三角形综合题.docx
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三角形综合题
三角形综合题
三角形综合题
一.解答题(共30小题)
1.如图所示,在△ACB中,∠ACB=90°,∠1=∠B.
(1)求证:
CD⊥AB;
(2)如果AC=8,BC=6,AB=10,求CD的长.
2.如图,在平行四边形ABCD中,AE是BC边上的高,点F是DE的中点,AB与AG关于AE对称,AE与AF关于AG对称.
(1)求证:
△AEF是等边三角形;
(2)若AB=2,求△AFD的面积.
3.如图,四边形ABCD中,∠C=90°,AD⊥DB,点E为AB的中点,DE∥BC.
(1)求证:
BD平分∠ABC;
(2)连接EC,若∠A=30°,DC=
,求EC的长.
4.如图,已知AC=4,求AB和BC的长.
5.中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明,在世界数学史上具有独特的贡献和地位,体现了数学研究中的继承和发展.现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”.Rt△ABC中,∠ACB=90°,若AC=b,BC=a,请你利用这个图形解决下列问题:
(1)试说明a2+b2=c2;
(2)如果大正方形的面积是10,小正方形的面积是2,求(a+b)2的值.
6.如图,已知在四边形ABCD中,∠A=90°,AB=2cm,AD=
cm,CD=5cm,BC=4cm,求四边形ABCD的面积.
7.我们学习了勾股定理后,都知道“勾三、股四、弦五”.
观察:
3、4、5;5、12、13;7、24、25;9、40、41;…,发现这些勾股数的勾都是奇数,且从3起就没有间断过.
(1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数:
;
(2)若第一个数用字母n(n为奇数,且n≥3)表示,那么后两个数用含n的代数式分别表示为 和 ,请用所学知识说明它们是一组勾股数.
8.如图,一学校(点M)距公路(直线l)的距离(MA)为1km,在公路上距该校2km处有一车站(点N),该校拟在公路上建一个公交车停靠点(点p),以便于本校职工乘车上下班,要求停靠站建在AN之间且到此校与车站的距离相等,请你计算停靠站到车站的距离.
9.如图,圆柱形玻璃容器高19cm,底面周长为60cm,在外侧距下底1.5cm的点A处有一只蜘蛛,距蜘蛛正对面的圆柱形容器的上底1.5cm处的点B处有一只苍蠅,蜘蛛急于捕捉苍蝇充饥,请你帮蜘蛛计算它沿容器侧面爬行的最短长度.
10.如图,长方体盒子(无盖)的长、宽、高分别是12cm,8cm,30cm.
(1)在AB中点C处有一滴蜜糖,一只小虫从D处爬到C处去吃,有无数种走法,则最短路程是多少?
(2)此长方体盒子(有盖)能放入木棒的最大长度是多少?
11.阅读下面的文字,回答后面的问题.
例:
求1+3+32+35+…+3100的值.
解:
令S=1+3+32+33+…+3100①.
将等式两边提示乘以3得到:
3S=3+32+33+34+…+3101②.
②﹣①得到:
2S=3101﹣1,∴S=
.
∴1+3+32+33+…+3100=
.
问题:
(1)求1+2+4+8+…+22016的值;
(2)求2+6+18+…+2×350的值;
(3)如图,在等腰Rt△OAB中,OA=AB=1,以斜边OB为腰作第二个等腰Rt△OBC,再以斜边OC为腰作第三个等腰Rt△OCD,如此下去…一直作图到第100个图形为止.求所有的等腰直角三角形的所有斜边之和.(直接写出结果.
12.如图所示,在△ABC中,BC>AC,点D在BC上,且DC=AC,∠ACB的平分线CF交AD于点F.点E是AB的中点,连接EF.
(1)求证:
EF∥BC;
(2)若四边形BDFE的面积为9,求△ABD的面积.
13.如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D为边AC上一点,DE⊥AB于点E.点M为BD中点,CM的延长线交AB于点F.
(1)求证:
CM=EM;
(2)若∠BAC=50°,求∠EMF的大小;
(3)如图2,若△DAE≌△CEM,点N为CM的中点,求证:
AN∥EM.
14.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=4,动点P从点A出发,沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动.过点P作PD⊥AC于点D(点P不与点A、B重合),作∠DPQ=60°,边PQ交射线DC于点Q.设点P的运动时间为t秒.
(1)用含t的代数式表示线段DC的长;
(2)当点Q与点C重合时,求t的值;
(3)设△PDQ与△ABC重叠部分图形的面积为S,求S与t之间的函数关系式;
(4)当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时,直接写出t的值.
15.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC于点D.
(1)如图1,点E,F在AB,AC上,且∠EDF=90°.求证:
BE=AF;
(2)点M,N分别在直线AD,AC上,且∠BMN=90°.
①如图2,当点M在AD的延长线上时,求证:
AB+AN=
AM;
②当点M在点A,D之间,且∠AMN=30°时,已知AB=2,直接写出线段AM的长.
16.已知点A(3,4),点B为直线x=﹣1上的动点,设B(﹣1,y).
(1)如图①,若△ABO是等腰三角形且AO=AB时,求点B的坐标;
(2)如图②,若点C(x,0)且﹣1<x<3,BC⊥AC垂足为点C;
①当x=0时,求tan∠BAC的值;
②若AB与y轴正半轴的所夹锐角为α,当点C在什么位置时tanα的值最大?
17.我们定义:
等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对(sad),如图①,在△ABC中,AB=AC,顶角A的正对记作sadA,这时sadA=
.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义,解下列问题:
(1)sad90°= .
(2)对于0°<A<180°,∠A的正对值sadA的取值范围是 .
(3)如图②,已知sinA=
,其中∠A为锐角,试求sadA的值.
18.已知关于x的方程x2﹣(m+n+1)x+m(n≥0)的两个实数根为α、β,且α≤β.
(1)试用含α、β的代数式表示m和n;
(2)求证:
α≤1≤β;
(3)若点P(α,β)在△ABC的三条边上运动,且△ABC顶点的坐标分别为A(1,2)、B(
,1)、C(1,1),问是否存在点P,使m+n=
?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
19.如图1,在等边△ABC和等边△ADP中,AB=2,点P在△ABC的高CE上(点P与点C不重合),点D在点P的左侧,连接BD,ED.
(1)求证:
BD=CP;
(2)当点P于点E重合时,延长CE交点BD于点F,请你在图2中作出图形,并求出BF的长;
(3)直接写出线段DE长度的最小值.
20.如图,△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,CA=CB,CE=CD,△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上,AB、CD交于点F,连接BD.
(1)求证:
△ECA≌△DCB;
(2)求证:
AE2+AD2=2AC2;
(3)若AE=2,AF:
CF=
:
3,求线段AB的长.
21.如图,△ABC中,AB=BC,BD⊥AC于点D,∠FAC=
∠ABC,且∠FAC在AC下方.点P,Q分别是射线BD,射线AF上的动点,且点P不与点B重合,点Q不与点A重合,连接CQ,过点P作PE⊥CQ于点E,连接DE.
(1)若∠ABC=60°,BP=AQ.
①如图1,当点P在线段BD上运动时,请直接写出线段DE和线段AQ的数量关系和位置关系;
②如图2,当点P运动到线段BD的延长线上时,试判断①中的结论是否成立,并说明理由;
(2)若∠ABC=2α≠60°,请直接写出当线段BP和线段AQ满足什么数量关系时,能使
(1)中①的结论仍然成立(用含α的三角函数表示).
22.如图,在△ABC中,AB=7.5,AC=9,S△ABC=
.动点P从A点出发,沿AB方向以每秒5个单位长度的速度向B点匀速运动,动点Q从C点同时出发,以相同的速度沿CA方向向A点匀速运动,当点P运动到B点时,P、Q两点同时停止运动,以PQ为边作正△PQM(P、Q、M按逆时针排序),以QC为边在AC上方作正△QCN,设点P运动时间为t秒.
(1)求cosA的值;
(2)当△PQM与△QCN的面积满足S△PQM=
S△QCN时,求t的值;
(3)当t为何值时,△PQM的某个顶点(Q点除外)落在△QCN的边上.
23.
(1)问题发现
如图1,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD交于点M.填空:
①
的值为 ;
②∠AMB的度数为 .
(2)类比探究
如图2,在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连接AC交BD的延长线于点M.请判断
的值及∠AMB的度数,并说明理由;
(3)拓展延伸
在
(2)的条件下,将△OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M,若OD=1,OB=
,请直接写出当点C与点M重合时AC的长.
24.已知:
△ABC是等腰三角形,CA=CB,0°<∠ACB≤90°.点M在边AC上,点N在边BC上(点M、点N不与所在线段端点重合),BN=AM,连接AN,BM,射线AG∥BC,延长BM交射线AG于点D,点E在直线AN上,且AE=DE.
(1)如图,当∠ACB=90°时
①求证:
△BCM≌△ACN;
②求∠BDE的度数;
(2)当∠ACB=α,其它条件不变时,∠BDE的度数是 (用含α的代数式表示)
(3)若△ABC是等边三角形,AB=3
,点N是BC边上的三等分点,直线ED与直线BC交于点F,请直接写出线段CF的长.
25.
(1)操作发现:
如图①,小明画了一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,在△ABC的外侧分别以AB,AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD,ACE,分别取BD,CE,BC的中点M,N,G,连接GM,GN.小明发现了:
线段GM与GN的数量关系是 ;位置关系是 .
(2)类比思考:
如图②,小明在此基础上进行了深入思考.把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形,其中AB>AC,其它条件不变,小明发现的上述结论还成立吗?
请说明理由.
(3)深入研究:
如图③,小明在
(2)的基础上,又作了进一步的探究.向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD,ACE,其它条件不变,试判断△GMN的形状,并给与证明.
26.在△ABC中,AB=BC,点O是AC的中点,点P是AC上的一个动点(点P不与点A,O,C重合).过点A,点C作直线BP的垂线,垂足分别为点E和点F,
30.如图,△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,点P为射线BD,CE的交点.
(1)求证:
BD=CE;
(2)若AB=2,AD=1,把△ADE绕点A旋转,
①当∠EAC=90°时,求PB的长;
②直接写出旋转过程中线段PB长的最小值与最大值.
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