根据市场调查,日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比例。
已知每件产品的日
售价为
40元时,日销售量为10件.
(1)求该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数关系式;
(2)当每件产品的日售价为多少元时,该商品的日利润L(x)最大,并求出L(x)
的最
大值.
轨迹为
曲线C•
(1求点P的轨迹方程;
(2)设圆M过A(1,0),且圆心M在P的轨迹上,EF是圆M在y轴上截得的弦,
当M运动时弦长|EF|是否为定值?
请说明理由.
19.(本小题满分16分)
已知函数fxx2axb(其中a,bR)
b5
(1)若当x[1,1],f(x)0恒成立,求匕工的取值范围;
a2
(2)若a[1,1],b[1,1],求f(x)无零点的概率;
⑶若对于任意的正整数k,当x555时,都有f(x)555成立,则称这样f(x)是
k个52k个5
142
K2函数•现有函数g(x)x(a2)xbf(x),试判断g(x)是不是心函数?
并给予5
证明.
20.(本小题满分16分)
2数列an的各项均为正数,Sn为其前n项和,对于任意nN*,总有an,Sn,an
成等差数列.
(1)求数列an的通项公式;
e=2.71828)和任意正整数n,总有Tn2;
n1*
⑶正数数列Cn中,an1Cn,(nN).求数列Cn中的最大项.
附加题部分
(本部分满分40分,考试时间30分钟)
(本大题共6小题,其中第21和第22题为必做题,第23〜26题为选做题,请考生在第23〜
26题中任选2个小题作答,如果多做,则按所选做的前两题记分.解答应写出文字说明,证
明过程或演算步骤•)
21•(本小题为必做题,满分12分)
已知直线y2xk被抛物线x24y截得的弦长AB为20,O为坐标原点.
(1)求实数k的值;
(2)问点C位于抛物线弧AOB上何处时,△ABC面积最大?
22.(本小题为必做题,满分12分)
甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试,考试分笔试和面试两部分,
笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生(可在高考中加分录取),两次考试过程相互
独立.根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析,甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分
别是0.6,0.5,0.4,能通过面试的概率分别是0.5,0.6,0.75.
(1)求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率;
(2)设经过两次考试后,能被该高校预录取的人数为,求随机变量的期望E().
23.(本小题为选做题.,满分8分)
如图,在△ABC中,D是AC的中点,E是BD的中点,AE的延长线交BC于F.
BF
(1)求的值;
FC
(2)若厶BEF的面积为S1,四边形CDEF的面积为
24.(本小题为选做题,满分8分)
y12t
22sin(才).
(1)将直线I的参数方程化为普通方程,圆C的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)判断直线l和圆C的位置关系.
25.
O1
1-20
--
N
(本小题为选做题.,满分8分)
试求曲线ysinx在矩阵MN变换下的函数解析式,其中M
26.(本小题为选做题,满分8分)
1(n
111
用数学归纳法证明不等式:
一——-L
nn1n2
参考答案
二、解答题:
(2)f(A)2
余弦定理cosA
b2
2bc
可得bc2
又•••bc3,bc
•••b2,c1
16.证明⑴TPA丄底面ABCD,•AD是PD在平面ABCD内的射影,
•/CD平面ABCD且CD丄AD,•CD丄PD
(2)取CD中点G,连EG、FG,
•/E、F分别是AB、PC的中点,•EG//AD,FG//PD
•平面EFG//平面PAD,故EF//平面FAD
(3)解当平面PCD与平面ABCD成45°角时,直线EF丄面PCD
证明G为CD中点,则EG丄CD,由
(1)知FG丄CD,故/EGF为平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角即/EGF=45°,从而得/ADP=45°,AD=AP
由Rt△PAEBRt△CBE,得PE=CE
又F是PC的中点,•EF丄PC,由CD丄EG,CD丄FG,得CD丄平面EFG,CD丄EF即EF丄CD,故EF丄平面PCD
11
17•解:
(i)依题意,p到f(q,o)距离等于p到直线x2的距离,曲线c是以原点为
1
顶点,F(—,0)为焦点的抛物线
2
P1曲线C方程是y2x
(2)设圆心M(a,b),因为圆M过A(1,0)
故设圆的方程(xa)2(yb)2(a1)2b2
2
令x0得:
y2by2a10
所以,当M运动时,弦长|EF|为定值2
f
(1)0
19•解
(1)据题意:
f
(1)
0
f(0)
0
可行域如图(暂缺)
b5
——的几何意义是定点P(2,5)到区域内的点Q(a,b)连线的斜率k,
a2
S24
故f(x)有零点的概率P§
S2
13
24
f(x)无零点的概率为P1
11P—24
由直线a1,b1围成的区域面积
(3)g(x)是K2函数.
92
证明:
g(x)2x符合条件.
因为5555(11010010k1)-(10k1),
k个59
5
同理:
555(102k1);
2k个59
5Q55
9(55》彳)g(6(1b1))孑5^1)]22孑忖1)
k个5
5(10k1)225(10k1)5(10k1)(10k1)5(102k1)555.
99992|<个5
92
g(x)—x2x符合条件.
5
an,an1均为正数,•••anan11(nA2)
3时,Inx1,则1Inx0,即fx
0.
•.•当x
解得a1=1
•-ann•(nN*)
•-T
1
1
1
1-
1
1
1
n2
.2
2
2
23
n1n
1
2
n
1
1
11
1
1
1
1
1-
2-
2
2
23
n1
n
n
⑶解:
由已知
a2C1
22
C1
2,
a3
c233
C2
33,a
4
4C3
4
C3
44■■2,
a5
c455
C4
55
易得
c1c,
C2c3
C4
猜想n
A2时,
Cn是递减数列.
1
xInx
1
lnx
令fx
lnxr
则fx
x
2
2
x
x
x
•••在3,内fx为单调递减函数
二nA2时,InCn是递减数列.即Cn是递减数列
又C,C,二数列Cn中的最大项为C33.
B.附加题部分
三、附加题部分:
21.(必做题)(本小题满分12分)
解:
(1)将y2xk代入x24y得x28x4k0,由厶6416k0可知k4,
另一方面,弦长AB-.5.6416k20,解得k1;
(2)当k1时,直线为y2x1,要使得内接△ABC面积最大,
则只须使得yC12xC2,
4
即Xc4,即C位于(4,4)点处.
22.(必做题)(本小题满分12分)
解:
(1)分别记甲、乙、丙三个同学笔试合格为事件A1、A2、A;
E表示事件“恰有一人通过笔试”
则p(e)p(aAA3)p(a1a2a3)p(AA2a3)
0.60.50.60.40.50.60.40.50.4
0.38
(2)解法一:
因为甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格的概率均为p0.3,
所以~B(3,0.3),故E()np30.30.9.
解法二:
分别记甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格为事件A,B,C,
则P(A)
P(B)P(C)0.3
所以P(
1)3(10.3)20.30