比和比例奥数讲义.docx
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比和比例奥数讲义.docx
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比和比例奥数讲义
比和比例
在应用题的各种类型中,有一类与数量之间的(正、反)比例关系有关.在解答这类应用题时,我们需要对题中各个量之间的关系作出正确的判断。
成正比或反比的量中都有两种相关联的量.一种量(记作x)变化时另一种量(记作y)也随着变化.与这两个量联系着,有一个不变的量(记为k).在判断变量x与y是否成正、反比例时,我们要紧紧抓住这个不变量k.如成正比例;如果k是y与x的积,即在x变化时,y与x的积不变:
xy=k,那么y与x成反比例.如果这两个关系式都不成立,那么y与x不成(正和反)比例.
下面我们从最基本的判断两种量是否成比例的例题开始.
例1下列各题中的两种量是否成比例?
成什么比例?
①速度一定,路程与时间.
②路程一定,速度与时间.
③路程一定,已走的路程与未走的路程.
④总时间一定,要制造的零件总数和制造每个零件所用的时间.
⑤总产量一定,亩产量和播种面积.
⑥整除情况下被除数一定,除数和商.
⑦同时同地,竿高和影长.
⑧半径一定,圆心角的度数和扇形面积.
⑨两个齿轮啮合转动时转速和齿数.
⑩圆的半径和面积.
(11)长方体体积一定,底面积和高.
(12)正方形的边长和它的面积.
(13)乘公共汽车的站数和票价.
(14)房间面积一定,每块地板砖的面积与用砖的块数.
(15)汽车行驶时每公里的耗油量一定,所行驶的距离和耗油总量.
分析以上每题都是两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,那么怎样来确定这两种量成哪种比例或不成比例呢?
关键是能否把两个两种形式,或只能写出加减法关系,那么这两种量就不成比例.例如①×零件数=总时间,总时间一定,制造每个零件用的时间与要制造的零件总数成反比例.③路程一定,已走的路程和未走的路程是加减法关系,不成比例.
解:
成正比例的有:
①、⑦、⑧、(15)
成反比例的有:
②、④、⑤、⑥、⑨、(11)、(14)
不成比例的有:
③、⑩、(12)、(13).
例2一条路全长60千米,分成上坡、平路、下坡三段,各段路程长的比依次是1:
2:
3,某人走各段路程所用时间之比依次是4∶5∶6,已知他上坡的速度是每小时3千米,问此人走完全程用了多少时间?
分析要求此人走完全程用了多少时间,必须根据已知条件先求出此人走上坡路用了多少时间,必须知道走上坡路的速度(题中每小时行3千米)和上坡路的路程,已知全程60千米,又知道上坡、平路、下坡三段路程比是1∶2∶3,就可以求出上坡路的路程.
解:
上坡路的路程:
60×=10(千米)
走上坡路用的时间:
10÷3=(小时)
上坡路所用时间与全程所用时间比:
走完全程所用时间:
÷=(小时)
答:
此人走完全程共用小时。
例3一块合金内铜和锌的比是2∶3,现在再加入6克锌,共得新合金36克,求新合金内铜和锌的比?
分析要求新合金内铜和锌的比,必须分别求出新合金内铜和锌各自的重量.应该注意到铜和锌的比是2∶3时,合金的重量不是36克,而是(36-6)克.铜的重量始终没有变.
解:
铜和锌的比是2∶3时,合金重量:
36-6=30(克).
铜的重量:
30×=12(克)
新合金中锌的重量:
36-12=24(克).
新合金内铜和锌的比:
12∶24=1∶2.
答:
新合金内铜和锌的比是1∶2.
例4师徒两人共加工零件168个,师傅加工一个零件用5分钟,徒弟加工一个零件用9分钟,完成任务时,两人各加工零件多少个?
分析师傅加工一个零件用5分钟,每分钟可加工个零件;徒弟加工一个零件用9分钟,每分钟可加工零件个。
师、徒两人效率的比是:
,由于两人的工作时间是一定的,根据(一定),工作量与工作效率成正比例.
解法1:
设师傅加工x个,徒弟加工(168-x)个.
解得x=108.
168-x=168-108=60(个).
答:
师傅加工108个,徒弟加工60个.
解法2:
由于师、徒两人工作效率的比是,那么他们工作量的比也是,因此师傅工作量是徒弟工作量的÷=(倍),徒弟的工作量为1倍量。
168÷(÷+1)=60(个)(徒弟)
60×(÷)=108(个)(师傅)
解法3:
师傅每分钟加工个,徒弟每分钟加工个,用相遇问题思考方法可求出两人各用了多少分钟。
然后用师、徒每分钟各自的效率,分别乘以540就是各自加工零件的个数。
168÷(+)=540(分钟)
×540=108(个)
×540=60(个)
解法4:
按比例分配做。
∵:
=9:
5
∴168×=108(个)
168×=60(个)
例5洗衣机厂计划20天生产洗衣机1600台,生产5天后由于改进技术,效率提高25%,完成计划还要多少天?
分析这是一道比例应用题,工效和工时是变量,不变量是计划生产5天后剩下的台数.从工效看,有原来的效率1600÷20=80台/天,又有提高后的效率80×(1+25%)=100台/天.从时间看,有原来计划的天数,要求效率提高后还需要的天数.
根据工效和工时成反比例的关系,得:
提高后的效率×所需天数=剩下的台数.
解法1:
设完成计划还需x天.
1600÷20×(1+25%)×x=1600-1600÷20×5
80×1.25×x=1600-400
100x=1200
x=12.
答:
完成计划还需12天.
解法2:
此题还可以转化成正比例.根据实际效率是原来效率的1+25%=倍,把原来效率看成“1”,实际和原来效率的比是:
1=5:
4。
因为工效和工时成反比例,所以实际与原来所需时间的比是4∶5,如果设实际还需要x天,原来计划的天数是20-5=15天,根据实际与原来时间的比等于实际天数与原来天数的比,可以用正比例解答.设完成计划还需x天.
=
解得x=12.
解法3:
(按工程问题解)设完成计划还需x天.
×(1+25%)×=1-×5
解得
例6一个长方形长与宽的比是14:
5,如果长减少13厘米,宽增加13厘米,则面积增加182平方厘米,那么原长方形面积是多少平方厘米?
画出图便于解题:
解法1:
BC的长:
182÷13=14(厘米),
BD的长:
14+13=27(厘米),
从图中看出AB长就是原长方形的宽,AD与AB的比是14∶5,
AB与BD的比是5∶(14-5)=5∶9,
AB的长是27÷=15(厘米)
AD的长是15÷=42(厘米)
原长方形面积是42×15=630(平方厘米).
答:
原长方形面积是630平方厘米.
解法2:
设原长方形长为14x,宽为5x.由图分析得方程
(14x-13)×13-5x×13=182,
x=3.
则原长方形面积:
(14×3)×(5×3)=630(平方厘米).
例4、例5、例6是综合性较强的题,介绍了几种不同解法.要求大家从不同角度、综合、灵活运用所学知识,多角度去思考解答应用题,从而提高自己思维判断能力。
习题
1.一块长方形的地,长和宽的比是3∶2,长比宽多24米,这块地的面积是多少平方米?
2.一块长方形的地,长和宽的比是3∶2,长方形的周长是120米,求这块地的面积?
3.水果店运来橘子、苹果共96筐,橘子和苹果筐数的比是5∶3,求橘子、苹果各是多少筐?
4.化肥厂计划生产化肥1400吨,由于改进技术5天就完成了计划的25%,照这样计算,剩下的任务还需多少天完成?
5.小强买了一件上衣和两条裤子,小明买了同样价钱的上衣和裤子各一件,他们用去钱数的比是4∶3,已知一件上衣7元,求一条裤子多少元?
6,小刚读一本书,第一天读了全书的,第二天比第一天多读了6页,这时已读的页数与剩下的页数的比是3:
7。
小刚再读多少页就能读完这本书?
7.甲、乙两车由A、B两地同时出发相向而行,甲乙两车速度比是2:
3,已知甲车走完全程用小时。
求两车几小时后在中途相遇?
8.“长江”号轮船第一次顺流航行21公里又逆流航行4公里,第二次在同一河流中顺流航行12公里,逆流航行7公里,结果两次所用的时间相等.求顺水船速与逆水船速的比。
一、比和比的分配
最基本的比例问题是求比或比值.从已知一些比或者其他数量关系,求出新的比.
例1 甲、乙两个长方形,它们的周长相等.甲的长与宽之比是3∶2,乙的长与宽之比是7∶5.求甲与乙的面积之比.
解:
设甲的周长是2.
甲与乙的面积之比是
答:
甲与乙的面积之比是864∶875.
作为答数,求出的比最好都写成整数.
例2 如右图,ABCD是一个梯形,E是AD的中点,直线CE把梯形分成甲、乙两部分,它们的面积之比是10∶7.
求上底AB与下底CD的长度之比.
解:
因为E是中点,三角形CDE与三角形CEA面积相等.
三角形ADC与三角形ABC高相等,它们的底边的比AB∶CD=三角形ABC的面积∶三角形ADC的面积
=(10-7)∶(7×2)=3∶14.
答:
AB∶CD=3∶14.
两数之比,可以看作一个分数,处理时与分数计算几乎一样.三数之比,却与分数不一样,因此是这一节讲述的重点.
例3 大、中、小三种杯子,2大杯相当于5中杯,3中杯相当于4小杯.如果记号表示2大杯、3中杯、4小杯容量之和,求与之比.
解:
大杯与中杯容量之比是5∶2=10∶4,
中杯与小杯容量之比是4∶3,
大杯、中杯与小杯容量之比是10∶4∶3.
∶
=(10×2+4×3+3×4)∶(10×5+4×4+3×3)
=44∶75.
答:
两者容量之比是44∶75.
把5∶2与4∶3这两个比合在一起,成为三样东西之比10∶4∶3,称为连比.例3中已告诉你连比的方法,再举一个更一般的例子.
甲∶乙=3∶5,乙∶丙=7∶4,
3∶5=3×7∶5×7=21∶35,
7∶4=7×5∶4×5=35∶20,
甲∶乙∶丙=21∶35∶20.
花了多少钱?
解:
根据比例与乘法的关系,
连比后是
甲∶乙∶丙=2×16∶3×16∶3×2
=32∶48∶63.
答:
甲、乙、丙三人共花了429元.
例5 有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子,甲与乙
,而它们留在墙外的部分一样长.问:
甲、乙、丙的长度之比是多少?
解:
设甲的长度是6份.
∶x=5∶4.
乙与丙的长度之比是
而甲与乙的长度之比是6∶5=30∶25.
甲∶乙∶丙=30∶25∶26.
答:
甲、乙、丙的长度之比是30∶25∶26.
于利用已知条件6∶5,使大部分计算都整数化.这是解比例和分数问题的常用手段.
例6 甲、乙、丙三种糖果每千克价分别是22元、30元、33元.某人买这三种糖果,在每种糖果上所花钱数一样多,问他买的这些糖果每千克的平均价是多少元?
解一:
设每种糖果所花钱数为1,因此平均价是
答:
这些糖果每千克平均价是27.5元.
上面解法中,算式很容易列出,但计算却使人感到不易.最好的计算方法是,用22,30,33的最小公倍数330,乘这个繁分数的分子与分母,就有:
事实上,有稍简捷的解题思路.
解二:
先求出这三种糖果所买数量之比.
不妨设,所花
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