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最新高中数学会考知识点总结53866优秀名师资料
高中数学会考知识点总结53866
数学学业水平复习知识点
第一章集合与简易逻辑
1、集合
(1)、定义:
某些指定的对象集在一起叫集合;集合中的每个对象叫集合的元素。
集合中的元素具有确定性、互异性和无序性;表示一个集合要用{}。
(2)、集合的表示法:
列举法()、描述法()、图示法();
(3)、集合的分类:
有限集、无限集和空集(记作,是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集);,,
(4)、元素a和集合A之间的关系:
a?
A,或aA;,
(5)、常用数集:
自然数集:
N;正整数集:
N;整数集:
Z;整数:
Z;有理数集:
Q;实数集:
R。
2、子集
(1)、定义:
A中的任何元素都属于B,则A叫B的子集;记作:
AB,,注意:
AB时,A有两种情况:
A,φ与A?
φ,
A,A,,,AA,B,B,CA,B,B,AA,C
(2)、性质:
?
、;?
、若,则;?
、若则A=B;
3、真子集
A,B
(1)、定义:
A是B的子集,且B中至少有一个元素不属于A;记作:
;
A,,,,,AA,B,B,CA,C
(2)、性质:
?
、;?
、若,则;
ACAU4、补集
?
、定义:
记作:
;CA,{x|x,U,且x,A}U
?
、性质:
;A:
CA,,,A:
CA,U,C(CA),AUUUU
5、交集与并集AB
(1)、交集:
A:
B,{x|x,A且x,B}
A:
A,A,A:
,,A:
B,BB,A性质:
?
、?
、若,则
(2)、并集:
A:
B,{x|x,A或x,B}A
B
A:
A,A,A:
,AA:
B,BA,B性质:
?
、?
、若,则
1
6、一元二次不等式的解法:
(二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系)
2判别式:
?
=b-4ac,,0,,0,,0
yy二次函数y
2f(x),ax,bx,c(a,0)Oxxx21xx的图象x=x12OO
一元二次方程有两相异实数根有两相等实数根没有实数根
b2xx,,,x,x(x,x)的根ax,bx,c,0(a,0)1212122a
b一元二次不等式R{x|x,,}{x|x,x,x,x}122a2的解集ax,bx,c,0(a,0)“,”取两边
一元二次不等式,,{x|x,x,x}12
2的解集ax,bx,c,0(a,0)“,”取中间
不等式解集的边界值是相应方程的解
22,含参数的不等式ax,bx,c>0恒成立问题含参不等式ax,bx,c>0的解集是R;其解答分a,0(验证bx,c>0是否恒成立)、a?
0(a<0且?
<0)两种情况。
7、绝对值不等式的解法:
(“,”取两边,“,”取中间)
|x|,a{x|x,,a,x,a}|x|,a{x|,a,x,a}a,0
(1)、当时,的解集是,的解集是
|ax,b|,c,ax,b,,c,ax,b,c|ax,b|,c,,c,ax,b,cc,0
(2)、当时,,
|x,3|,|2x,1|,2(3)、含两个绝对值的不等式:
零点分段讨论法:
例:
8、简易逻辑:
(1)命题:
可以判断真假的语句;逻辑联结词:
或、且、非;
简单命题:
不含逻辑联结词的命题;复合命题:
由简单命题与逻辑联结词构成的命题;三种形式:
p或q、p且q、非p;互逆逆命题原命题
判断复合命题真假:
若q则p若p则q
否互[1]、思路:
?
、确定复合命题的结构,逆为互互?
、判断构成复合命题的简单命题的真假,为逆否否互?
、利用真值表判断复合命题的真假;否
逆否命题否命题[2]、真值表:
p或q,同假为假,否则为真;,,,,q则p若若p则q互逆2
p且q,同真为真;非p,真假相反。
(2)、四种命题:
原命题:
若p则q;逆命题:
若q则p;
,,,,否命题:
若p则q;逆否命题:
若q则p;
互为逆否的两个命题是等价的。
原命题与它的逆否命题是等价命题。
(3)、反证法步骤:
假设结论不成立?
推出矛盾?
否定假设。
(4)、充分条件与必要条件:
若,则p叫q的充分条件;p,q
若,则p叫q的必要条件;p,q
若,则p叫q的充要条件;p,q
第二章函数
1、映射:
按照某种对应法则f,集合A中的任何一个元素,在B中都有唯一确定的元素和它对应,
a,A,b,B记作f:
A?
B,若,且元素a和元素b对应,那么b叫a的象,a叫b的原象。
2、函数:
(1)、定义:
设A,B是非空数集,若按某种确定的对应关系f,对于集合A中的任意一个数x,集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,就称f:
A?
B为集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),
(2)、函数的三要素:
定义域,值域,对应法则;自变量x的取值范围叫函数的定义域,函数值f(x)的范围叫函数的值域,定义域和值域都要用集合或区间表示;
(3)、函数的表示法常用:
解析法,列表法,图象法(画图象的三个步骤:
列表、描点、连线);(4)、区间:
满足不等式a,x,b的实数x的集合叫闭区间,表示为:
[a,b]满足不等式a,x,b的实数x的集合叫开区间,表示为:
(a,b)
a,x,ba,x,b满足不等式或的实数x的集合叫半开半闭区间,分别表示为:
[a,b)或(a,b];(5)、求定义域的一般方法:
?
、整式:
全体实数,例一次函数、二次函数的定义域为R;
1y,,0,0?
、分式:
分母,0次幂:
底数,例:
2,|3x|
2y,25,x,0?
、偶次根式:
被开方式,例:
1,0?
、对数:
真数,例:
y,log(1,)ax
|x|(6)、求值域的一般方法:
?
、图象观察法:
y,0.2
3
1?
、单调函数:
代入求值法:
y,log(3x,1),x,[,3]23
22y,,x,2x,2?
、二次函数:
配方法:
,y,x,4x,x,[1,5)
x?
、“一次”分式:
反函数法:
y,2x,1
2,sinx?
、“对称”分式:
分离常数法:
y,2,sinx
?
、换元法:
y,x,1,2x
(7)、求f(x)的一般方法:
3f(x,1),2f(x,1),2x,17?
、待定系数法:
一次函数f(x),且满足,求f(x)
112fx,,x,?
、配凑法:
求f(x)(),2xx
?
、换元法:
,求f(x)f(x,1),x,2x
12f(x),f(x),?
、解方程(方程组):
定义在(-1,0)?
(0,1)的函数f(x)满足,求f(x)x3、函数的单调性:
(1)、定义:
区间D上任意两个值,若时有,称为D上增函数;x,xx,xf(x),f(x)f(x)121212若时有,称为D上减函数。
(一致为增,不同为减)x,xf(x),f(x)f(x)1212
(2)、区间D叫函数的单调区间,单调区间定义域;,f(x)
(3)、判断单调性的一般步骤:
?
、设,?
、作差,?
、变形,?
、下结论
y,f[h(x)](4)、复合函数的单调性:
内外一致为增,内外不同为减;
1,1y,f(x)y,f(x)4、反函数:
函数的反函数为;函数和互为反函数;y,f(x)y,f(x)
1,1,1y,f(x)x,y反函数的求法:
?
、由,解出,?
、互换,写成,?
、写出x,f(y)y,f(x)y,f(x)
的定义域(即原函数的值域);
1y,f(x)反函数的性质:
函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域;y,f(x)
1y,f(x)函数的图象和它的反函数的图象关于直线y,x对称;y,f(x)
点(a,b)关于直线y,x的对称点为(b,a);
*5、指数及其运算性质:
(1)、如果一个数的n次方根等于a(),那么这个数叫a的n次方n,1,n,N根;
4
a(a,0),nnnnn叫根式,当n为奇数时,;当n为偶数时,a,aa,|a|,a,,a(a,0),
mm,1nmnn
(2)、分数指数幂:
正分数指数幂:
;负分数指数幂:
a,aa,m
na
0的正分数指数幂等于1,0的负分数指数幂没有意义(0的负数指数幂没有意义);
1rsr,srsrsrrrrra,0,b,0,r,s,Q(3)、运算性质:
当时:
,;a,aa,a,a,(a),a,(ab),ab
b6、对数及其运算性质:
(1)、定义:
如果,数b叫以a为底N的对数,记作,logN,ba,N(a,0,a,1)a其中a叫底数,N叫真数,以10为底叫常用对数:
记为lgN,以e=2.7182828„为底叫自然对数:
记为lnN
(2)、性质:
?
:
负数和零没有对数,?
、1的对数等于0:
,?
、底的对数等于1:
,log1,0loga,1aa
M?
、积的对数:
,商的对数:
,log(MN),logM,logNlog,logM,logNaaaaaaN
1nn幂的对数:
,方根的对数:
,logM,nlogMlogM,logMaaaan7、指数函数和对数函数的图象性质
函数指数函数对数函数
x定义a,0且a,1()y,logxa,0且a,1()y,aa
a>1010 xy=axy图象y=ayyyxy=loga (非奇非偶)x OO1x111y=logxaxxOO 定义域(-? ,+? )(-? ,+? )(0,+? )(0,+? ) 值域(0,+? )(0,+? )(-? ,+? )(-? ,+? )性单调性在(-? ,+? )在(-? ,+? )在(0,+? )在(0,+? ) 上是增函数上是减函数上是增函数上是减函数 函数值,0,x,1,0,x,1,1,x,0,1,x,0,,,, ,,,xxlogx,0,x,1logx,0,x,1a,1,x,0a,1,x,0,,,,aa变化,,,,,1,x,0,1,x,0,0,0,x,1,0,0,x,1,,,,质 5 0图定点过定点(1,0)? log1,0,? 过定点(0,1)? a,1,? a x图象? x,0,? 图象在y轴右边图象在x轴上方? a,0,? 象特征 x图象的图象与的图象关于直线对称y,xy,logxy,aa 关系 第三章数列 (一)、数列: (1)、定义: 按一定次序排列的一列数叫数列;每个数都叫数列的项; 数列是特殊的函数: 定义域: 正整数集(或它的有限子集{1,2,3,„,n}),N 值域: 数列本身,对应法则: 数列的通项公式; (2)、通项公式: 数列{}的第n项与n之间的函数关系式;例: 数列1,2,„,n的通项公式=naaannn n1 (1),,n,1,1,-1,1,-1,„,的通项公式=;0,1,0,1,0,„,的通项公式aa(,1)nn2(3)、递推公式: 已知数列{}的第一项,且任一项与它的前一项(或前几项)间的关系用一个aaannn,1 1a,,公式表示,这个公式叫递推公式;例: 数列{1}: ,,求数列{}的各项。 aaa,1nnn1an,1 ,aS(n1),11,S,a,a,a,? ,aa(4)、数列的前n项和: ;数列前n项和与通项的关系: n123nnS,S(n,2)nn,1, (二)、等差数列: (1)、定义: 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。 d (2)、通项公式: (其中首项是,公差是;整理后是关于n的一次函数),a,a,(n,1)dan11 ()na,a (1)nn,1n(3)、前n项和: 1(S,2.Snad(整理后是关于n的没有常数项的二次函数),,nn122 a,bAAbb(4)、等差中项: 如果,,成等差数列,那么叫做与的等差中项。 即: A,或2A,a,baa2[说明]: 在一个
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