烟台市学年高二上期末数学试题理含答案解析.docx

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烟台市学年高二上期末数学试题理含答案解析

2018-2019学年山东省烟台市高二（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题：

本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.

1．给出的四个命题，其中正确的是（　　）

A．∃x0∈R，x+2x0+2=0B．∀x∈N，x3＞c2

C．若x＞1，则x2＞1D．若a＞b，则a2＞b2

2．命题p：

若sinx＞siny，则x＞y；命题q：

x2+y2≥2xy，下列命题为假命题的是（　　）

A．p或qB．p且qC．qD．￢p

3．已知{a，b，c}是空间一个基底，则下列向量可以与向量=+，=﹣构成空间的另一个基底的是（　　）

A．B．C．D．+2

4．双曲线4x2﹣y2+64=0上一点P到它的一个焦点的距离等于1，那么点P到另一个焦点的距离等于（　　）

A．17B．16C．15D．13

5．已知向量=（﹣2，x，1），=（4，﹣2，x），若⊥，则实数x的值为（　　）

A．2B．﹣2C．8D．﹣8

6．方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是（　　）

A．0＜a≤1B．a＜1C．a≤1D．0＜a≤1或a＜0

7．过焦点在x轴上的椭圆+=1的右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点，若△AF1B的周长为20，则实数m的值为（　　）

A．5B．25C．10D．100

8．若空间向量=（1，﹣2，1），=（1，0，2），则下列向量可作为向量，所在平面的一个法向量的是（　　）

A．C．

9．在直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，AB=AC=2，AA′=3，AB⊥AC，E为棱B′C′的中点，F为侧棱CC′上一点，若CE⊥AF，则AF与平面ABB′A′所成的角的正切值为（　　）

A．3B．C．D．

10．已知椭圆C1：

（a＞b＞0）与双曲线C2：

x2﹣有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则椭圆C1的离心率为（　　）

A．e2=B．e2=C．e2=D．e2=

二、填空题：

本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11．命题“∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0”的否定是　　　　　　．

12．方程（t﹣2）x2+（3﹣t）y2=（t﹣2）（3﹣t）（t∈R）表示双曲线的充要条件是　　　　　　．

13．如图，点M是以F为焦点的抛物线x2=8y上一点，若∠MFy=60°，则|FM|=　　　　　　．

14．给出下列四个命题：

①如果两个命题互为逆否命题，那么它们的真假性相同；

②命题“若a，b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题为真命题；

③已知点A（﹣1，0），B（1，0），若|PA|﹣|PB|=2，则动点P的轨迹为双曲线的一支；

④对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若=x+y+z，则x+y+z=1是四点P，A，B，C共面的充要条件．

其中所有正确的命题的序号为　　　　　　．

15．如图，P是二面角α﹣AB﹣β棱AB上的一点，分别在α，β上引射线PM，PN，如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，那么二面角α﹣AB﹣β的大小是　　　　　　．

三、解答题：

本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤

16．设a为实数，给出命题p：

关于x的不等式（）|x﹣1|≥a的解集为Ф，命题q：

函数f（x）=的定义域为R，若命题“p∨q”为真，“p∧q为假”，求a的取值范围．

17．已知双曲线x2﹣=1，过点P（1，1）能否做一条直线l，与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？

若能，求出直线l的方程，若不能，说明理由．

18．如图所示的四面体OABC中，OA=OB=OC=a，∠AOB=90°，∠BOC=∠AOC=60°，点M，N分别是AB，OC的中点，点S是MN上靠近点N的三等分点．

（1）试用，，表示；

（2）求异面直线CM和BN所成角的余弦值．

19．已知顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线C过点（2，﹣2）．

（1）求抛物线C的方程；

（2）若抛物线C与过点P（0，﹣1）的直线l相交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA和OB的斜率之和为2，求直线l的方程．

20．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，点E，F分别是棱BC，CD上的动点．

（1）当BE=CF时，求证：

B′F⊥D′E；

（2）若点E为BC的中点，在棱CD上是否存在点F，使二面角C′﹣EF﹣C的余弦值为？

若存在，请确定点F的位置，若不存在，说明理由．

21．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，点（0，）是椭圆与y轴的一个交点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线x=2与椭圆交于P，Q两点，P点位于是第一象限，A，B是椭圆上位于直线x=2两侧的动点；

①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的取值范围；

②当点A，B在椭圆上运动，且满足∠APQ=∠BPQ时，直线AB的斜率是否为定值？

若是，求出此定值，若不是，说明理由．

2018-2019学年山东省烟台市高二（上）期末数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：

本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.

1．给出的四个命题，其中正确的是（　　）

A．∃x0∈R，x+2x0+2=0B．∀x∈N，x3＞c2

C．若x＞1，则x2＞1D．若a＞b，则a2＞b2

【分析】分别判断选项，即可得到答案．

【解答】解：

对于A，△=4﹣4×2＜0，方程无解，故A不正确，

对于B，当x=1，2时即不成立，故B不正确，

对于C，若x＞1，则x2＞1，正确，故C正确，

对于D，当a=1，b=﹣2时不成立，故D不正确，

故选：

C．

【点评】本题考查命题的真假判断与应用，属于基础题．

2．命题p：

若sinx＞siny，则x＞y；命题q：

x2+y2≥2xy，下列命题为假命题的是（　　）

A．p或qB．p且qC．qD．￢p

【分析】根据正弦函数的图象即可判断出sinx＞siny时，不一定得到x＞y，所以说命题p是假命题，而根据基本不等式即可判断出命题q为真命题，然后根据￢p，p或q，p且q的真假和p，q真假的关系即可找出正确选项．

【解答】解：

x=，y=π，满足sinx＞siny，但x＜y；

∴命题p是假命题；

x2+y2≥2xy，这是基本不等式；

∴命题q是真命题；

∴p或q为真命题，p且q为假命题，q是真命题，￢p是真命题；

∴是假命题的是B．

故选B．

【点评】考查正弦函数的图象，能够取特殊角以说明命题p是假命题，熟悉基本不等式：

a2+b2≥2ab，a=b时取“=”，以及￢p，p或q，p且q的真假和p，q真假的关系．

3．已知{a，b，c}是空间一个基底，则下列向量可以与向量=+，=﹣构成空间的另一个基底的是（　　）

A．B．C．D．+2

【分析】根据空间向量的一组基底是：

任意两个不共线，且不为零向量，三个向量不共面，即可判断出结论．

【解答】解：

由题意和空间向量的共面定理，

结合向量+=（+）+（﹣）=2，

得与、是共面向量，

同理与、是共面向量，

所以与不能与、构成空间的一个基底；

又与和不共面，

所以与、构成空间的一个基底．

故选：

C．

【点评】本题考查了空间向量的共面定理与应用问题，是基础题．

4．双曲线4x2﹣y2+64=0上一点P到它的一个焦点的距离等于1，那么点P到另一个焦点的距离等于（　　）

A．17B．16C．15D．13

【分析】先把双曲线方程转化为标准方程，求出a，再由已知条件，利用双曲线的定义能求出结果．

【解答】解：

∵双曲线4x2﹣y2+64=0，

∴双曲线的标准方程是，

∴a=8，c=4，

双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于1，

设点P到另一个焦点的距离为x，

则由双曲线定义知：

|x﹣1|=16，

解得x=17，或x=﹣15（舍）．

∴点P到另一个焦点的距离是17．

故选：

A．

【点评】本题考查双曲线上一点到焦点距离的求法，是基础题，解题时要熟练掌握双曲线性质．

5．已知向量=（﹣2，x，1），=（4，﹣2，x），若⊥，则实数x的值为（　　）

A．2B．﹣2C．8D．﹣8

【分析】根据向量⊥，得出=0，列出方程求出x的值．

【解答】解：

向量=（﹣2，x，1），=（4，﹣2，x），

且⊥，

所以=﹣2×4﹣2x+x=0，

解得x=﹣8．

故选：

D．

【点评】本题考查了两向量垂直，它们的数量积等于0的应用问题，是基础题．

6．方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是（　　）

A．0＜a≤1B．a＜1C．a≤1D．0＜a≤1或a＜0

【分析】首先，对二次项系数分为0和不为0两种情况讨论，然后在二次项系数不为0时，分两根一正一负和两根均为负值两种情况，最后将两种情况综合在一起找到a所满足的条件a≤1，再利用上述过程可逆，就可以下结论充要条件是a≤1．

【解答】解：

①a≠0时，显然方程没有等于零的根．

若方程有两异号实根，则由两根之积小于0可得a＜0；

若方程有两个负的实根，则必有，故0＜a≤1．

②若a=0时，可得x=﹣也适合题意．

综上知，若方程至少有一个负实根，则a≤1．

反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根，

因此，关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一负的实根的充要条件是a≤1．

故选C．

【点评】本题主要考查一个一元二次根的分布问题，属于中档题．在二次项系数不确定的情况下，注意一定要分二次项系数分为0和不为0两种情况讨论．

7．过焦点在x轴上的椭圆+=1的右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点，若△AF1B的周长为20，则实数m的值为（　　）

A．5B．25C．10D．100

【分析】由题意可得椭圆的a=，由椭圆的定义可得AF1+AF2=BF1+BF2=2a，可得△AF1B的周长为4a，解方程可得m．

【解答】解：

由题意可得椭圆+=1的a=，b=4，

由椭圆的定义可得AF1+AF2=BF1+BF2=2a，

即有△AF1B的周长为AB+AF1+AF2=AF1+AF2+BF1+BF2=4a，

由4=20，解得m=25．

故选：

B．

【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆定义法的运用，考查运算能力，属于基础题．

8．若空间向量=（1，﹣2，1），=（1，0，2），则下列向量可作为向量，所在平面的一个法向量的是（　　）

A．C．

【分析】设向量，所在平面的一个法向量为，则，列出方程组求出的一个值即可判断出结果．

【解答】解：

设向量，所在平面的一个法向量为