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(2)前n项和公式:
等差数列{an}中,Sn=
等比数列{bn}中,Sn=
2.等差(比)数列的常用性质:
(m、n、p、q∈N*)
(1)若m+n=p+q,则am+an=ap+aq(am·
an=ap·
aq);
(2)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍成等差(比)数列;
(3)若{an}为等差数列,则S2n-1=(2n-1)an.
3.等差(比)数列的判定
(1){an}是等差数列
an+1-an=d(常数)2an+1=an+an+2
an=kn+b(k、b为常数)Sn=An2+Bn(A、B为常数);
(2){an}是等比数列
(常数)≠0an+12=an·
an+2an=p·
qn(p、q为常数,且p、q≠0)Sn=m·
qn-m(m、q为常数,m、q≠0,且q≠1).
4.易错点:
(1)对于等比数列的求和一定要注意对公比是否为1进行讨论;
(2)利用公式an=Sn-Sn-1(n≥2,n∈N*)求通项,注意验证n=1时结论是否成立;
(3)判定一个数列{an}是否为等差(比)数列,不能仅验证前几项;
给定了一个数列{an}是等差(比)数列,取前三项求相关元素非常方便.
二、考点练习
考点1等差数列与等比数列的基本运算
【评析】首项a1与公差d(或公比q)是支撑等差数列(或等比数列)的两大支柱,因此,将所求问题转化为这两个量的方程(组)是最基本的方法,也是常规法,须熟练掌握.
考点2等差数列与等比数列的性质应用
【评析】求数列的前n项和的最值是等差数列固有的一种独特题型,其解答时注意利用a1与d确定所求是最大值还是最小值,然后再求最值及相应的n值.
三、方法提炼:
1、重视基本概念及公式的应用:
主要涉及数列、等差和等比数列的概念、通项公式、前n项和公式,在这些式子中有
“知三求二”成为等差(比)数列中的基本问题。
另外,注意利用“设而不求,整体代入”来简化运算;
2、重视利用等差、等比数列的常用性质解题,要善于抓住等差与等比数列的下标变化,巧妙运用相关性质(如下表和的性质),往往可使问题快速求解,达到化繁为简的目的。
3、熟练掌握求数列通项的常用方法:
观察猜想法、公式法、转化法等。
4、熟练掌握数列求和的常用方法:
公式法、分组求和法、并项法、错位相减法、裂项相消法、倒序相加法等。
四、高考聚焦:
第二部分简单递推数列与数列求和
1.常见递推数列类型:
(1)已知an与Sn之间的关系,求通项.
利用
(2)已知项之间的关系,求通项.
①形如an+1-an=f(n)用迭加法;
②形如
用累乘法;
③形如aan+1+ban+c=0(a,b为常数)用待定系数法:
a(an+1+
)+b(an+
)=0
④形如an+1=pan+f(n)(p为常数)转化为an+1+g(n+1)=p[an+g(n)]或
2.常见数列求和方法:
(1)化为等差(比)数列求和.
(2)形如{an·
bn}的数列,其中{an}为等差数列,{bn}为等比数列,求和时用错位相减法.
(3)分式型数列求和用裂项相消法.
(4)拆项求和法.
二、典例精析
考点1简单递推数列通项公式的求法
【评析】迭加法、累乘法是利用递推式求数列通项的重要方法,也是历年高考命题热点所在.
考点2数列求和的常用方法
【评析】本题着重考查递推数列求通项及拆项求和、错位相减法求和这些基本技能技巧.
备选例题:
已知函数f(x)=logax(a>
0,且a≠1),若把数列2,f(a1),f(a2),…,f(an),2n+4(n∈N*)记为等差数列{cn}.
(1)求数列{cn}的公差;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)令bn=anf(an),且a>
1,试比较bn与bn-1的大小.
【评析】本题考查了用函数观点理解数列.通过对正项等比数列各项取对数可得等差数列;
用等差数列各项作某正数的指数时,可得等比数列.
1.化归思想
许多的递推数列,能通过对递推公式的适当变形,构造出等差数列或等比数列模型,再运用等差、等比数列的知识与方法进行求解,应强化这种转化意识.
2.分类讨论思想
(1)an=Sn-Sn-1中应附加条件n≥2;
(2)等比数列求和时,注意对q讨论:
q=1与q≠1.
3.方法与技能
(1)运用an+1=Sn+1-Sn进行和与项之间的转换;
(2)着眼于an+1-an与
的特征或规律将递推关系适当变形,构造新的等差、等比数列的技能.
(3)几种求和方法:
①倒序相加(用于等差数列,与二项式系数相关联的数列求和);
②错位相消法(用于等比数列、等差数列与等比数列的积数列的求和);
③分组求和(用于若干个等差数列+等比数列的和的数列的求和);
④拆项相消。
四、高考聚焦
第三部分数列的应用、数学归纳法与极限
1.数列的应用
(1)数列与函数的联系:
联想特殊函数模型,类比其性质求解.
(2)数列与不等式的联系:
证不等式的方法(比较、综合、分析、放缩、数学归纳法等).
(3)数列与解析几何的联系:
运用曲线的几何性质,借助坐标及方程思想,找出规律,转化数列通项,从而解决相关问题.
(4)数列在实际生活中的应用:
①审题(明确数列模型);
②引入参数,将文字语言译成数学语言,变成数学问题;
③解此类问题要检验合理性.
2.数学归纳法
(1)数学归纳法需要完成两个步骤的证明,缺一不可.第一步有时要验证从n0开始的多个正整数命题成立.这主要取决于从k到k+1的奠基是什么数.如果假设当n=k时命题成立,并要求当k≥m时才能得出n=k+1时命题也成立,则第一步必须验证从n0到m的各个正整数命题都成立.另外,第二步的证明必须运用“归纳假设”.
(2)运用观察、归纳、猜想求数列的通项公式时,必须对猜想的结论进行推证,一般采用数学归纳法证明.
二、典例精析:
考点1数列与函数的综合项
(1)设a1=1,
=-f(an),求an;
成立?
若存在,求出m的值;
若不存在,说明理由。
考点2数学归纳法求数列通项
【评析】本题主要考查等差数列、等比数列、数学归纳法、不等式等基础知识,综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力.
考点3数列与其他知识混合
(1)试证:
bn≤
【评价】这是一道数列与解析几何结合的综合题,涉及到的知识较多,有椭圆的相关知识,列不等式与解不等式,构造函数,利用导数证明其单调性等.这也表明数列是一个特殊的函数,数列问题可利用函数思想方法求解.
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- 数列 专项 突破