BAD时,EF与DF、BE之间有怎样的数学关系?
请写出它们之间的关系式并给予证明;
(4)在(3)中,若BC=4,DC=7,CF=2,求△CEF的周长(直接写出结果即可).
(2)EF=DF﹣BE;
(3)EF=DF﹣BE;
(4)15
(1)证明:
在DF上截取DM=BE;
∵AD=AB,∠ABE=∠ADM=90°
∴△ABE≌△ADM(SAS),
∴AE=AM,∠EAB=∠DAM;
∵∠EAF=45°
,且∠EAB=∠DAM,
∴∠BAF+∠DAM=45°
,即∠MAF=45°
=∠EAF,
又∵AE=AM,AF=AF,
∴△AEF≌△AMF,得EF=FM,
∵DF=DM+FM,
∴DF=BE+EF,即EF=DF﹣BE.
(2)EF=DF﹣BE.(解法参照
(1)(3))
(3)EF=DF﹣BE.
证明:
在DF上截取DM=BE,
∵∠D+∠ABC=∠ABE+∠ABC=180°
∴∠D=∠ABE,
∴AD=AB,
∴△ADM≌△ABE,
∴AM=AE,
∴∠DAM=∠BAE;
∵∠EAF=∠BAE+∠BAF
∠BAD,
∴∠MAF
∴∠EAF=∠MAF;
∵AF是△EAF与△MAF的公共边,
∴△EAF≌△MAF,
∴EF=MF;
∵MF=DF﹣DM=DF﹣BE,
∴EF=DF﹣BE.
(4)由上面的结论知:
DF=EF+BE;
∴△CEF的周长=EF+BE+BC+CF=DF+BC+CF=9+4+2=15.
即△CEF的周长为15.
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