初一七年级下册数学相交线与平行线的知识点Word文档下载推荐.docx

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⑵垂线性质1：

过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（与平行公理相比较记）

⑶垂线性质2：

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

简称：

垂线段最短。

3.垂线的画法：

⑴过直线上一点画已知直线的垂线；

⑵过直线外一点画已知直线的垂线。

注意：

①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；

②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上。

画法：

⑴一靠：

用三角尺一条直角边靠在已知直线上，⑵二移：

移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上，⑶三画：

沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线。

4.点到直线的距离

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

应该结合图形进行记忆。

如图，PO⊥AB，同P到直线AB的距离是PO的长。

PO是垂线段。

PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条。

现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。

5.如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念。

分析它们的联系与区别。

⑴垂线与垂线段

区别：

垂线是一条直线，不可度量长度；

垂线段是一条线段，可以度量长度。

联系：

具有垂直于已知直线的共同特征。

（垂直的性质）

⑵两点间距离与点到直线的距离

两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间。

都是线段的长度；

点到直线的距离是特殊的两点（即已知点与垂足）间距离。

⑶线段与距离

距离是线段的长度，是一个量；

线段是一种图形，它们之间不能等同。

二、平行线

1.平行线的概念：

在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作a∥b。

2.两条直线的位置关系

在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：

⑴相交；

⑵平行。

因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；

反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：

①有且只有一个公共点，两直线相交；

②无公共点，则两直线平行；

③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）

3.平行公理

平行线的存在性与惟一性经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

4.平行公理的推论

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

如左图所示，∵b∥a，c∥a

∴b∥c

注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才能得出结论，这两条直线都平行。

5.三线八角

两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角。

如图，直线a,b被直线l所截。

①∠1与∠5在截线l的同侧，同在被截直线a,b的上方，叫做同位角（位置相同）

②∠5与∠3在截线l的两旁（交错），在被截直线a,b之间（内），叫做内错角（位置在内且交错）

③∠5与∠4在截线l的同侧，在被截直线a,b之间（内），叫做同旁内角。

④三线八角也可以成模型中看出。

同位角是“A”型；

内错角是“Z”型；

同旁内角是“U”型。

6.如何判别三线八角

判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”，有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看，有时又需要把图形补全。

例如：

如图，判断下列各对角的位置关系：

⑴∠1与∠2；

⑵∠1与∠7；

⑶∠1与∠BAD；

⑷∠2与∠6；

⑸∠5与∠8。

我们将各对角从图形中抽出来（或者说略去与有关角无关的线），得到下列各图。

如图所示，不难看出∠1与∠2是同旁内角；

∠1与∠7是同位角；

∠1与∠BAD是同旁内角；

∠2与∠6是内错角；

∠5与∠8对顶角。

7.两直线平行的判定方法

方法一 

两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行

同位角相等，两直线平行

方法二 

两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行

内错角相等，两直线平行

方法三 

两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行

同旁内角互补，两直线平行

几何符号语言：

∵ 

∠3＝∠2

∴ 

AB∥CD（同位角相等，两直线平行）

∠1＝∠2

AB∥CD（内错角相等，两直线平行）

∠4＋∠2＝180°

AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）

请注意书写的顺序以及前因后果，平行线的判定是由角相等，然后得出平行。

平行线的判定是写角相等，然后写平行。

⑴几何中，图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着内在的联系，常由“位置关系”决定其“数量关系”，反之也可从“数量关系”去确定“位置关系”。

上述平行线的判定方法就是根据同位角或内错角“相等”或同旁内角“互补”这种“数量关系”，判定两直线“平行”这种“位置关系”。

⑵根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有两种：

①如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行。

②如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行。

典型例题：

判断下列说法是否正确，如果不正确，请给予改正：

⑴不相交的两条直线必定平行线。

⑵在同一平面内不相重合的两条直线，如果它们不平行，那么这两条直线一定相交。

⑶过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行

解答：

⑴错误，平行线是“在同一平面内不相交的两条直线”。

“在同一平面内”是一项重要条件，不能遗漏。

⑵正确

⑶不正确，正确的说法是“过直线外一点”而不是“过一点”。

因为如果这一点不在已知直线上，是作不出这条直线的平行线的。

如图，根据下列条件，可以判定哪两条直线平行，并说明判定的根据是什么？

⑴由∠2＝∠B可判定AB∥DE，根据是同位角相等，两直线平行；

⑵由∠1＝∠D可判定AC∥DF，根据是内错角相等，两直线平行；

⑶由∠3＋∠F＝180°

可判定AC∥DF，根据同旁内角互补，两直线平行。

三、平行线的性质

1.平行线的性质：

性质1：

两直线平行，同位角相等；

性质2：

两直线平行，内错角相等；

性质3：

两直线平行，同旁内角互补。

∵AB∥CD

∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）

∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）

∴∠4＋∠2＝180°

（两直线平行，同旁内角互补）

2.两条平行线的距离

如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离。

直线AB∥CD，在直线AB上任取一点G，过点G作CD的垂线段GH，则垂线段

GH的长度也就是直线AB与CD间的距离。

3.命题：

⑴命题的概念：

判断一件事情的语句，叫做命题。

⑵命题的组成：

每个命题都是题设、结论两部分组成。

题设是已知事项；

结论是由已知事项推出的事项。

命题常写成“如果……，那么……”的形式。

具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论。

有些命题，没有写成“如果……，那么……”的形式，题设和结论不明显。

对于这样的命题，要经过分析才能找出题设和结论，也可以将它们改写成“如果……，那么……”的形式。

命题的题设（条件）部分，有时也可用“已知……”或者“若……”等形式表述；

命题的结论部分，有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述。

4.平行线的性质与判定

①平行线的性质与判定是互逆的关系

两直线平行=同位角相等；

两直线平行=内错角相等；

两直线平行=同旁内角互补。

其中，由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；

由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质。

已知∠1＝∠B，求证：

∠2＝∠C

证明：

∵∠1＝∠B（已知）

∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）D

∴∠2＝∠C（两直线平行 

同位角相等）

注意，在了DE∥BC，不需要再写一次了，得到了DE∥BC，这可以把它当作条件来用了。

如图，AB∥DF，DE∥BC，∠1＝65°

求∠2、∠3的度数。

∵DE∥BC（已知）

∴∠2＝∠1＝65°

（两直线平行，内错角相等）

∵AB∥DF（已知）

∴AB∥DF（已知）

∴∠3＋∠2＝180°

∴∠3＝180°

－∠2＝180°

－65°

＝115°

四、平移

1.平移变换

①把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同。

②新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点

③连接各组对应点的线段平行且相等

2.平移的特征：

①经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化。

②经过平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等。

如图，△ABC经过平移之后成为△DEF，那么：

⑴点A的对应点是点＿＿＿＿＿＿＿＿＿；

⑵点B的对应点是点＿＿＿＿＿＿。

⑶点＿＿＿＿＿的对应点是点F；

⑷线段AB的对应线段是线段＿＿＿＿＿＿＿；

⑸线段BC的对应线段是线段＿＿＿＿＿＿＿；

⑹∠A的对应角是＿＿＿＿＿＿。

⑺＿＿＿＿的对应角是∠F。

⑴D；

⑵E；

⑶C；

⑷DE；

⑸EF；

⑹∠D；

⑺∠ACB。

思维方式：

利用平移特征：

平移前后对应线段相等，对应点的连线段平行或在同一直线上解答。