学年河南省信阳市高二上学期期末教学质量检测数学理解析版.docx
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学年河南省信阳市高二上学期期末教学质量检测数学理解析版
2020-2021学年河南省信阳市高二(上)期末数学试卷(理科)
一、选择题(共12小题).
1.命题p:
“
”的否定¬p为( )
A.
B.
C.
D.
2.在长方体ABCD﹣A'B'C'D'中,
=( )
A.
B.
C.
D.
3.若a>b>0,则下列不正确的是( )
A.
B.
C.a+1>b+1D.
4.“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于
.若第一个单音的频率为f,则第六个单音的频率为( )
A.
fB.
fC.
fD.
f
5.双曲线C:
=1的渐近线方程为( )
A.
B.y=±xC.
D.y=±2x
6.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a、b、c,已知2ccosB﹣bcosA=acosB,则角B=( )
A.
B.
C.
D.
7.已知{an},{bn}均为等差数列,且a1+b1=1,a2+b2=3,则a2020+b2020=( )
A.4043B.4041C.4039D.4037
8.方程|x|+
=2所表示的曲线大致形状为( )
A.
B.
C.
D.
9.设a>0,b>0,若a+b=4,则
的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
10.设有穷数列{an}的前n项和为Sn,令Tn=
,称Tn为数列a1,a2,…,an的“凯森和”.已知数列1,2,4,a的“凯森和”为6,则a=( )
A.6B.5C.4D.3
11.已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c2+2ab=a2+b2+6,若△ABC的面积为
,则tanC的值为( )
A.
B.
C.1D.
12.已知圆
=1和焦点为F的抛物线C2:
y2=8x,点N是圆C1上一点,点M是抛物线C2上一点,则|MF|+|MN|的最小值为( )
A.1B.
C.4D.5
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知p:
x<m,q:
﹣1≤x≤3,若p是q的必要不充分条件,则m的值可能为(填一个满足条件的值即可).
14.若实数x,y满足
,则z=2x+y的最大值为.
15.设直线l过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|等于C的半实轴长,则C的离心率为.
16.伴随着国内经济的持续增长,人民的生活水平也相应有所提升,其中旅游业带来的消费是居民消费领域增长最快的,因此挖掘特色景区,营造文化氛围尤为重要.某景区的部分道路如图所示,AB=30m,
,CD=50m,∠ABC=∠BCD=45°,要建设一条从点A到点D的空中长廊,则AD=m.
三、解答题:
包括必考题和选考题两部分,第17题~第21题为必考题,每道试题考生都必须作答;第22、23题为选考题,考生任选一题作答。
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
(一)必考题
17.在①b2﹣a2﹣c2=ac,②2a+c=2bcosC,③4S=
这三个条件中任选一个,补充在下面问题的横线处,并作出解答.
在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.△ABC的面积为S,且______.
(1)求角B;
(2)若a=2,b=2
,求△ABC的周长.
18.已知等差数列{an}满足a3=4,a5=6,数列{log2bn}是以1为首项,公差为1的等差数列.
(1)求an和bn;
(2)若cn=an•bn,求数列{cn}的前n项和Tn.
19.如图所示,四棱锥S﹣ABCD中,AB∥CD,AD⊥DC,CD=2AD=2AB=2SD=4,SD⊥平面ABCD.
(1)求证:
BC⊥平面SBD;
(2)若点M是线段SC的中点,求平面MAB与平面SBD所成锐二面角的余弦值.
20.已知椭圆
(a>b>0)的离心率为
,F为右焦点,B为C的上顶点,且|FB|=2.O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线y=x﹣1与C相交于P,Q两点,求△OPQ的面积.
21.如图,河的两岸,分别有生活小区ABC和DEF,其中AB⊥BC,EF⊥DF,DF⊥AB,C,E,F三点共线,FD与BA的延长线交于点O,测得AB=3km,BC=4km,DF=
km,FE=3km,EC=
km.若以OA,OD所在直线为x,y轴建立平面直角坐标系xoy,则河岸DE可看成是曲线y=
(其中a,b为常数)的一部分,河岸AC可看成是直线y=kx+m(其中k,m为常数)的一部分.
(1)求a,b,k,m的值;
(2)现准备建一座桥MN,其中M,N分别在DE,AC上,且MN⊥AC,设点M的横坐标为t.
①请写出桥MN的长l关于t的函数关系式l=f(t),并注明定义域;
②当t为何值时,l取得最小值?
最小值是多少?
选考题请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
作答时请在答题卡上把所选题目对应题号后的方框涂黑。
[选修4-4:
坐标系与参数方程]
22.在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为
(α为参数).以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为
.
(1)求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程;
(2)点Q为曲线C上的动点,求点Q到直线l的距离的最大值.
[选修4-5:
不等式选讲]
23.已知函数f(x)=|2x﹣7|+|2x﹣5|.
(1)求函数f(x)的最小值m;
(2)在
(1)的条件下,正数a,b满足a2+b2=m,证明:
a+b≥2ab.
参考答案
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.命题p:
“
”的否定¬p为( )
A.
B.
C.
D.
解:
根据命题否定的概念知,
¬p为
,sinx0≥cosx0,
故选:
C.
2.在长方体ABCD﹣A'B'C'D'中,
=( )
A.
B.
C.
D.
解:
故选:
B.
3.若a>b>0,则下列不正确的是( )
A.
B.
C.a+1>b+1D.
【解答】对于A,
,
∵a>b>0,∴
<0,即
,故A正确;
对于B,由均值不等式可知,当a>b>0时,
>
,故B正确;
对于C,∵a>b>0,∴a+1>b+1,故C正确;
对于D,取a=4,b=1,而
,
<
,故D不正确.
故选:
D.
4.“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于
.若第一个单音的频率为f,则第六个单音的频率为( )
A.
fB.
fC.
fD.
f
解:
由题意知,十三个单音的频率构成等比数列{an},
a1=f,q=
,
∴第六个单音的频率
.
故选:
B.
5.双曲线C:
=1的渐近线方程为( )
A.
B.y=±xC.
D.y=±2x
解:
双曲线的渐近线方程为
,即
,
故选:
C.
6.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a、b、c,已知2ccosB﹣bcosA=acosB,则角B=( )
A.
B.
C.
D.
解:
因为2ccosB﹣bcosA=acosB,
所以2sinCcosB﹣sinBcosA=sinAcosB,
所以2sinCcosB=sin(A+B)=sinC,
因为sinC≠0,
所以cosB=
,
因为B∈(0,π),
所以B=
.
故选:
B.
7.已知{an},{bn}均为等差数列,且a1+b1=1,a2+b2=3,则a2020+b2020=( )
A.4043B.4041C.4039D.4037
解:
∵{an},{bn}均为等差数列,且a1+b1=1,a2+b2=3,
∴数列{an+bn}是以1为首项,2为公差的等差数列,
∴a2020+b2020=1+2019×2=4039.
故选:
C.
8.方程|x|+
=2所表示的曲线大致形状为( )
A.
B.
C.
D.
解:
方程|x|+
=2,表示的曲线关于x,y轴对称,
只看第一象限,当x>0,y>0时,
方程
可变为
,
y=(x﹣2)2,
x∈(0,2],且x=0时,y=4,
只有D符合题意,
故选:
D.
9.设a>0,b>0,若a+b=4,则
的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
解:
∵a>0,b>0,a+b=4,
∴
,
当且仅当
,即
时取等号,
故选:
A.
10.设有穷数列{an}的前n项和为Sn,令Tn=
,称Tn为数列a1,a2,…,an的“凯森和”.已知数列1,2,4,a的“凯森和”为6,则a=( )
A.6B.5C.4D.3
解:
由已知可得
=6,
∴a=6,
故选:
A.
11.已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c2+2ab=a2+b2+6,若△ABC的面积为
,则tanC的值为( )
A.
B.
C.1D.
解:
由题意c2=a2+b2﹣2ab+6=a2+b2﹣2abcosC,
即﹣2ab+6=﹣2abcosC,即ab(1﹣cosC)=3①,
②
联立①②得
,
整理得
,
即
,
又0<C<π,
∴
,
∴
,
∴
,
故选:
B.
12.已知圆
=1和焦点为F的抛物线C2:
y2=8x,点N是圆C1上一点,点M是抛物线C2上一点,则|MF|+|MN|的最小值为( )
A.1B.
C.4D.5
解:
过点M作直线x=﹣2的垂线,垂足为H,
则|MF|=|MH|⋅|MF|+|MN|=|MH|+|MC1|﹣1,
故M是过圆心
向准线x=﹣2所作垂线与C2的交点,即
;
|MF|+|MN|的最小值为3+2﹣1=4.
故选:
C.
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知p:
x<m,q:
﹣1≤x≤3,若p是q的必要不充分条件,则m的值可能为 4
(填一个满足条件的值即可).
解:
p是q的必要不充分条件,
所以[﹣1,3]⫋(﹣∞,m),
则m>3,
故答案不唯一,只需填大于3的数即可.
故答案为:
4.
14.若实数x,y满足
,则z=2x+y的最大值为 6 .
解:
实数x,y满足
的可行域为如图所示阴影部分,
由
解得A(2,2),
把y=﹣2x+z,平移,当直线经过点A(2,2)时,z取最大值,
最大值为z=6.
故答案为:
6.
15.设直线l过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|等于C的半实轴长,则C的离心率为
.
解:
不妨设双曲线
,焦点F(﹣c,0),对称轴y=0,
由题设知
,∴
,由
,
得a2=2b2,
∴c2=2b2+b2=3b2,
∴
,
∴
.
故答案为:
.
16.伴随着国内经济的持续增长,人民的生活水平也相应有所提升,其中旅游业带来的消费是居民消费领域增长最快的,因此挖掘特色景区,营造文化氛围尤为重要.某景区的部分道路如图所示,AB=30m,
,CD=50m,∠ABC=∠BCD=45°,要建设一条从点A到点D的空中长廊,则AD= 40
m.
解:
由题可知∠ABC=∠BCD=45°,所以AB∥CD.
由
,
则
,
,
,
,
所以
,
则
.
故答案
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