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运筹学答案
《运筹学》作业
第2章
1.某公司计划生产两种产品,已知生产单位产品所需的三种原材料的消耗及所获的利润,如下表所示。
问应如何安排生产使该工厂获利最多?
(建立模型,并用图解法求解)
产品1
产品2
可用的材料数
原材料A
原材料B
原材料C
1
3
0
2
2
2
30
60
24
单位产品获利
40万元
50万元
解:
设产品1的产量为X,产品2的产量为Y,
O.B.MAX40X+50Y
S.T.X+2Y≤30
3X+2Y≤60
2Y≤24
X,Y≥0
由图可知A点即为本题的最优解,A点是约束条件直线与的交点,即同时满足下述方程的点:
X+2Y=30
3X+2Y=60得最优解为X=15,Y=7.5。
即产品1产量为15,产品2的产量为7.5时该工厂获利最多。
2.某公司计划生产两种产品,已知生产单位产品所需的两种原材料的消耗和人员需要及所获的利润,如下表所示。
问应如何安排生产使该工厂获利最多?
(建立模型,并用图解法求解)
产品1
产品2
可用的材料数
原材料A
原材料B
人时
1
0
3
0
2
2
4
12
24
单位产品获利
300万元
500万元
解:
设两种产品的产量分别为X.Y,则建立模型:
O.B.MAX300X+500Y
S.T.X≤4
2Y≤12
3X+2Y≤24
X,Y≥0
由上图可知本题唯一解为约束条件直线的交点,故应安排产品1产量为4,产品2产量为6工厂获利最多。
3.下表是一个线性规划模型的敏感性报告,根据其结果,回答下列问题:
1)是否愿意付出11元的加班费,让工人加班;
2)如果第二种家具的单位利润增加5元,生产计划如何变化?
MicrosoftExcel9.0敏感性报告
工作表[ex2-6.xls]Sheet1
报告的建立:
2001-8-611:
04:
02
可变单元格
终
递减
目标式
允许的
允许的
单元格
名字
值
成本
系数
增量
减量
$B$15
日产量(件)
100
20
60
1E+30
20
$C$15
日产量(件)
80
0
20
10
2.5
$D$15
日产量(件)
40
0
40
20
5.0
$E$15
日产量(件)
0
-2.0
30
2.0
1E+30
约束
终
阴影
约束
允许的
允许的
单元格
名字
值
价格
限制值
增量
减量
$G$6
劳动时间(小时/件)
400
8
400
25
100
$G$7
木材(单位/件)
600
4
600
200
50
$G$8
玻璃(单位/件)
800
0
1000
1E+30
200
解:
1)由敏感性报告可知,劳动时间的影子价格为8元,即在劳动时间的增量不超过25小时的条件下,每增加1小时劳动时间,该厂的利润将增加8元。
因此支付11元的加班费给工人是不值得的。
2)由敏感性报告可知,家具2的目标系数允许的增量为10,即当家具2的单位利润增加量不超过10元时,最优解不变。
因此,若家具2的单位利润从20元增加5元,该增加量在允许的增量范围内,这时,最优解不变。
四种家具的最优产量仍分别为100,80,40和0件。
最优值变为100*60+80*20+40*40+0*30+5*20=9300(元)
4某公司计划生产两种产品,已知生产单位产品所需的三种原材料的消耗及所获的利润,如下表所示。
问应如何安排生产使该工厂获利最多?
(建立模型,并用图解法求解)(20分)
产品1
产品2
可用的材料数
原材料A
原材料B
原材料C
0.6
0.4
0
0.5
0.1
0.4
12000
4000
6000
单位产品获利
25元
10元
解:
设两种产品的产量分别为X.Y,则建立模型:
O.B.MAX25X+10Y
S.T.0.6X+0.5Y≤12000
0.4X+0.1Y≤4000
0.4Y≤6000
X,Y≥0
由上图可知本题唯一解为约束条件直线的交点,即同时满足下述方程的点:
0.4X+0.1Y=4000
0.4Y=6000得最优解为X=6250,Y=15000。
即产品1产量为6250,产品2的产量为15000时该工厂获利最多。
5.下表是一个线性规划模型的敏感性报告,根据其结果,回答下列问题:
1)是否愿意付出11元的加班费,让工人加班;
2)如果工人的劳动时间变为402小时,日利润怎样变化?
3)如果第二种家具的单位利润增加5元,生产计划如何变化?
MicrosoftExcel9.0敏感性报告
工作表[ex2-6.xls]Sheet1
报告的建立:
2001-8-611:
04:
02
可变单元格
终
递减
目标式
允许的
允许的
单元格
名字
值
成本
系数
增量
减量
$B$15
日产量(件)
100
20
60
1E+30
20
$C$15
日产量(件)
80
0
20
10
2.5
$D$15
日产量(件)
40
0
40
20
5.0
$E$15
日产量(件)
0
-2.0
30
2.0
1E+30
约束
终
阴影
约束
允许的
允许的
单元格
名字
值
价格
限制值
增量
减量
$G$6
劳动时间(小时/件)
400
8
400
25
100
$G$7
木材(单位/件)
600
4
600
200
50
$G$8
玻璃(单位/件)
800
0
1000
1E+30
200
解:
1)由敏感性报告可知,劳动时间的影子价格为8元,即在劳动时间的增量不超过25小时的条件下,每增加1小时劳动时间,该厂的利润将增加8元。
因此支付11元的加班费给工人是不值得的。
2)由敏感性报告可知,劳动时间的影子价格为8元,即在劳动时间的增量不超过25小时的条件下,每增加1小时劳动时间,该厂的利润将增加8元。
因此,工人的劳动时间变为402小时增加2小时,该增加量在允许的增量范围内,这时,最优解不变。
四种家具的最优产量仍分别为100,80,40和0件。
最优值变为100*60+80*20+40*40+0*30+8*2=9216(元)
3)由敏感性报告可知,家具2的目标系数允许的增量为10,即当家具2的单位利润增加量不超过10元时,最优解不变。
因此,若家具2的单位利润从20元增加5元,该增加量在允许的增量范围内,这时,最优解不变。
四种家具的最优产量仍分别为100,80,40和0件。
最优值变为100*60+80*20+40*40+0*30+5*20=9300(元)
第3章
1.一公司开发出一种新产品,希望通过广告推向市场。
它准备用电视、报刊两种广告形式。
这两种广告的情况见下表。
要求至少30万人看到广告,要求电视广告数不少于8个,至少16万人看到电视广告。
应如何选择广告组合,使总费用最小(建立好模型即可,不用求解)。
媒体
可达消费者数
单位广告成本
媒体可提供的广告数
电视
2.3
1500
15
报刊
1.5
450
25
解:
设X,Y分别为电视和报刊投入的广告数,本题的目标是总费用最小,有题可知,
总费用=1500X+450Y
则可建立模型如下:
o.b.min1500X+450Y
s.t.2.3X+1.5Y≥300000
X≥8
2.3X≥160000
X≤15
Y≤25
X≥0
Y≥0
2.医院护士24小时值班,每次值班8小时。
不同时段需要的护士人数不等。
据统计:
序号
时段
最少人数
1
06—10
60
2
10—14
70
3
14—18
60
4
18—22
50
5
22—02
20
6
02—06
30
应如何安排值班,使护士需要量最小。
解:
设Xi为各个时段所安排护士值班数,则可建立模型如下:
o.b.minX1+X2+X3+X4+X5+X6
s.t.X1+X2≥70
X2+X3≥60
X3+X4≥50
X4+X5≥20
X5+X6≥30
Xi≥0,i=1,2,...6
第4章
1.对例4.5.1,如果三个工厂的供应量分别是:
150,200,80,两个用户的需求量不变.请重新建立模型,并求解.
解:
据题意,三个工厂的总供应量为150+200+80=430(吨),两个用户的总需求量为300+160=460(吨),可见这是一个供需不平衡问题,而且供应量大于需求量。
为了将本问题转化为供需平衡问题,添加一个虚节点,该节点的净出量为:
虚节点的净出量=-(所有“真实”节点的净流出量之和)
=-(430-460)
=30(吨)
这时,该虚节点是供应节点。
令从虚节点流入各真实节点所经过的边的单位流量费用为零;从虚节点流入各真实节点所经过的边的容量等于虚节点的净流出量,即30(吨);从各真实节点所经过的边的容量等于零。
本问题的Spreadsheet见下表
单位流量费用
至
工厂1
工厂2
工厂3
仓库1
仓库2
用户1
用户2
虚节点
工厂1
0
6
4
3
1
2.0
4.0
0
工厂2
10
0
10
1
1
10.0
9.0
0
工厂3
10
10
0
1
0.5
10.0
8.0
0
从
仓库1
1
1
0.5
0
1.2
6.0
1.0
0
仓库2
2
1
0.8
1
0
2.0
7.0
0
用户1
2
10
1
1
0.7
0.0
3.0
0
用户2
10
3
6
1
0.3
8.0
0.0
0
虚节点
0
0
0
0
0
0.0
0.0
0
总费用
流量
3990
至
工厂1
工厂2
工厂3
仓库1
仓库2
用户1
用户2
虚节点
总流出量
工厂1
0
0
0
20
130
0.0
0.0
0
150
工厂2
0
0
0
0
0
200.0
0.0
0
200
工厂3
0
0
0
80
0
0.0
0.0
0
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