新人教版数学第二十六章二次函数全章教学设计文档格式.docx
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-1
1
2
3
4
y
-6
-4
(2)描点:
用表格里各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点。
(3)连线:
用光滑的曲线顺次连接各点,得到函数y=-
的图象。
说明:
(1)列表时,应根据对称轴是x=1,以1为中心,对称地选取自变量的值,求出相应的函数值。
相应的函数值是相等的。
(2)直角坐标系中x轴、y轴的长度单位可以任意定,且允许x轴、y轴选取的长度单位不同。
所以要根据具体问题,选取适当的长度单位,使画出的图象美观。
让学生观察函数图象,发表意见,互相补充,得到这个函数韵性质;
当x<1时,函数值y随x的增大而增大;
当x>1时,函数值y随x的增大而减小;
当x=1时,函数取得最大值,最大值y=-2
三、做一做
1.请你按照上面的方法,画出函数y=
x2-4x+10的图象,由图象你能发现这个函数具有哪些性质吗?
教学要点
(1)在学生画函数图象的同时,教师巡视、指导;
(2)叫一位或两位同学板演,学生自纠,教师点评。
2.通过配方变形,说出函数y=-2x2+8x-8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,这个函数有最大值还是最小值?
这个值是多少?
(1)在学生做题时,教师巡视、指导;
(2)让学生总结配方的方法;
(3)让学生思考函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系?
这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系?
以上讲的,都是给出一个具体的二次函数,来研究它的图象与性质。
那么,对于任意一个二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标?
你能把结果写出来吗?
教师组织学生分组讨论,各组选派代表发言,全班交流,达成共识;
y=ax2+bx+c=a(x2+
x)+c=a[x2+
x+(
)2-(
)2]+c=a[x2+
)2]+c-
=a(x+
)2+
当a>0时,开口向上,当a<0时,开口向下。
对称轴是x=-b/2a,顶点坐标是(-
)
四、课堂练习:
P15练习第1、2、3题。
五、小结:
通过本节课的学习,你学到了什么知识?
有何体会?
六、作业:
1.填空:
(1)抛物线y=x2-2x+2的顶点坐标是_______;
(2)抛物线y=2x2-2x-
的开口_______,对称轴是_______;
(3)抛物线y=-2x2-4x+8的开口_______,顶点坐标是_______;
(4)抛物线y=-
x2+2x+4的对称轴是_______;
(5)二次函数y=ax2+4x+a的最大值是3,则a=_______.
2.画出函数y=2x2-3x的图象,说明这个函数具有哪些性质。
3.通过配方,写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
(1)y=3x2+2x;
(2)y=-x2-2x
(3)y=-2x2+8x-8(4)y=
x2-4x+3
4.求二次函数y=mx2+2mx+3(m>0)的图象的对称轴,并说出该函数具有哪些性质
26.1 二次函数(7)
1.能根据实际问题列出函数关系式、
2.使学生能根据问题的实际情况,确定函数自变量x的取值范围。
3.通过建立二次函数的数学模型解决实际问题,培养学生分析问题、解决问题的能力,提高学生用数学的意识。
根据实际问题建立二次函数的数学模型,并确定二次函数自变量的范围,既是教学的重点又是难点。
一、复习旧知
1.通过配方,写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
(1)y=6x2+12x;
(2)y=-4x2+8x-10
[y=6(x+1)2-6,抛物线的开口向上,对称轴为x=-1,顶点坐标是(-1,-6);
y=-4(x-1)2-6,抛物线开口向下,对称轴为x=1,顶点坐标是(1,-6))
2.以上两个函数,哪个函数有最大值,哪个函数有最小值?
说出两个函数的最大值、最小值分别是多少?
(函数y=6x2+12x有最小值,最小值y=-6,函数y=-4x2+8x-10有最大值,最大值y=-6)
二、范例
有了前面所学的知识,现在就可以应用二次函数的知识去解决第2页提出的两个实际问题;
例1、要用总长为20m的铁栏杆,一面靠墙,围成一个矩形的花圃,怎样围法才能使围成的花圃的面积最大?
设矩形的宽AB为xm,则矩形的长BC为(20-2x)m,由于x>0,且20-2x>O,所以O<x<1O。
围成的花圃面积y与x的函数关系式是
y=x(20-2x)
即y=-2x2+20x
配方得y=-2(x-5)2+50
所以当x=5时,函数取得最大值,最大值y=50。
因为x=5时,满足O<x<1O,这时20-2x=10。
所以应围成宽5m,长10m的矩形,才能使围成的花圃的面积最大。
例2.某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售,一天可销出约100件,该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润,经过市场调查,发现这种商品单价每降低0.1元,其销售量可增加约10件。
将这种商品的售价降低多少时,能使销售利润最大?
教学要点
(1)学生阅读第2页问题2分析,
(2)请同学们完成本题的解答;
(3)教师巡视、指导;
(4)教师给出解答过程:
设每件商品降价x元(0≤x≤2),该商品每天的利润为y元。
商品每天的利润y与x的函数关系式是:
y=(10-x-8)(100+1OOx)
即y=-1OOx2+1OOx+200配方得y=-100(x-
)2+225
因为x=
时,满足0≤x≤2。
所以当x=
时,函数取得最大值,最大值y=225。
所以将这种商品的售价降低÷
元时,能使销售利润最大。
例3。
用6m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框。
应做成长、宽各为多少时,才能使做成的窗框的透光面积最大?
最大透光面积是多少?
先思考解决以下问题:
(1)若设做成的窗框的宽为xm,则长为多少m?
(
m)
(2)根据实际情况,x有没有限制?
若有跟制,请指出它的取值范围,并说明理由。
让学生讨论、交流,达成共识:
根据实际情况,应有x>0,且
>0,即解不等式组
,解这个不等式组,得到不等式组的解集为O<x<2,所以x的取值范围应该是0<x<2。
(3)你能说出面积y与x的函数关系式吗?
(y=x·
,即y=-
x2+3x)
详细解答见P16。
小结:
让学生回顾解题过程,讨论、交流,归纳解题步骤:
(1)先分析问题中的数量关系,列出函数关系式;
(2)研究自变量的取值范围;
(3)研究所得的函数;
(4)检验x的取值是否在自变量的取值范围内,并求相关的值:
(5)解决提出的实际问题。
三、课堂练习:
P16练习第1、2、3题。
四、小结:
1.通过本节课的学习,你学到了什么知识?
存在哪些困惑?
2.谈谈你的收获和体会。
五、作业:
1.求下列函数的最大值或最小值。
(1)y=-x2-4x+2
(2)y=x2-5x+
(3)y=5x2+10(4)y=-2x2+8x
2.已知一个矩形的周长是24cm。
(1)写出矩形面积S与一边长a的函数关系式。
(2)当a长多少时,S最大?
3.填空:
(1)二次函数y=x2+2x-5取最小值时,自变量x的值是______;
(2)已知二次函数y=x2-6x+m的最小值为1,那么m的值是______。
4.如图
(1)所示,要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙,如果用50m长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场,没靠墙的篱笆长度为xm。
(1)要使鸡场的面积最大,鸡场的长应为多少米?
(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙,要使鸡场面积最大,鸡场的长应为多少米?
(3)比较
(1)、
(2)的结果,你能得到什么结论?
5.如图
(2),已知平行四边形ABCD的周长为8cm,∠B=30°
,若边长AB=x(cm)。
(1)写出□ABCD的面积y(cm2)与x的函数关系式,并求自变量x的取值范围。
(2)当x取什么值时,y的值最大?
并求最大值。
(3).求二次函数的函数关系式
26.2 用函数的观点看一元二次方程
(1)
教学目标:
1.通过探索,使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系。
2.使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题,提高学生用数学的意识。
3.进一步培养学生综合解题能力,渗透数形结合思想。
使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系,能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题是教学的重点。
进一步培养学生综合解题能力,渗透数形结合的思想是教学的难点.
一、引言
在现实生活中,我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题,如拱桥跨度、拱高计算等,利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题,具有很现实的意义。
本节课,请同学们共同研究,尝试解决以下几个问题。
二、探索问题
问题1:
某公园要建造一个圆形的喷水池,在水池中央垂直于水面竖一根柱子,上面的A处安装一个喷头向外喷水。
连喷头在内,柱高为0.8m。
水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,如图
(1)所示。
根据设计图纸已知:
如图
(2)中所示直角坐标系中,水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y=-x2+2x+
。
(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少?
(2)如果不计其他的因素,那么水池至少为多少时,才能使喷出的水流都落在水池内?
1.让学生讨论、交流,如何将文学语言转化为数学语言,得出问题
(1)就是求函数y=-x2+2x+
最大值,问题
(2)就是求如图
(2)B点的横坐标;
2.学生解答,教师巡视指导;
3.让一两位同学板演,教师讲评。
问题2:
一个涵洞成抛物线形,它的截面如图(3)所示,现测得,当水面宽AB=1.6m时,涵洞顶点与水面的距离为2.4m。
这时,离开水面1.5m处,涵洞宽ED是多少?
是否会超过1m?
1.教师分析:
根据已知条件,要求ED的宽,只要求出FD的长度。
在如图(3)的直角坐标系中,即只要求出D点的横坐标。
因为点D在涵洞所成的抛物线上,又由已知条件可得到点D的纵坐标,所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D的横坐标。
2.让学生完成解答,教师巡视指导。
3.教师分析存在的问题,书写解答过程。
解:
以AB的垂直平分线为y轴,以过点O的y轴的垂线为x轴,建立直角坐标系。
这时,涵洞的横截面所成抛物线的顶点在原点,对称轴为y轴,开口向下,所以可设它的函数关系式为:
y=ax2(a<0)
(1)
因为AB与y轴相交于C点,所以CB=
=0.8(m),又OC=2.4m,所以点B的坐标是(0.8,-2.4)。
因为点B在抛物线上,将它的坐标代人
(1),得-2.4=a×
0.82所以:
a=-
因此,函数关系式是y=-
x2
(2)
因为OF=1.5m,设FD=x1m(x1>0),则点D坐标为(x1,-1.5)。
因为点D的坐标在抛物线上,将它的坐标代人
(2),得-1.5=-
x12x12=
x1=±
x1=-
不符合假设,舍去,所以x1=
ED=2FD=2×
x1=2×
=
≈
×
3.162≈1.26(m)
所以涵洞ED是
m,会超过1m。
问题3:
画出函数y=x2-x-3/4的图象,根据图象回答下列问题。
(1)图象与x轴交点的坐标是什么;
(2)当x取何值时,y=0?
这里x的取值与方程x2-x-
=0有什么关系?
(3)你能从中得到什么启发?
1.先让学生回顾函数y=ax2+bx+c图象的画法,按列表、描点、连线等步骤画出函数y=x2-x-
2.教师巡视,与学生合作、交流。
3.教师讲评,并画出函数图象,如图(4)所示。
4.教师引导学生观察函数图象,回答
(1)提出的问题,得到图象与x轴交点的坐标分别是(-
,0)和(
,0)。
5.让学生完成
(2)的解答。
教师巡视指导并讲评。
6.对于问题(3),教师组织学生分组讨论、交流,各组选派代表发表意见,全班交流,达成共识:
从“形”的方面看,函数y=x2-x-
的图象与x轴交点的横坐标,即为方程x2-x-
=0的解;
从“数”的方面看,当二次函数y=x2-x-
的函数值为0时,相应的自变量的值即为方程x2-x-
=0的解。
更一般地,函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2+bx+c=0的解;
当二次函数y=ax2+bx+c的函数值为0时,相应的自变量的值即为方程ax2+bx+c=0的解,这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系。
三、试一试
根据问题3的图象回答下列问题。
(1)当x取何值时,y<0?
当x取何值时,y>0?
(当-
<x<
时,y<0;
当x<-
或x>
时,y>0)
(2)能否用含有x的不等式来描述
(1)中的问题?
(能用含有x的不等式采描述
(1)中的问题,即x2-x-
<0的解集是什么?
x2-x-
>0的解集是什么?
想一想:
二次函数与一元二次不等式有什么关系?
让学生类比二次函数与一元二次不等式方程的关系,讨论、交流,达成共识:
(1)从“形”的方面看,二次函数y=ax2+bJ+c在x轴上方的图象上的点的横坐标,即为一元二次不等式ax2+bx+c>0的解;
在x轴下方的图象上的点的横坐标.即为一元二次不等式ax2+bx+c<0的解。
(2)从“数”的方面看,当二次函数y=ax2+bx+c的函数值大于0时,相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2+bx+c>0的解;
当二次函数y=ax2+bx+c的函数值小于0时,相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2+bc+c<0的解。
这一结论反映了二次函数与一元二次不等式的关系。
P23练习1、2。
1.通过本节课的学习,你有什么收获?
有什么困惑?
2.若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴无交点,试说明,元二次方程ax2+bx+c=0和一元二次不等式ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0的解的情况。
1.二次函数y=x2-3x-18的图象与x轴有两交点,求两交点间的距离。
2.已知函数y=x2-x-2。
(1)先确定其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,再画出图象
(2)观察图象确定:
x取什么值时,①y=0,②y>0;
③y<0。
3.学校建造一个圆形喷水池,在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA。
O恰好在水面中心,布置在柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,且在过OA任意平面上的抛物线如图(5)所示,建立直角坐标系(如图(6)),水流喷出的高度y(m)与水面距离x(m)之间的函数关系式是y=-x2+
x+
,请回答下列问题:
(1)花形柱子OA的高度;
(2)若不计其他因素,水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水不至于落在池外?
4.如图(7),一位篮球运动员跳起投篮,球沿抛物线y=-
x2+3.5运行,然后准确落人篮框内。
已知篮框的中心离地面的距离为3.05米。
(1)球在空中运行的最大高度为多少米?
(2)如果该运动员跳投时,球出手离地面的高度为2.25米,请问他距离篮框中心的水平距离是多少?
26.2 用函数的观点看一元二次方程
(2)
1.复习巩固用函数y=ax2+bx+c的图象求方程ax2+bx+c=0的解。
2.让学生体验函数y=x2和y=bx+c的交点的横坐标是方程x2=bx+c的解的探索过程,掌握用函数y=x2和y=bx+c图象交点的方法求方程ax2=bx+c的解。
3.提高学生综合解题能力,渗透数形结合思想。
重点;
用函数图象法求方程的解以及提高学生综合解题能力是教学的重点。
提高学生综合解题能力,渗透数形结合的思想是教学的难点。
一、复习巩固
1.如何运用函数y=ax2+bx+c的图象求方程ax2+bx+c的解?
2.完成以下两道题:
(1)画出函数y=x2+x-1的图象,求方程x2+x-1=0的解。
(精确到0.1)
(2)画出函数y=2x2-3x-2的图象,求方程2x2-3x-2=0的解。
1.学生练习的同时,教师巡视指导,2.教师根据学生情况进行讲评。
略
函数y=2x2-3x-2的图象与x轴交点的横坐标分别是x1=-
和x2=2,所以一元二次方程的解是x1=-
和x2=2。
问题1:
(P23问题4)育才中学初三(3)班学生在上节课的作业中出现了争论:
求方程x2=
x十3的解时,几乎所有学生都是将方程化为x2-
x-3=0,画出函数y=x2-
x-3的图象,观察它与x轴的交点,得出方程的解。
唯独小刘没有将方程移项,而是分别画出了函数y=x2和y=
x+2的图象,如图(3)所示,认为它们的交点A、B的横坐标-
和2就是原方程的解.
提问:
1.这两种解法的结果一样吗?
2.小刘解法的理由是什么?
让学生讨论,交流,发表不同意见,并进行归纳。
3.函数y=x2和y=bx+c的图象一定相交于两点吗?
你能否举出例子加以说明?
4,函数y=x2和y=bx+c的图象的交点横坐标一定是一元二次方程x2=bx+c的解吗?
5.如果函数y=x2和y=bx+c图象没有交点,一元二次方程x2=bx+c的解怎样?
利用图26.3.4(见P24页),运用小刘方法求下列方程的解,并检验小刘的方法是否合理。
(1)x2+x-1=0(精确到0.1);
(2)2x2-3x-2=0。
教学要点:
①要把
(1)的方程转化为x2=-x+1,画函数y=x2和y=-x+1的图象;
②要把
(2)的方程转化为x2=
x+1,画函数y=x2和y=
x+1的图象;
③在学生练习的同时,教师巡视指导;
④解的情况分别与复习两道题的结果进行比较。
四、综合运用
已知抛物线y1=2x2-8x+k+8和直线y2=mx+1相交于点P(3,4m)。
(1)求这两个函数的关系式;
(2)当x取何值时,抛物线与直线相交,并求交点坐标。
(1)因为点P(3,4m)在直线y2=mx+1上,所以有4m=3m+1,解得m=1
所以y1=x+1,P(3,4)。
因为点P(3,4)在抛物线y1=2x2-8x+k+8上,所以有
4=18-24+k+8解得k=2所以y1=2x2-8x+10
(2)依题意,得
解这个方程组,得
所以抛物线与直线的两个交点坐标分别是(3,4),(1.5,2.5)。
1.如何用画函数图象的方法求方程韵解?
2.你能根据方程组:
的解的情况,来判定函数y=x2与y=bx+c图象交点个数吗?
请说说你的看法。
1.利用函数的图象求下列方程的解:
(1)x2+x-6=0;
(2)2x2-3x-5=0
2.利用函数的图象求下列方程的解。
(1)、
,
(2)、
3.填空。
(1)抛物线y=x2-x-2与x轴的交点坐标是______,与y轴的交点坐标是______。
(2)抛物线y=2x2-5x+3与y轴的交点坐标是______,与x轴的交点坐标是______。
4.已知抛物线y1=x2+x-k与直线y=-2x+1的交点的纵坐标为3。
(1)求抛物线的关系式;
(2)求抛物线y=x2+x-k与直线y=-2x+1的另一个交点坐标.
5.已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=x-2相交于(m,-2),(n,3)两点,且抛物线的对称轴为直线x=3,求函数的关系式。
26.3 实际问题与二次函数
(1)
1.使学生掌握用待定系数法由已知图象上一个点的坐标求二次函数y=ax2的关系式。
2.使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。
3.让学生体验二次函数的函数关系式的应用,提高学生用数学意识。
重点:
已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标,分别求二次函数y=ax2、y=ax2+bx+c的关系式是教学的重点。
已知图象上三个点坐标求二次函数的关系式是教学的难点。
一、创设问题情境
如图,某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。
它的拱高AB为4m,拱高CO为0.8m。
施工前要先制造建筑模板,怎样画出模板的轮廓线呢?
分析:
为了画出符合要求的模板,通常要先建立适当的直角坐标系,再写出函数关系式,然后根据这个关系式进行计算,放样画图。
如图所示,以AB的垂直平分线为y轴,以过点O的y轴的垂线为x轴,建立直角坐标系。
这时,屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点,对称轴是y轴,开口向下,所以可设它的函数关系式为:
y=ax2(a<0)
(1)
因为y轴垂直平分AB,并交AB于点C,所以CB=
=2(cm),又CO=0.8m,所以点B的坐标为(2,-0.8)。
因为点B在抛物线上,将它的坐标代人
(1),得-0.8=a×
22所以a=-0.2
因此
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- 新人 数学 第二 十六 二次 函数 教学 设计