《二次函数与一元二次方程》教案.docx
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《二次函数与一元二次方程》教案
《二次函数与一元二次方程》教案
(一)
一、教学目标
1.知识与技能:
理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,及满足什么条件时方程有两个不等的实根,有两个相等的实根和没有实根;
2.过程与方法:
(1)通过观察二次函数图象与x轴的交点个数,讨论一元二次方程的根的情况,进一步培养学生的数形结合思想.
(2)理解一元二次方程的根就是二次函数与直线y=h(h是实数)图象交点的横坐标.
3.情感态度与价值观:
(1)经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会二次函数与方程之间的联系;
(2)通过探索二次函数与一元二次方程的关系,使学生体会数学的严谨性以及数学结论的确定性.
二、教学重点:
理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,及满足什么条件时方程有两个不等的实根,有两个相等的实根和没有实根
三、教学难点:
理解一元二次方程的根就是二次函数与直线y=h(h是实数)图象交点的横坐标
四、教学过程分析:
本节课设计了八个教学环节:
课前热身、耐心填一填;用心想一想、马到成功;合作议一议、取长补短;教材题变形、拓展提高;开拓创新、试一试;大胆尝试、练一练;课堂小结;课内外提高、布置作业.
第一环节课前热身、耐心填一填
活动内容:
1.(a,b,c是常数,a≠0),y叫做x的__________.它的图象是一条抛物线.它的对称轴是直线x=_____,顶点坐标是(,).
2.二次函数的解析式中的一般式是:
(a≠0)
顶点式:
交点式:
3.抛物线的对称轴是_______,开口方向是______,顶点坐标是___________.
4.抛物线与x轴的交点为_______________,与y轴的交点为___________.
5.已知抛物线与轴交于A(-1,0)和(1,0),并经过点M(0,1),则此抛物线的解析式为_______________.
活动目的:
教学第一个环节课前热身练习,是利用3分钟时间让学生尽快进入到课堂角色中来.问题的设置从最简单的概念二次函数入手,紧接着从“形”的方面对抛物线图象的最基本性质:
开口方向、对称轴的表达式、顶点坐标公式回顾,再从“数”的方面对二次函数解析式的三种表达形式回顾.目的一是巩固学生之前所学的基本知识,为本节课学习新知识做好铺垫,二是有意识对班级内基础较差的同学提问,增强他们对后面学习新内容的信心.第3小题要求学生熟练掌握把一般式转化为顶点式的配方法,第4小题目的是让学生回顾求抛物线与x轴交点的问题,就是y=0,转化为二次方程的根就是抛物线与x轴交点的横坐标,教学中通过对这个问题的点评,让学生明确二次函数的学习应该从“数”与“形”两方面进行研究.第5小题的解答虽然可以有三种途径:
一般式、顶点式、两根式都可以探索得到,但三种方法的简洁程度不相同,反映的思维深度也不一样,通过提问、启发在课堂中尽量让学生回答出三种解法,并对比三种方法的优劣.热身练习时,教师在课室中巡视,用肯定学生的话语鼓励学生,用启发性的语言提示学生,努力营造出宽松、和谐的课堂气氛,为之后的新课学习作好准备.
实际教学效果:
课前的热身训练中,由于这5个练习题设置基本,精巧简练,所以这个环节在知识上起到了承前启后的作用,在教与学的双边活动中也营造出了较为宽松的课堂气氛.特别是第5小题的一题多解,即活跃了学生的思维,也为本节新课“探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会二次函数与方程之间的联系”打好了铺垫.
第二环节用心想一想,马到功成
活动内容:
1.我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么
(1)图象上每个点的横、纵坐标含义是什么?
(2)h和t的关系式是什么?
(3)小球经过多少秒后落地?
你有几种求解方法?
与同伴进行交流.
2.分别求出二次函数,,的图象与x轴的交点的坐标,并快速作出草图.
思路点拨:
与x轴交点就是求当y=0时这个方程的解,然后写成点的坐标.
(1)观察下列二次函数,,的图象,每个图象与x轴有几个交点?
(2)一元二次方程,有几个根?
验证一下一元二次方程有根吗?
(3)说说二次函数的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程的根有什么关系?
3.归纳整理:
a.二次函数的图象和x轴交点有三种情况:
1.有两个交点,
2.有一个交点,
3.没有交点.
b.当二次函数的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程的根.
c.完成下列表格,观察二次函数的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程的根及一元二次方程的根的判别式有什么关系?
二次函数的图象和x轴交点
一元二次方程的根
一元二次方程根的判别式
有两个交点
有两个相异的实数根
有一个交点
有两个相等的实数根
没有交点
没有实数根
例 不画图象,判断下列函数的图象与x轴是否有公共点,并说明理由.
解:
∴此方程有两个不相等的实数根.
∴该抛物线与x轴有两个交点.
∴此方程没有实数根.
∴该抛物线与x轴没有公共点.
活动目的:
这一环节是本节课的重点内容,在教材提供的生活素材背景下,例题是由一个待定的二次函数解析式与对应图象一并给出的,目的很明显:
为学生直接铺设一个数形结合的情境,有意识的引导学生从数形两方面结合起来考虑问题,由于学生已经有了一次函数图象应用的学习经历,具备了一定的数形结合思想基础,为了求出v0和h0,只要教师引导学生分析清楚由于高度h与时间t成二次函数关系,故图象必然是呈现出抛物线的形式.教学中我特意增加了“图象上的每一个点的横坐标、纵坐标分别表示什么含义?
”这一问题来启发学生,使他们认识到满足这个函数关系的点(h,t)一定在抛物线图象上,反之图象上的每一个点的横坐标、纵坐标分别是小球被抛出的时间与高度.
当学生理解了这个关系后,再引导学生观察图象上是否有已知的点,他们的注意力自然会去观察图象与x轴的交点(0,0)和(8,0),至此求h、t就转化为求解方程组的问题.
学生在此认识的基础上,教师再出示第3问,启发学生认识到物体落地表示高度h=0,对应图象上的点纵坐标为零,研究图象与x轴的两个交点,第二个交点的横坐标就是落地时的时间.
紧接着给出求出三个函数,,与x轴的交点,再画出它们的草图,教学中我组织开展了“比一比”这个活动,看谁解方程速度快?
看谁画图快?
在激发学生的学习积极性的同时,来训练学生运算能力和巩固对二次函数图象抛物线的认识.
随后的三个问题给出从观察图象开始,再用代数方法求三个方程的根,逐步引导学生体会二次函数与一元二次方程的对应关系,这个关系虽然是从最简单的情形入手,即图象与x轴的交点就是一元二次方程根的问题,但只要突破了这一学习难点,学生就会对二次函数与一元二次方程的对应关系恍然大悟,随后的学习他们就会更加有信心和兴趣了.
为了更加完整、系统的使学生明确二次函数与一元二次方程的对应关系,随后教学中设计了一个表格,教师再次组织学习小组进行讨论、交流、发言,目的是让学生完整建立本节课的认知结构,理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,及满足什么条件时方程有两个不等的实根,有两个相等的实根和没有实根;同时进一步培养学生合作交流、清晰表达的数学能力.最后通过练一练这个例题检测学生对知识的掌握和巩固.
实际教学效果:
由于教学设计体现出步步为营的战术特点,学生在小组成员的相互讨论中,在教师的引导启发下,不知不觉中完成了对新知识的学习理解.
第三环节教材题变形,拓展延伸
活动内容:
【例】一个足球被从地面向上踢出,它距地面的高度h(m)可以用公式来表示.其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间.
(1)当t=1时,足球的高度是多少?
(2)t为何值时,h最大?
(3)经过多长时间球落地?
(4)方程的根的实际意义是什么?
你能在图上表示吗?
(5)方程的根的实际意义是什么?
你能在图上表示吗?
解:
(1)t=1时,h=14.7
(2)∵∴当t=2时,h最大
(3)对于球落地表示h=0
即
解得t1=0(舍去),t2=4.
即足球被踢出后经过4s后球落地.
(4)方法一:
解方程得t1=0,t2=4
根t1=0,t2=4分别表示足球离开地面和落地的时刻
方法二:
直接观察抛物线与直线x轴的交点(0,0),(4,0)即可
图形表示方程的根就是抛物线与x轴的两个交点
(5)方法一:
解方程得t1=1,t2=3
方法二:
图象法,过点(0,14.7)作一条与y轴垂直的直线,找到它与抛物线的交点,再分别过交点作x轴的垂线,找出两个垂足的横坐标即可.
表明球被踢出1秒和3秒时,离地面的高度都是14.7秒
活动目的:
再次设计一个与教材例题相似的问题情景,给出一个以问题串的形式引导学生逐步深入的思考二次函数与一元二次方程的对应关系.前三问用提问的形式给出,经学生独立思考后答出.第四问引导学生观察到方程是函数的函数值h取0的情况,其实际意义就是足球的高度为零时时间所满足的关系.当然该方程的一个根就是足球落地的时间,而另一个根的实际含义就是足球刚被踢出时离地的那一刻.这是本节课的又一个难点,为了突破这个难点,教学中教师要耐心启发、引导,不断的设问、鼓励,力争由学生自己来揭示出来,体现出学生的主体性、主动性.在认识了第三问基础上,第四问的给出,鼓励学生用类比的思想方法去考虑,问题就会迎刃而解了.在肯定学生的思考同时,此时教师再提出一个问题:
我们用求一元二次方程的根来解决的问题,你能再用图象法解决这个问题吗?
启发学生用形的一面去考虑问题.目的是鼓励学生在学习上永不满足、勇于探索,同时再次强化学生认识到数学学习要有意识的养成从“数”“形”两方面去研究的思想方法.
以上四个问题串的设计,由易到难,一环紧扣一环,从认识一元二次方程的根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标,到理解一元二次方程的根就是二次函数与直线y=h(h是实数)图象交点的横坐标,这个体会感受的过程对于学生来说起初是模糊的,此时组织学生合作交流讨论,再由小组派代表发言,教师启发、引导学生将问题表达清楚.教学中引导学生用类比的方法来研究,即分解了学生学习上思维难点,又把学生思维逐步引向深处.
实际教学效果:
学生经过前一环节对二次函数与一元二次方程关系有了初步认识后,他们明白了一元二次方程的根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标,本环节前4个问题,作为对函数式求值、认识二次函数顶点式、理解抛物线图象的形成、及之前内容的巩固训练,是一道很好的练习,课堂教学中学生踊跃回答,气氛热烈.第4问虽然有些特别,但学生有了前面问题的理解认识,他们也可以说出方程的根就是抛物线与x轴的交点.但第5问给出后,学生静了下来.我知道他们虽然明白一些,但却不知如何表达?
特别是用图形来表示一元二次方程的根这个问题对于他们很陌生.此时正是教师发挥指点迷津的作用绝好时机,我马上指出前一问中h=0的几何意义是什么?
学生回答h=0表示直线x轴.那么h=14.7的几何意义又是什么呢?
他们恍然大悟,明白了方程的根的实际意义是抛物线与直线h=14.7的交点.5个问题一步步逐渐揭示出方程的根的实际意义,教师在这时再顺势提出更一般的问题:
一元二次方程的根的几何意义又是什么呢?
学生就不难理解一元二次方程的根就是二次函数与直线y=h(h是实数)图象交点的横坐标了.学生在课堂上有时热烈,有时安静,有时欲说还羞,有时又很满足,他们完全沉浸在数学探索、发现的乐趣中了.
第四环节开拓创新,试一试
活动内容:
在
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