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总人数=6876.03万人。
总收入=总人数×
平均价格=66.01亿元。
根据调查数据,利用模糊综合评判,对举办这次上海世博会的利与弊给出分析和讨论,得到的结果是利大于弊。
问题四,
[关键词]票价灰色系统GM(1,1)模糊综合评判
1、问题的重述
上海世博会会期从2010年5月1日至10月31日,一共184天。
问题一:
问题二:
从网上获取每天参观人数,建立每天参观人数的预测模型,并对9月10日至9月14日的参观人数进行预测,以及整个世博会期间的参观总人数和门票收入进行预测。
问题三:
问题四:
2、模型的基本假设
假设问题一中基准价格已知
假设问题三中调差结果符合实际情况,
假设问题三中的权值合理
世博会期间上海的天气变化不大,假设天气对参观人数的影响不大,不考虑
3、符号及变量的说明
是门票的基准价格
是各类票价的优惠率
是各类个人票票价
是各类团队票票价
4、模型的建立与求解
建立确定门票票价的数学模型
首先,制定基准价格。
根据以下三个原则:
(1)参照了近几届世博会定价的策略,考虑本国城镇居民人均可支配收入;
(2)对照参考了国内大型主题公园和大型国际性活动以及一些旅游景点的门票价格;
(3)在全国范围内开展了世博会参观的意向调查,考虑民众的接受程度。
设基准价格为J,对个人票,各类票价的优惠率为
,每张票的可使用次数为
(其中个人票中3次票的可使用次数为3,7次票的可使用次数为7,其余的可使用次数均为1);
对团队票,设普通团队票和学生团队票的优惠率分别为
,团队人数为
(要求
,
)。
则各类个人票票价为:
(1)
团队票票价为:
(
是控制参数,为一常数)
(2)
下面给出各类票价优惠率的范围:
由于指定日普通票的价格应该比平日普通票的价格高,则有
(3)
由于指定日优惠票的价格应该比平日普通票的价格低,则有
(4)
由于平日普通票的价格应该等于基准价格,则有
(5)
由于平日优惠票的价格应该比指定日优惠票价格低,则有
(6)
由于平日3次票的价格应该比平日优惠价格高,则有
(7)
由于平日7次票的价格应该比平日3次票的价格低,则有
(8)
由于平日夜票的价格应该比平日优惠的价格低,则有
(9)
由于当日普通票的价格应该等于基准票价格,则有
(10)
由于当日优惠票的价格应该等于平日优惠票的价格,则有
(11)
对于团队普通票,团队人数至少为15人,人数越多,优惠就越多,但是不会无止境的优惠,会有一个最低价格,根据这个最低价格可以确定
。
对于团队学生票,团队人数至少为30人,分析同上,可确定
由于要进行进一步的分析,确定具体票价,需根据大量调查数据确定,这里只给出确定模型,未给出具体的数据。
建立GM(1,1)模型预测参观总人数和门票总收入
I、建立GM(1,1)模型【1】
GM(1,1)模型是基于灰色系统理论的常用预测模型,因为它具有要求原始数据少,不考虑分布规律,不考虑变化趋势,运算方便短期精度高,易于检查的优点,所以本问题,用GM(1,1)解决。
GM(1,1)模型的建立:
基本原理是:
认为原始数列是逐步增长或减少的,通过对原始数列应用累加生成这样的数据处理方法可以得到一条具有指数增长规律的上升形状数列。
由于一阶微分方程的解即是指数增长形式,因此通过建立一阶微分方程模型和累减生成还原就可以得到预测数列。
具体的理论推导如下:
(1)对随机序列
作一次累加(1...AGO)生成序列
,其中
(2)按照
的指数增长规律,可知
满足下列一阶线性微分方程。
(
是时间的函数,这是灰色方程,部分数据未知)
(3)参数估计:
记
待定,经离散化处理,得:
使用最小二乘法求出A的近似解:
,
将近似值代入原微分方程;
(*)
(原微分方程的白化方程)
其中
(4)
的预测值:
求解微分方程(*)得到原微分方程的近似解
,其中
;
写成离散形式,得到
(5)
II、用GM(1,1)模型预测9月10日——9月14日的参观人数过程如下:
表一:
最近五个周五的数据统计
日期
7月30日
8月6日
8月13日
8月20日
8月27日
星期
周五
人数(万人)
41.05
38.81
38.83
45.54
50.78
用最近的五个周五的数据,用灰色系统模型GM(1,1),可以建立预测模型(MATLAB程序见附录一)。
对这五个已知结果进行预测,预测值,残差,平均误差见下表:
表二:
周五的预测结果
实际人数(万人)
预测值(万人)
41.0500
36.9249
40.8854
45.2705
50.1261
残差
0
1.8851
-2.5654
0.2695
0.6539
相对误差
0
4.8572%
-6.6946%
0.5917%
1.2877%
由上面的表可得预测值相差最大的相对误差为-6.6946%,可见用灰色系统模型预测较精确,可以用来预测以后周五的参观人数。
用该模型预测9月3日(周五),9月10日(周五)。
表三:
9月3日预测结果
9月10日
51.4554
由于8月30日,31日偏差较大,所以不考虑这两个数据。
用类似的方法,预测9月11—14日的参观人数分别为54.6774,40.0106,42.7702,38.7860万人。
9月10日——9月14日预测结果如下表四:
表四:
9月10日——9月14日预测结果
9月11日
9月12日
9月13日
9月14日
周六
周日
周一
周二
预测人数
51.4554
54.6774
40.0106
42.7702
38.7860
III、用GM(1,1)模型预测整个世博会期间的参观总人数和门票总收入过程如下:
(1)为了预测世博会的总人数,只要能预测出9月份和10月份的人数即可。
运用6、7、8份的数据,用灰色系统模型可得;
表五:
9月份和10月份的人数人数预测结果
月份
9月
10月
预测总人数(万人)
1124.5
1015.7
统计5、6、7、8份的实际人数如下表:
表六:
5、6、7、8份的实际人数统计表
5月
6月
7月
8月
实际总人数(万人)
801.29
1309.35
1379.36
1245.83
由表五和表六得到预测总人数为6876.03万人。
(2)由于每天进入世博会参观的人员复杂,无法确定使用各种票的人数,无法根据人数确定准确的门票收入。
只能用“门票收入=总人数×
平均票价”进行模糊的计算。
查找资料:
上海世博会所售各种票种平均下来,得到平均票价大概是基准价的60%,即平均价格约为96元。
则:
门票总收入=参观总人数×
平均票价=6876.03万×
96=660098.88万元≈66.01亿元
建立模糊综合评判模型
根据问题二所得的数据,我们将参观总人数和门票收入作为评价举办上海世博会的利与弊的两个因素
,并将评语集定为
(其中
通过对举办上海世博会的利与弊进行调查分析,我们发现:
就参观总人数而言,60%的人认为“利大”,30%的人认为“利弊参半”,10%的人认为“弊大”,即
的单因素评价向量为
同理,就门票收入而言,20%的人认为“利大”,20%的人认为“利弊参半”,60%的人认为“弊大”,即
将
组合成评判矩阵
,得
由调查数据,我们得到各因素的权重分配向量:
作模糊变换:
进一步将结果归一化得:
结果表明:
人们对举办上海世博会的评价为“利大”的程度为0.46,“利弊参半”的程度为0.23,“弊大”的程度为0.31。
按最大隶属原则,结论是:
人们认为举办上海世博会利大于弊。
?
5、模型的评价与改进
本文针对各个问题应用相应的解决的方法,得到相应的结果。
问题一、我们只给出了大致模型,并未给出具体数据。
问题二、很好的利用了灰色系统的短期预测精确度高的优势,但是在预测9、10月份的入园总人数时,没有考虑中秋节,十一黄金周等假日对人流的影响,纯粹从数字方面进行预测,有一定的局限性,与事实肯定有一定的出入。
问题三中,我们只是利用调查数据建立模型,可能数据反映的不够全面,且利用模糊综合评判,有很大的主观因素。
参考文献
[1]梁智勇,用MATLAB实现GM(1,1)灰色模型的供电量预测[J]:
人工智能及识别技术
[2]熊启才等,数学模型方法及应用[M]:
重庆大学出版社,2005:
41—44
[3]姜启源,数学模型[M],高等教育出版社,1999
[4]清华大学《运筹学》教材编写组,运筹学[M],清华大学出版社,1998.
附录
附录一:
问题二中灰色系统预测模型GM(1,1)的MATLAB程序
functionkiee(x,t);
%初始数据序列
%灰色预测.
%t表示原始数据后的预测数据步长
clc;
n=length(x);
xl=[];
%累加序列
x1
(1)=x
(1);
fori=1:
n-1
x1(i+1)=x1(i)+x(i+1);
%累加值
end;
%以上,作一阶累加1-AGO得x1
c=[];
c(i)=-1/2*(x1(i)+x1(i+1));
B=[c'
ones(n-1,1)];
Y=x(2:
n);
Y=Y'
;
%以上,构造矩阵B和Y
b=B'
*B;
d=B'
;
d1=d*B;
d2=d*Y;
c=d1\d2;
a=c
(1)
u=c
(2)%以上,利用最小二乘法解参数a和u
xO=[];
x0
(1)=x
(1);
1:
n+t
x0(i+1)=(1-exp(a))*(x
(1)-u/a)*exp(-a*i)
%累减还原得到灰色预测模型x0
xq=x0(1:
d1=(x-xq)./x.*100
d12=(x-xq)
%分析误差;
相对误差(%):
(实际值一预测值)/实际值*100
w=d1;
W=[];
n
ifw(i)>
=0
W(i)=w(i);
else
W(i)=-w(i);
w=[];
dal=sum(W)/n
%平均误差:
各相对误差的绝对值的和/个数。
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