因式分解法解一元二次方程典型例题文档格式.docx
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典型例题二
例用因式分解法解下列方程
6x2+3V3x=2层+76
把方程左边因式分解为:
(2x+73)(3x-72)=0
•••2x+応=0或3X-72=0
J3近
•-X1=-一,X2=一23
对于无理数系数的一元二次方程,若左边可分解为一次因式积的形式,均可用因式分解法求出方程的解。
典型例题三
例用因式分解法解下列方程。
2y=y+15
移项得:
2y2-y_15=0
把方程左边因式分解
得:
(2y+5)(y—3)=0
•••2y+5=0或y-3=0
53
…%=,y2=3.
在用因式分解法解一元二次方程时,一定要注意,把方程整理为一般式,如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积,而右边为零时,则可令
每一个一次因式都为零,得到两个一元一次方程,解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了。
典型例题四
(1)6x2-13x+2=0;
(2)3(2x+1)2-9(J3x-2)2=0;
分析:
一元二次方程化为一般形式后,在一般情况下,左边是一个二次三项式,右边是零•二次三项式,通常用因式分解的方法,可以分解成两个一次因式的积,从而可求出方程的根.但有些问题,可直接用因式分解法求解,例如
(2)符合平方差公式的结构特征.
(1)原方程可变形为
(6x-1)(x-2)=0,
6x-1=0或x-2=0,
_1_2
--X1-—,X2-2.
6
(2)原方程可化为
(273x+73)2_(373x_6)2=0,
即(273x+73+373x-6)(273x+73-373x+6)=0,
•(5応X-6)(73+6-73x)=0,
•5J3x+J3-6=0或73+6-73x=0,
2J3-119;
…X1=,X2=1+2^3.
5
因式分解将二次方程化为一次方程求解,起到了降次的作用.这种化未知为已知的解题思想,是数学中的“化归思想”.事实上,将多元方程组化为一
元方程,也是此法.
典型例题五
例用因式分解法解方程:
X2-5x-36=0;
2(2x—3)2-3(2x-3)=0;
(3)
(4)
分析:
x2-(2-272'
)x-3+272=0;
y2-(2U3+3V2)x+6J6=0.
用因式分解法解一元二次方程时,应将方程化为AB=0的形式,然
后通过A=0或B=0,求出Xi,X2.
(1)(X-9)(x+4)=0,
X-9=0或X+4=0.
/.%=9,X2=-4.
(2)(2x-3)(4x-6-3)=0,
即(2x-3)(4x-9)=0.
•••2x-3=0或4x-9=0,_3_9
■-X^2'
X^4.
(3)(x+1)X-(3-2血)]=0,
即x+1=0或x-(3-2J2)=0.
•-X1=—1,X2=3—2J2.
(4)(y-273)(y-372)=0,
即y-2U3=0或y-3^/2=0,
•••yi=2*Q,y2=3J2.
有些系数或常数是无理数的一元二次方程,只要熟悉无理数的分解方法,也可将之和因式分解法求解.
典型例题六
例用适当方法解下列方程:
(1)2x2-5=0;
2I
(2)5x2+2=2(1-x)-x(x-?
);
(3)2(x_3)2+2(x2-1)=4x+1;
2—
X-4V3X+10=0
(5)3x2-7x+4=0(用配方法)
(1)移项,得
2x2
方程两边都除以2,得
解这个方程,得
XT,
X1冷(帀,X2T皿
(2)展开,整理,得
4x+x=O.
方程可变形为
x(4x+1)=0
X=0或4x+1=0,
c1
X1=0,X2=—
4
4x2—16x+15=0,
(2x-3)(2x-5)=0
2x-3=0或2x—5=0
35
Xi=—,X2=—■
22
(4)va=1,b=/JS,c=10,
(5)
b2-4ac=(-4J3)2-4x1>
d0=8》0,
(5)移项,得
3x-7x=4,
274
X—一X=—一
33
配方,得
(x-2)(4x+1)+(x-1)(x-2)也不必展开整理成一般形式,因为方程两边都有,移
项后提取公因式,得(X-2)[(4x+1)-(X-1)]=0,用因式分解法求解,得
Xi=2,X2=--,对于这样的方程,一定注意不能把方程两边都除以(x-2),这
会丢掉一个根x=2.也就是方程两边不能除以含有未知数的整式.
典型例题七
例解关于x的方程20m2x2+11mnx-3n2=0(m^O)
解法一:
原方程可变形为
(5mx—n)(4mx+3n)=0
5mx-n=0或4mx+3n=0
•/mHO,
n3n
-11mn±
V36m2n2-11mn±
19mn
…x==
…X1=—,X2=--—.
5m4m
说明解字母系数方程时,除了要分清已知数和未知数,还要注意题目中给出的条件,要根据条件说明方程两边除以的代数式的值不等于零.
对于字母系数的一元二次方程同样可以有几种不同的解法,也要根据题目的
特点选用较简单的解法,本题的解法一显然比解法二要简单.
典型例题八
例已知m-2=1,试解关于x的方程mx(x-2)+2=(x+1)(x-1).
分析由m-2=1,容易得到m=3或m=1.整理关干x的方程,得
(m-1)x2-2mx+3=0.题目中没有指明这个方程是一元二次方程,因此对二次项系数要进行讨论,当m-1=0时,方程是一兀一次方程;
当m-1工0时,方程是一元二次方程。
由m-2=1,得
m-2=±
1,
m1=3,m2T.
整理mx(x-2)+2=(x+1)(x-1),得
(m—1)x—2mx+3=0.
当m=3时,原方程为2x2-6x+3=0,
解得
3+43
X1=—-一,X2
3-73
当m=1时,原方程为-2x+3=0,解得
X=-
当m=1时,X=—
填空题
3.
方程(2y+1)+3(2y+1)+2=0的解是
解答题
1•用因式分解法解下列方程:
(9)
x2+x=0;
(6)x2-2x-35=0;
X—7x+10=0;
(8)X+9x+18=0;
10x2-11x-6=0;
(1O)6x2+11x-7=0.
2.用因式分解法解下列方程:
(1)(x-3)(x+1)=5;
(2)14(x-4)2+9(x-4)-65=0;
(3)雋®
—5-,2,。
3.用因式分解法解下列关于X的一元二次方程:
(1)
X2+X-k2x=0;
(2)X2-2mx+m2-n2=0;
X2+3mx-54m2=0;
(4)15m2x2-17mx-18=0(mH0);
222
abx-(a+b)x+ab=0(abh0)
4.用适当的方法解下列方程:
5.
4x2-49=0;
(2)4x2-9x=0;
求这个三角形的周长.
答案:
(5)Xi
(9)Xi
2.
Xi
4.
=-2,X2=0;
=3
N,
(2)X,=3,X2=4;
X2-~5
(6)Xi
=-5,x2
(4)Xi=8,X2=
=7(7)Xi=2,
Xi=-2,
XlS,
3m,X2
X2
I(10)
41
7
X2=k2T
(2)
9(5)
5m
⑴xif,X2—2
Xi二,—7
(3)Xi,X2
b
Xi=-
a
(2)xi
X2=5(8)x-i
=m+n,X2=m-n(3)x1=6m,
X2
=O,
=一3,X2=—6
X2=-9m(4)
9
X2=-(3)Xi=2,X2=T
(4)Xi=26,
X2=—24(5)为J+輻,X2=—(6)为=75中^3,X2=J5-73
6.提示:
三角形两边之和大于第三边,三角形周长为4.5.
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- 因式 解法 一元 二次方程 典型 例题