考研数学三真题Word文档下载推荐.docx

考研数学三真题Word文档下载推荐.docx

《考研数学三真题Word文档下载推荐.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《考研数学三真题Word文档下载推荐.docx（30页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

（x）≥0时，f（x）≥g（x）

（B）当f'

（x）≥0时，f（x）≤g（x）

（D）当f'

（x）≥0时，f（x）≤g（x）

【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．

【详解1】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．如果对区间上任意两

121212

点x,x及常数0≤λ≤1，恒有f（（1-λ）x+λx）≥（1-λ）f（x）+λf（x），则曲线是凸的．

显然此题中x1=0,x2=1,λ=x，则（1-λ）f（x1）+λf（x2）=

f（0）（1-x）+f

（1）x=g（x），而

12

f（（1-λ）x+λx）=

f（x），

1212

故当f'

（x）≥0时，曲线是凹的，即f（（1-λ）x+λx）≤（1-λ）f（x）+λf（x），也就是f（x）≤g（x），应该选（D）

【详解2】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义不熟悉的话，可令

F（x）=

f（x）-g（x）=

f（x）-f（0）（1-x）-f

（1）x，则F（0）=F

（1）=0，且F"

（x）=

f"

（x），故当

f'

（x）≥0时，曲线是凹的，从而F（x）≤F（0）=F

（1）=0，即F（x）=f（x）-g（x）≤0，也就是

f（x）≤g（x），应该选（D）

b

c

d

５．行列式等于

（A）（ad-bc）2

（B）-（ad-bc）2

（C）a2d2-b2c2

【详解】

（D）-a2d2+b2c2

a0ba0b

=-a0d0+b0c0

c0dc0d

=-ada

b+bcab

cdcd

应该选（B）．

=-ad（ad-bc）+bc（ad-bc）=-（ad-bc）2

6．设α1,α2,α3是三维向量，则对任意的常数k,l，向量α1+kα3，α2+lα3线性无关是向量α1,α2,α3

线性无关的

（A）必要而非充分条件（B）充分而非必要条件

（C）充分必要条件（D）非充分非必要条件

【详解】若向量α1,α2,α3线性无关，则

⎛1

ç

（α1+kα3，α2+lα3）=（α1,α2,α3）ç

0

k

⎝

0⎫

÷

1⎪=（α1,α2,α3）K，对任意的常数k,l，矩阵K的秩都等

l

⎭

于2，所以向量α1+kα3，α2+lα3一定线性无关．

⎛1⎫⎛0⎫⎛0⎫

÷

ç

而当α1=ç

0⎪,α2=ç

1⎪,α3=ç

0⎪时，对任意的常数k,l，向量α1+kα3，α2+lα3线性无关，但

0⎪ç

0⎪

è

ø

è

α1,α2,α3线性相关；

故选择（A）．

7．设事件A，B想到独立，P（B）=0.5,P（A-B）=0.3则P（B-A）=（）

（A）0.1（B）0.2（C）0.3（D）0.4

【详解】P（A-B）=0.3=P（A）-P（AB）=P（A）-P（A）P（B）=P（A）-0.5P（A）=0.5P（A）．

所以P（A）=0.6，P（B-A）=P（B）-P（AB）=0.5-0.5P（A）=0.2．故选择（B）．

8．设X1,X2

X3

为来自正态总体N（0,σ2）

的简单随机样本，则统计量S=X1-X2服从的分布是

（A）F（1,1）

（B）F（2,1）

t

（1）

2X3

（D）t

（2）

X-X

X-XX2

2σ

【详解】S=12=12，显然12~N（0,1），3~χ2

（1），且12~N（0,1）与

X

3

X322

ο2

X1-X2

X2

X2X-XX-X

3~χ2

（1）相互独立，从而S=12=12=

~t

（1）

ο22

故应该选择（C）．

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）

9．设某商品的需求函数为Q=40-2p（p为商品的价格），则该商品的边际收益为．

【详解】R（p）=pQ=40p-2p2，边际收益R'

（p）=40-4p．

10．设D是由曲线

xy+1=0与直线

x+y=0及

y=2所围成的有界区域，则D的面积

为．

【详解】S=⎰1dy⎰0dx+⎰2dy⎰01dx=1+ln2

0-y1-

y

11．设⎰axe2xdx=1，则a=．

04

a2x

1e2x

ae2a11

【详解】⎰0xe

dx==

4

4（2x-1）|0=

（2a-1）+．所以a=.

442

11⎛x2⎫

12．二次积分⎰dy⎰ç

e-ey2⎪dx=．

0yç

x⎪

11⎛x2⎫1xx211

⎰dy⎰ç

e-ey2⎪dx=⎰dx⎰edy-⎰dy⎰ey2dx

x

⎪00x0y

1xx21

=⎰dx⎰edy-⎰ey2（1-y）dy

00x0

=⎰1ex2dx-⎰1ey2dy+⎰1yey2dy=⎰1yey2dy=1（e-1）

00002

13．设二次型f（x,x,x）=x2-x2+2axx

+

4xx

的负惯性指数是1，则a的取值范围

12312

是．

1323

【详解】由配方法可知

f（x,x,x）=x2-x2+2axx+4xx

123121323

=（x1

+ax）2-（x

-2x3

）2+（4-a2）x2

由于负惯性指数为1，故必须要求4-a2≥0，所以a的取值范围是[-2,2]．

⎨

⎧2x,θ<

x<

2θ

14．设总体X的概率密度为f（x,θ）=⎪3θ2

，其中θ是未知参数，X1,X2

,Xn

是来自总

⎩⎪0,其它

体的简单样本，若C∑X2是θ2的无偏估计，则常数C=．

i

i=1

22θ22x52

⎛n2⎫52n22

【详解】E（X

）=⎰θ

xdx=θ

3θ22

，所以Eç

C∑Xi

⎪=Cnθ

，由于C∑Xi

是θ的无偏估计，

⎝i=1⎭

故Cn5

=1，C=．

5n

三、解答题

15．（本题满分10分）

求极限lim

x→+∞

（t2（et-1）-t）dt

⎰

1．

x2ln（1+1）

【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限．

⎰（t2（et-1）-t）dt

⎰（t2（et-1）-t）dt1

lim1

x→+∞

=lim1

x→+∞x

=lim（x2（ex-1）-x）

=⎛211

1⎫1

limç

x→∞⎝

16．（本题满分10分）

{

（+

x2x

o（

2）-x⎪=

x⎭2

xsin（πx2+y2）

}⎰⎰

设平面区域D=

（x,y）|1≤x+y

≤4,x≥0.y≥0．计算

D

x+y

dxdy

【详解】由对称性可得

ysin（πx2+y2）

（x+y）sin（πx2+y2）

⎰⎰x+y

dxd=⎰⎰

dxd=2⎰⎰

π

DDD

sin（πx2+y2）

=1⎰⎰

dxd=

1⎰2dθ⎰2rsinπrdr=-3

2D1

2014

17．（本题满分10分）

设函数

具有二阶连续导数，z=x

∂2z∂2z

+x2x=+

满足（4zecosy）e．若

f（u）

f（e

cosy）

∂x2∂y2

f（0）=0,f'

（0）=0，求f（u）的表达式．

设u=excosy，则z=

f（u）=

f（excosy），

∂z=

∂x

（u）e

xcosy,

∂2z=

∂x2

（u）e2x

cos2y+

（u）ex

cosy;

∂z=-

∂y

siny,

∂y2

sin2

y-f'

cosy；

∂2z+∂2z=



2x=x2x

+x2x

（ecosy）e

由条件∂x2

（4z

ecosy）e，

可知

（u）=4f（u）+u

这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．对应齐次方程的通解为：

1122

f（u）=Ce2u+Ce-2u其中C,C为任意常数．

对应非齐次方程特解可求得为y*=-

1u．

故非齐次方程通解为f（u）=Ce2u+Ce-2u-1u．

124

11

将初始条件f（0）=0,f'

（0）=0代入，可得C1=16,C2=-16．

所以f（u）的表达式为f（u）=

1e2u-

1e-2u-1u．

18．（本题满分10分）

∞

16164

求幂级数∑（n+1）（n+3）xn的收敛域、和函数．

n=0

an+1

an

由于lim

=1，所以得到收敛半径R=1．

当x=±

1时，级数的一般项不趋于零，是发散的，所以收敛域为（-1,1）．

令和函数S（x）=∑（n+1）（n+3）xn，则

∞∞∞

2nn

n∞n+2⎫⎛∞n+1⎫

⎛

S（x）=∑（n+4n+3）x=∑（n+2）（n+1）x+∑（n+1）x

=ç

∑x⎪"

+ç

∑x⎪'

n=1n=1

⎛x2⎫⎛x⎫3-x

n=1

⎝n=1

⎭⎝n=1⎭

1-x⎪"

1-x⎪'

=（1-x）3

⎝⎭⎝⎭

19．（本题满分10分）

设函数f（x）,g（x）在区间[a.b]上连续，且f（x）单调增加，0≤g（x）≤1，证明：

（1）

0≤⎰ag（t）dt≤x-a,

x∈[a,b]；

（2）⎰⎰af（x）dx≤⎰f（x）g（x）dx．

a+g（t）dtb

aa

xxx

（1）证明：

因为0≤g（x）≤1，所以⎰0dx≤⎰g（t）dt≤⎰1dtx∈[a,b]．

aaa

即0≤⎰ag（t）dt≤x-a,x∈[a,b]．

（2）令F（x）=⎰xf（u）g（u）du-⎰a+⎰ag（t）dtf（u）du，

则可知F（a）=0，且F'

（x）=f（x）g（x）-g（x）f⎛ç

a+⎰xg（t）dt⎫⎪，

⎝a⎭

因为0≤⎰ag（t）dt≤x-a,且f（x）单调增加，

所以f⎛ç

a+⎰xg（t）dt⎫⎪≤

f（a+x-a）=

f（x）．从而

F'

f（x）g（x）-g（x）f⎛ç

a+⎰xg（t）dt⎫⎪≥

f（x）g（x）-g（x）f（x）=0，

x∈[a,b]

也是F（x）在[a,b]单调增加，则F（b）≥F（a）=0，即得到

⎰a+⎰ag（t）dtf（x）dx≤⎰bf（x）g（x）dx．

20．（本题满分11分）

⎛1-2

3-4⎫

设A=ç

01

⎝2

-11

03

⎪，E为三阶单位矩阵．

（1）求方程组AX=0的一个基础解系；

（2）求满足AB=E的所有矩阵．

（1）对系数矩阵A进行初等行变换如下：

⎛1-23

-4⎫

⎪

⎛1001⎫

⎪

A=ç

01-11⎪→ç

-11⎪→ç

010

-2⎪，

⎪ç

⎝⎭⎝

4-31⎭ç

01-3⎪ç

01-3⎪

得到方程组AX=0同解方程组

⎧x1=-x4

⎨2

⎪=2x

⎪x=3x

⎩34

æ

-1ö

得到AX=0的一个基础解系ξ1=ç

2⎪

⎪．

1⎭

⎛x

x2

yz⎫

1⎪

y2z2⎪

（2）显然B矩阵是一个4⨯3矩阵，设B=ç

3

y3z3⎪

⎝x4

对矩阵（AE）进行进行初等行变换如下：

y4z4⎭

3-41

00⎫

-41

（AE）=ç

01-11010⎪→ç

010⎪

4-31

-10⎪

⎛1001

26-1⎫

→ç

⎪ç

010→010-2

-1-31⎪

-3

⎭⎝

-1-4⎪ç

01-3

-1-4⎪

由方程组可得矩阵B对应的三列分别为

⎛x1⎫⎛2⎫

⎛-1⎫⎛y1⎫⎛6⎫

⎛-1⎫⎛z1⎫⎛-1⎫⎛-1⎫

x2⎪

-1⎪

2⎪

y2⎪

-3⎪

z2⎪

1⎪

x⎪=ç

-1⎪+c1ç

3⎪，ç

y⎪=ç

-4⎪+c2ç

3⎪，ç

z⎪=ç

1⎪+c3ç

3⎪，

3⎪ç

z

⎝x4⎭⎝0⎭⎝1⎭⎝y4⎭⎝0⎭⎝1⎭ç

4⎪⎝0⎭⎝1⎭

⎝⎭

即满足AB=E的所有矩阵为

⎛2-c1

6-c2

-1-c3⎫

-1+2c

-3+2c

1+2c⎪

B=ç

1

-1+3c

-4+3c

3⎪

1+3c⎪

其中c1,c2,c3为任意常数．

21．（本题满分11分）

1

⎝c1

23⎪

c2c3⎭

⎛111⎫

⎛001⎫

证明n阶矩阵ç

1⎪ç

00

与

相似．

⎝11

1⎭⎝00

n⎭

【详解】证明：

1⎪，B=ç

002⎪．

1⎭

⎝00n⎭

λ-1

-1

分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：

λE-A=

=（λ-n）λn-1，

所以A的n个特征值为λ1=n,λ2=λ3=λn=0；

⎛λ⎫

0⎪

而且A是实对称矩阵，所以一定可以对角化．且A~ç

⎪；

⎪

⎝0⎭

λ

-2

λ-n

λE-B==（λ-n）λn-1

所以B的n个特征值也为λ1=n,λ2=λ3=λn=0；

对于n-1重特征值λ=0，由于矩阵（0E-B）=-B的秩显然为1，所以矩阵B对应n-1重特征值λ=0

的特征向量应该有n-1个线性无关，进一步矩阵B存在n个线性无关的特征向量，即矩阵B一定可以对

⎛λ

角化，且B~ç

⎛1

⎫

⎪

0⎭

11⎫

从而可知n阶矩阵ç

⎝11

22．（本题满分11分）

设随机变量X的分布为P（X=1）=P（X=2）=1，在给定