北师大版数学九年级上册全部教案Word文档格式.docx

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探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法；

难点：

明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。

三、教学过程分析

学生课前准备：

一张等腰三角形纸片（供上课折叠实验用）；

教师课前准备：

制作好的几何画板课件.

本节课设计了六个教学环节：

第一环节：

回顾旧知导出公理；

第二环节：

折纸活动探索新知；

第三环节：

明晰结论和证明过程；

第四环节：

随堂练习巩固新知；

第五环节：

课堂小结；

第六环节：

布置作业。

回顾旧知导出公理

活动内容：

提请学生回忆并整理《证明

（一）》中列出的六条公理：

1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行；

2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等；

3.两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；

4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；

5.三边对应相等的两个三角形全等（SSS）；

6.全等三角形的对应边相等,对应角相等。

在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件：

（推论）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS），并要求学生利用前面所提到的公理进行证明。

活动目的：

经过一个暑假，学生难免有所遗忘，因此，在第一课时，回顾有关内容，既是对前面学习内容的一个简单梳理，也为后续有关证明做了知识准备；

证明这个推论，可以让学生熟悉证明的基本要求和步骤，为后面的其他证明做好准备。

活动效果与注意事项：

由于有了前面的铺垫，学生一般都能得到该推论的证明思路，但由于有了一个暑假的遗忘，可能部分学生的表述未必严谨、规范，教学中注意提请学生分析条件和结论，画出简图，写出已知和求证，并规范地写出证明过程。

具体证明如下：

已知：

如图，∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.

求证：

△ABC≌△DEF.

证明：

∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知），

又∠A+∠B+∠C=180°

，∠D+∠E+∠F=180°

（三角形内角和等于180°

），

∴∠C=180°

-（∠A+∠B），

∠F=180°

-（∠D+∠E），

∴∠C=∠F（等量代换）。

又BC=EF（已知），

∴△ABC≌△DEF（ASA）。

折纸活动探索新知

在提问：

“等腰三角形有哪些性质？

以前是如何探索这些性质的，你能再次通过折纸活动验证这些性质吗？

并根据折纸过程，得到这些性质的证明吗？

”的基础上，让学生经历这些定理的活动验证和证明过程。

具体操作中，可以让学生先独自折纸观察、探索并写出等腰三角形的性质，然后再以六人为小组进行交流，互相弥补不足。

→

通过折纸活动过程，获得有关命题的证明思路，并通过进一步的整理，再次感受证明是探索的自然延伸和发展，熟悉证明的基本步骤和书写格式。

由于有了教师引导下学生的活动，以及具体的折纸操作，学生一般都能得到有关等腰三角形的性质定理，当然，可能部分学生得到的定理并不全面，在学生小组的交流中，通过同伴的互相补充，一般都可以得到所有性质定理。

当然，在教学过程中，教师应注意小组的巡视，提醒学生思考多种证明思路，思考不同的辅助线之间的关系从而得到“三线合一”。

明晰结论和证明过程

1、在学生小组合作的基础上，教师通过分析、提问，和学生一起完成以上两个个性质定理的证明，注意最好让两至三个学生板演证明,其余学生挑选其一证明.其后，教师通过课件汇总各小组的结果以及具体证明方法，给学生明晰证明过程。

（1）等腰三角形的两个底角相等；

（2）等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上高三条线重合

2、提请学生在上面等要三角形性质定理的基础上，思考等边三角形的特殊性质，从而得到：

等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°

.

和学生一起完成性质定理的证明，可以让学生自主经历命题的证明过程；

明晰证明过程，意图给学生明晰一定的规范，起到一种引领作用；

活动2，则是前面命题的直接推论，力图让学生形成拓广命题的意识，同时也是一个很好的巩固练习。

活动效果：

学生一般都能得到这些定理的证明，能规范地写出对于“等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°

”的证明过程：

如图，ΔABC中，AB=BC=AC．

∠A=∠B=∠C=60°

在ΔABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C（等边对等角）．

同理：

∠C=∠A，∴∠A=∠B=∠C（等量代换）．

又∵∠A+∠B+∠C＝180°

（三角形内角和定理），∴∠A=∠B=∠C＝60°

．

随堂练习巩固新知

学生自主完成P4第2题：

如图（图略）,在△ABD中,C是BD上的一点，且AC⊥BD，AC=BC=CD，

（1）求证：

△ABD是等腰三角形；

（2）求∠BAD的度数。

巩固全等三角形判定公理的应用，复习等腰三角形“等边对等角”的用法。

课堂小结

让学生畅谈收获，包括具体结论以及其中的思想方法等。

形成及时总结语反思的意识与习惯，提高学生能力。

教师注意对学生的感想进行适当的引导，并在学生交流的基础上，明晰部分收获供学生共享，如：

1、具体有关性质定理；

2、通过折纸活动获得三个定理，均给予了严格的证明，为今后解决有关等腰三角形的问题提供了丰富的理论依据．

3、体会了证明一个命题的严格的要求，体会了证明的必要性．

布置作业

P5习题1,2.

四、教学反思

本节关注学生已有活动经验的回顾过程，关注了“探索－发现－猜想－证明”的活动过程，关注了学生自主探究过程，学生学习的主体性发挥较好，应该说取得了较好的教学效果。

当然，在具体活动中，如何在学生活动与规范表达之间形成一个恰当的平衡，具体各部分时间比例的分配可能还需要根据班级学生具体状况进行适度的调整。

第一章证明

（二）

1.你能证明它们吗

（二）

在七年级下，学生也已经探索得到了有关三角形全等和等腰三角形的有关命题；

而前一课时，学生刚刚证明了等腰三角形的性质，这为本课时拓展等腰三角形的性质、研究等要三角形的判定定理都做了很好的铺垫。

本节将利用前一课时所证明的等腰三角形的性质定理，进一步研究等腰三角形的一些特殊性质，以及等腰三角形的判定定理，前者是性质定理的直接运用与拓广，后者则是前者的逆命题，可以发展学生的逆向思维能力，同时后者的证明过程中，需要借助反证法，因而反证法的学习与运用也成为本课时的教学任务之一，为此，确定本节课的教学目标如下：

①探索——发现——猜想——证明等腰三角形中相等的线段，证明等腰三角形的判定定理，进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性；

②初步了解反证法的含义，并能利用反证法证明简单的命题；

①经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力；

②在命题的变式中，发展学生提出问题的能力，拓展命题的能力，从而提高学生的学习能力和思维能力，提高学生学习的主体性；

③在图形的观察中，揭示等腰三角形的本质：

对称性，发展学生的几何直觉；

④引导学生体会蕴含在问题解决过程中的思想方法，如归纳、类比、反证法等。

3．情感与价值观要求

①鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲．

②体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性．

重点：

经历“探索——发现一一猜想——证明”的过程，能够用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论．结合实例体会反证法的含义．

①由一般结论归纳出特殊结论．

②探求证明思路，特别是反证法的思路含义．

本节课设计了八个教学环节：

提出问题，引入新课；

自主探究；

经典例题变式练习；

逆向思考，导出反证法；

适时提问导出反证法；

及时巩固随堂练习；

第七环节：

．探讨收获课时小结；

第八环节：

提出问题，引入新课

在回忆上节课等腰三角形性质的基础上，提出问题：

在等腰三角形中作出一些线段（如角平分线、中线、高等），你能发现其中一些相等的线段吗?

你能证明你的结论吗?

回顾性质，既为后续研究判定提供了基础；

同时，直接提出新的问题，过渡自然，引入本课研究内容，而新的问题是原有性质的一个自然拓广，有助于提高学生提出问题的能力。

自主探究

在等腰三角形中自主作出一些线段（如角平分线、中线、高等），观察其中有哪些相等的线段，并尝试给出证明。

让学生再次经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，进一步体会证明的必要性，并进行证明，从中进一步体会证明过程，感受证明方法的多样性。

活动中，教师应注意给予适度的引导，如可以渐次提出问题：

你可能得到哪些相等的线段？

你如何验证你的猜测？

你能证明你的猜测吗？

试作图，写出已知、求证和证明过程；

还可以有哪些证明方法？

通过学生的自主探究和同伴的交流，学生一般都能在直观猜测、测量验证的基础上探究出：

等腰三角形两个底角的平分线相等；

等腰三角形腰上的高相等；

等腰三角形腰上的中线相等．

并对这些命题给予多样的证明。

如对于“等腰三角形两底角的平分线相等”，学生得到了下面的证明方法：

如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的角平分线．

BD=CE．

证法1：

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）．

∵∠1=∠ABC，∠2=∠ABC，

∴∠1=∠2．

在△BDC和△CEB中，

∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2．

∴△BDC≌△CEB（ASA）．

∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）

证法2：

∴∠ABC=∠ACB．

又∵∠3=∠4．

在△ABC和△ACE中，

∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A．

∴△ABD≌△ACE（ASA）．

∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）．

在证明过程中，学生思路一般还较为清楚，但毕竟严格证明表述经验尚显不足，因此，教学中教师应注意对证明规范提出一定的要求，因此，注意请学生板书其中部分证明过程，借助课件展示部分证明过程；

可能部分学生还有一些困难，注意对有困难的学生给予帮助和指导。

经典例题变式练习

提请学生思考，除了角平分线、中线、高等特殊的线段外，还可以有哪些线段相等？

并在学生思考的基础上，研究课本“议一议”：

在课本图1—4的等腰三角形ABC中，

（1）如果∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB呢?

由此，你能得到一个什么结论?

（2）如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE吗?

如果AD=AC，AE=AB呢?

由此你得到什么结论?

提高学生变式能力、问题拓广能力，发展学生学习的自主性。

活动注意事项与效果：

教学中应注意对学生的引导，因为学生先前这样的经验比较少，可能学生一时不知如何研究问题，教师可以引导学生思考：

把底角二等份的线段相等．如果是三等份、四等份……结果如何呢?

从而引出“议一议”。

由于课堂时间有限，如果学生全部解决上述问题，时间不够，可以在引导学生提出上述这些问题的基础上，让学生证明其中部分问题，而将其余问题作为课外作业，延伸到课外；

当然，也可以对不同的学生提出不同的要求，如普通学生仅仅证明其中部分问题，而要求部分学优生解决所有的问题，甚至要求这部分学优生思考“还可以提出哪些类似问题，你是如何想到这些问题的”。

在学生解决问题的基础上，教师还应注意揭示蕴含其中的思想方法。

下面是学生的课堂表现：

[生]在等腰三角形ABC中，如果∠ABD=∠ABC，那么BD=CE．这和证明等腰三角形两底角的角平分线相等类似．证明如下：

又∵∠ABD=∠ABC,∴∠ACE=∠ACB,

∴∠ABD=∠ACE．

∵∠ABD=∠ACE，BC=CB，∠ACB=∠ABC,

∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）

[生]如果在△ABC中，AB=AC,∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠∠ACB，那么BD=CE也是成立的．因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB，利用等量代换便可得到∠ABD=∠ACE，△BDC与△CEB全等的条件就能满足，也就能得到BD=CE．由此我们可以发现：

在△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠∠ABC，∠ACE=∠ACB，就一定有BD=CE成立．

[生]也可以更直接地说：

在△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠ACE，那么BD=CE．

[师]这两位同学都由特殊结论猜想出了一般结论．请同学们把一般结论的证明过程完整地书写出来．（教师可巡视指导）下面我们来讨论第

（2）问，请小组代表发言．

[生]在△ABC中，AB=AC，如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE；

如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE．由此我们得到了一个更一般的结论：

在△ABC中，AB=AC，AD=AC，AE=AB，那么BD=CE．证明如下：

∵AB=AC．

又∵AD=AC，AE=AB，

∴AD=AE．

在△ADB和△AEC中，

AB=AC，∠A=∠A，AD=AE，

∴△ADB≌△AEC（SAS）．

[生]一般结论也可更简洁地叙述为：

在△ABC中，如果AB=AC，AD=AE，那么BD=CE．

[师]这里的两个问题都是由特殊结论得出更一般的结论，这是我们研究数学问题常用的一种思想方法，它会使我们得到意想不到的效果．例如通过对这两个问题的研究，我们可以发现等腰三角形中，相等的线段有无数组．这和等腰三角形是轴对称图形这个性质是密不可分的．

逆向思考，导出反证法

活动过程与效果：

教师：

上面，我们改变问题条件，得出了很多类似的结论，这是研究问题的一种常用方法，除此之外，我们还可以“反过来”思考问题，这也是获得数学结论的一条途径．例如“等边对等角”，反过来成立吗?

也就是：

有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?

[生]如图，在△ABC中，∠B=∠C，要想证明AB=AC，只要构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了．

[师]你是如何想到的?

[生]由前面定理的证明获得启发，比如作BC的中线，或作A的平分线，或作BC上的高，都可以把△ABC分成两个全等的三角形．

[师]很好．同学们可在练习本上尝试一下是否如此，然后分组讨论．

[生]我们组发现，如果作BC的中线，虽然把△ABC分成了两个三角形，但无法用公理和已证明的定理证明它们全等．因为我们得到的条件是两个三角形对应两边及其一边的对角分别相等，是不能够判断两个三角形全等的．后两种方法是可行的．

[师]那么就请同学们任选一种方法按要求将推理证明过程书写出来．（教师可让两个同学在黑板上演示，并对推理证明过程讲评）

（证明略）

[师]我们用“反过来”思考问题，获得并证明了一个非常重要的定理——等腰三角形的判定定理：

有两个角相等的三角形是等腰三角形．这一定理可以简单叙述为：

等角对等边．我们不仅发现了几何图形的对称美，也发现了数学语言的对称美．

适时提问导出反证法

我们类比归纳获得一个数学结论，“反过来”思考问题也获得了一个数学结论．如果否定命题的条件，是否也可获得一个数学结论吗?

我们一起来“想一想”：

小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗?

如果成立，你能证明它吗?

有学生提出：

“我认为这个结论是成立的．因为我画了几个三角形，观察并测量发现，如果两个角不相等，它们所对的边也不相等．但要像证明“等角对等边”那样却很难证明，因为它的条件和结论都是否定的．”

的确如此．像这种从正面人手很难证明的结论，我们有没有别的证明思路和方法呢?

我们来看一位同学的想法：

如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与Ac要么相等，要么不相等．

假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B，但已知条件是∠B≠∠C．“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC

你能理解他的推理过程吗?

再例如，我们要证明△ABC中不可能有两个直角，也可以采用这位同学的证法，假设有两个角是直角，不妨设∠A=90°

，∠B=90°

，可得∠A+∠B=180°

，但△ABC中∠A+∠B+∠C=180°

“∠A+∠B=180°

”与“∠A+∠B+∠C=180°

”相矛盾，因此△ABC中不可能有两个直角．

引导学生思考：

上一道面的证法有什么共同的特点呢?

引出反证法。

都是先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．这也是证明命题的一种方法，我们把它叫做反证法．

及时巩固随堂练习

如图，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC且∠1=∠2．

AB=AC．

∵AD∥BC，

∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），

∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）．

又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C．

∴AB=AC（等角对等边）．

．探讨收获课时小结

本节课我们通过观察探索、发现并证明了等腰三角形中相等的线段，并由特殊结论归纳出一般结论，接着用“反过来”思考问题的方法获得并证明了等腰三角形的判定定理“等角对等边”，最后结合实例了解了反证法的含义．

课本P9习题1．2第2、3题

本节课关注了问题的变式与拓广，实际上引领学生经历了提出问题、解决问题的过程，因而较好地提高了学生的研究能力、自主学习能力，但也应注意根据学生的情况进行适度的调整，因为学生先前这样的经验较少，因而对一些班级学生而言，完成全部这些教学任务，可能时间偏紧，为此，教学中可以适当减少一些内容，将部分内容延伸到课外，当然，也可以设计为两个课时，将研究过程进一步展开。

1.你能证明它们吗（三）

在前两节课，学生已经经历了独立探索发现定理的过程，并能基本规范地证明相关命题，这些都为本节课进一步探索发现相关定理提供了较好的知识基础和活动经验基础。

本节课，学生将探究等边三角形判定定理和含30°

角的直角三角形的性质定理，应该说，这两个定理的证明和探索相对而言，并不复杂，更多的是前面定理的直接运用，因此，本节课可以更多地让学生自主探索。

但第一个定理证明中，需要分类讨论，因此注意揭示其中的分类思想；

第2个定理结论比较特殊，直接从定理条件出发，学生一般难能得到这个结论，因此，教科书中设计了一个学生活动，在活动的基础上“无意”中发现了其特殊的结论，这实际上也是一种数学发现的方法，因此也应注意让学生体会。

为此，确定本节课的教学目标：

理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30º

角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题。

①经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．

②经历实际操作，探索含有30º

角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力；

③在具体问题的证明过程中，有意识地渗透分类讨论、逆向思维的思想，提高学生的能力。

①积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．

②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.

教学重点

①等边三角形判定定理的发现与证明.

②含30°

角的直角三角形的性质定理的发现与证明.

4．教学难点

①含30°

角的直角三角形性质定理的探索与证明.

②引导学生全面、周到地思考问题.

学具准备：

两个带30度角的三角板。

自主探索；

实际操作提出问题；

变式训练巩固新知；

畅谈收获课时小结；

提问问题，引入新课

教师回顾前面等腰三角形的性质和判定定理的基础上，直接提出问题：

等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？

又如何判别一个三角形是等腰三角形呢？

从而引入新课。

开门见山