六年级下册数学试题思维能力提升第6讲燕尾模型解析版全国通用Word文档下载推荐.docx

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【答案】13:

16

5.【J5A5B5】如图，三角形ABC中，BD：

DC=3:

5，E为AD中点，且S∆ABC=32，求S∆CDE.

E

【答案】10

3

（2）如图所示，三角形ABE的面积是35，三角形ACE的面积是28，三角形CDE的面积是16，求三角形BDE

的面积.

【答案】

（1）6;

（2）20.

【解析】

（1）根据风筝模型对角面积乘积相等可得：

S∆BDE=15⨯8÷

20=6,

（2）法一：

根据等高模型，S∆BDE:

S∆ABE=DE:

AE=S∆CDE:

S∆ACE=16:

28=4:

7,所以S∆BDE=35÷

7⨯4=20.

S∆BDEDES∆CDE

法二：

因为==，所以可以得到类似风筝模型的结论，对角面积乘积相等，即

S∆ABEAES∆ACE

S∆BDE⨯S∆ACE=S∆ABE⨯S∆CDE，所以S∆BDE=35⨯16÷

28=20.

.

2.【J2A2B2】如图（1-4），S1，S2，S3分别代表△AOB，△BOC，△COA的面积，其他数代表所对应线段的长度，则S1:

S2=，S2:

S3=，S3:

S1=，CD:

BD=.

CCCC

33

EODESS3SSD

223O

44O

S1OS1

A5F3BABA5F3BAB

图

（1）图

（2）图（3）图（4）

【答案】4:

33:

55:

45:

4

【解析】根据翅膀面积比等于尾巴上的底边之比，可得：

S1:

S2=AE:

CE=4:

3;

S2:

S3=BF:

AF=3:

5;

所以

S1:

S3=4:

3:

5，所以S3:

S1=5:

4；

CD:

BD=S3:

4.

3.【J2LA2LB2L】如图，已知∆ABD的面积是15，∆ACD的面积是20，∆BCD的面积是14.

（1）求BE：

EC；

（2）∆CDE的面积是多少？

（3）求AD：

DE.

模块二：

构造燕尾模型

5.【J4A4B4】如图，三角形ABC被线段AD、BE分成了4个部分，AE:

EC=1:

2，CD:

DB=1:

2；

已知三角形AOE的面积是1.

（1）三角形ABC的面积是多少？

（2）四边形CDOE的面积是多少？

[构造燕尾]★★

D

14

BC

【答案】

（1）3:

4;

（2）8;

（3）5:

2;

（1）根据燕尾模型的翅膀面积比等于尾巴上的底边之比，可得BE:

EC==15:

20=3:

4；

（2）根据等高模型，S=14⨯4=8；

∆CDE3+4

（3）法一：

根据等高模型，AD:

DE=S∆ACD:

S∆CDE=20:

8=5:

2

在燕尾模型中，有：

翅膀面积和比尾巴面积等于前杆：

后杆，所以可以得到

AD:

DE=（S∆ABD+S∆ACD）:

S∆BCD=（15+20）:

14=5:

2.

4.【J3A3B3】如图，∆ABC中，BD:

DC=5:

4,AE:

EC=3:

2,求AF：

BF.

EOD

AFB

【答案】6:

5

【解析】法一：

根据燕尾模型有S∆ABO:

S∆ACO=BD:

DC=5:

4=15:

12,

S∆ABO:

S∆BCO=AE:

EC=3:

2=15:

10,

（△ABO的面积要统一，所以找最小公倍数）所以AF:

BF=S∆ACO:

S∆BCO=12:

10=6:

5.

标份数，S∆ABO:

4，所以假设S∆ABO为5份，则S∆ACO为4份，又因为

S:

S=AE:

2，所以S为5÷

3⨯2=10份，所以

∆ABO∆BCO∆BCO3

AF:

BF=S:

S=10=12:

10=12:

10=6:

5

∆ACO∆BCO4:

333

AFBDCEAF52AF6

法三：

根据塞瓦定理，可知⨯⨯=1，即⨯⨯=1，解得=，所以AF:

BF=6:

5.

BFCDAEBF43BF5

5

1E

O

（1）21;

（2）6

（1）如图，连接OC，则图中将会出现燕尾模型.

61E

O2

12

根据等高模型可知三角形COE的面积是2，故三角形AOC的面积为3；

在燕尾ABOC中，

S△AOB=BD=2，故三角形AOB的面积为3⨯2=6；

在燕尾ABCO中，S△BOC=EC=2，故

S△AOCDC1S△AOBEA1

三角形BOC的面积为6⨯2=12；

故三角形ABC的面积为3+6+12=21.

（2）因为S:

S=BD:

CD=2:

1，所以S=12⨯1=4，所以四边形CDOE面积是4+2=6.

∆BOD∆COD∆COD1+2

6.【A4LB4L】如图，三角形ABC的面积是1，CD=2DB，CE=3EA，AD与BE相交于点O，请问四边形CDOE的面积是多少？

7

【解析】如图，连接OC，则图中将会出现燕尾模型.

23

24

观察可以发现三角形AOE应当是面积最小的三角形，设其面积为1份，则根据等高模型可知

S△AOBBD1

三角形COE的面积是3份，故三角形AOC的面积为4份；

在燕尾ABOC中，S=DC=2，

△AOC

6

S△BOCEC3

故三角形AOB的面积为4÷

2=2份；

在燕尾ABCO中，S=EA=1，故三角形BOC的面

△AOB

积为2⨯3=6份；

在三角形BOC中，由等高模型可知三角形BOD和三角形COD的面积比为1:

2，

故S=6⨯1=2份，S=6⨯2=4份.

△BOD1+2△COD1+2

所以三角形ABC的面积为1+3+2+2+4=12份.故S=1⨯（3+4）=7.

CDOE1212

教学提示：

可以先提示学生设△AOE面积为1份.

7.【J4L】如图，三角形ABC的面积是24，CD=2DB，CE=3EA，AD与BE相交于点O，请问四边形CDOE的面积是多少？

【答案】14

所以三角形ABC的面积为1+3+2+2+4=12份.每一份是24÷

12=2，故

SCDOE=24÷

12⨯（3+4）=14.

8.【J5A5】如图，在长方形ABCD中连接DF和BE，已知DE:

EC=1:

3,BF:

FC=2:

1,三角形DEG面积为1，求四边形CEGF的面积.

[构造燕尾]★★★

模块三：

复合燕尾模型

9.【B】如图，正三角形ABC面积为7，点D，E，F分别是边BC，CA，AB的三等分点，即BD=1BC，

53

CE=1CA，AF=1AB，求阴影三角形GHI的面积.

FI

GH

【答案】1

AD

BFC

【答案】11

【解析】连接BD，构造燕尾模型.

根据比例模型可知S∆EGC=3，根据燕尾模型DBGC，S∆DBG:

S∆DGC=BF:

FC=2:

1，可知

S∆DBG=8，再由燕尾模型DBCG，S∆DBG:

S∆BCG=DE:

3，可知S∆BCG=24，在三角形

BCG中，根据比例模型，三角形CFG的面积为124=8，所以四边形CEGF的面积是8+3=11

【教学提示】尖子班例题没有出现长方形中的燕尾模型，作业中有，老师可以自行补充一下怎么构造辅助线.

G

【解析】连接CG，构造三燕尾模型ABC-G，设△BCG面积为1份，

根据燕尾模型ABCG，S∆ABG:

S∆BCG=AE:

EC=2:

1，所以△ABG面积为2份，根据燕尾模型BACG，S∆ABG:

S∆ACG=BD:

DC=1:

2，可得△ACG面积为4份，整个△ABC的面积为1+2+4=7份，所以△ABG面积为2.

同理可知△BCH，△CAI面积也都是2，所以阴影三角形GHI的面积为7-2⨯3=1.

10.【B6】如图，在三角形ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB上的点，AD、BE、CF相交于一点O，这样三角形ABC被分成6个三角形，其中4个三角形的面积已经给出，请问：

（1）图中有多少对面积的比值等于AE:

CE以及BD:

CD的三角形，请找出至少两对；

（2）三角形ABC的面积是多少？

F84

OE

35

4030

（1）AE:

CE=S∆AOE:

S∆COE=S∆ABO:

S∆CBO=S∆ABE:

S∆CBEBD:

CD=S∆ABO:

S∆ACO=S∆ABD:

S∆ACD=S∆BOD:

S∆COD

（2）315

（1）略

设S△AOE=x，S△BOF=y，根据燕尾模型有方程组

⎧⎪⎨（x+35）:

（84+y）=30:

40（燕尾ABOC）化简为整式方程组：

⎧⎨4x-3y=112，解得

⎪⎩（y+84）:

（40+30）=x:

35（燕尾ABCO）⎪⎩2x-y=84

⎧⎨x=70，故总面积为84+56+40+30+35+70=315.

⎪⎩y=56

议用）

题中△AOF面积为84的条件是多给的，如果没有此条件，也可设△AOE面积为x，由于

S∆ABO=BO=S∆BCO=40+30=2:

1，所以△ABO面积为2x，根据燕尾模型CABO，可列方程

S∆AEOEOS∆CEO35

2x:

（x+35）=40:

30，所以x=70，△ABC面积为40+30+35+70+140=315.再用一次燕尾模型BCAO也可求出△AOF，△BOF的面积.

（备注：

这个方法太麻烦，不建

9

本讲巩固

1.【J1A1B1】如图所示，三角形ABE的面积是15，三角形ACE的面积是12，三角形BDE的面积是10，求三角形CDE的面积.

笔记整理

燕尾模型：

a

bS1

S2

结论：

S:

S=a:

b或S1=a

12Sb

三燕尾模型：

EODS3S2

S1

S∆AOFAFS3

其中的关键是先求出S1:

S3，这样就有S=BF=S，其余类似，这样就可以分别求出六个小三角

∆BOF2

形的面积.

法二：

S∆AOB:

S∆AOE=BO:

OE=S∆BCO:

S∆EOC=（40+30）:

35=2:

1=4:

2，又因为

S∆AOB:

S∆AOC=BD:

CD=40:

30=4:

3，所以可以设S∆AOB为4份，则S∆AOE为2份，S∆AOC为3份，也就是S∆EOC为1份，是35.所以S∆AOB=35⨯4=140，S∆AOC=3⨯35=105，所以S∆ABC=140+105+40+30=315.

10

【答案】8.

【解析】法一：

根据等高模型，S∆CDE:

S∆ACE=DE:

AE=S∆BDE:

S∆ABE=10:

15=2:

3,所以

S∆CDE=12÷

3⨯2=8.

S∆BDE⨯S∆ACE=S∆ABE⨯S∆CDE，所以S∆CDE=12⨯10÷

15=8.

2.【J2A2B2】如图，三角形ABC中，BD=2，DC=3，CE=5，EA=3.S∆ABG:

S∆ACG=:

，

S∆ABG:

S∆BCG=:

，S∆ACG:

，AF：

BF=:

；

[燕尾模型的直接应用]★★

FG

B2D3C

【答案】2:

3;

3:

5;

9:

10;

【解析】S∆ABG:

3，S∆ABG:

5，将它们化为S∆ABG:

S∆ACG=6:

9，

S∆BCG=6:

10，S∆ACG:

S∆BCG=9:

10，AF：

BF=S∆ACG:

S∆BCG=9:

10.

3.【J3A3B3】如图，∆ABC中，CD:

BD=3:

4,点F为AB边上的中点,求AE：

EC.

【答案】4:

3

【解析】根据燕尾模型有S∆ACO:

S∆ABO=CD:

4,因为F是中点，所以AF:

FB=1:

1，S∆ACO:

S∆BCO=AF:

BF=1:

1=3:

3（△ACO的面积要统一，所以找最小公倍数），所以AE:

EC=S∆ABO:

S∆BCO=4:

3.

11

4.【J4】如图，三角形ABC被线段AD、BE分成了4个部分，AE:

5，DB:

CD=3:

已知三角形AOE的面积是8,三角形ABC的面积是多少？

【答案】175

8E

4220

105

根据等高模型可知三角形COE的面积是8÷

2⨯5=20，故三角形AOC的面积为28；

S△AOB=BD=3，故三角形AOB的面积为28÷

2⨯3=42；

在燕尾ABCO中，S△AOB=AE=2，

S△AOCDC2S△BOCEC5

故三角形BOC的面积为42÷

2⨯5=105；

故三角形ABC的面积为42+8+20+105=175.

5.【J5】如图，三角形ABC被线段AD、BE分成了4个部分，AE:

2，DB:

已知三角形AOE的面积是10,四边形CDOE的面积是多少？

【答案】56

10E

4520

5436

根据等高模型可知三角形COE的面积是10÷

1⨯2=20，故三角形AOC的面积为30；

S△AOB=BD=3，故三角形AOB的面积为30÷

2⨯3=45；

在燕尾ABCO中，S△AOB=AE=1，

S△AOCDC2S△BOCEC2

故三角形BOC的面积为45÷

1⨯2=90；

根据等高模型，S∆BOD:

S∆COD=BD:

2，所以

S∆COD=90÷

（3+2）⨯2=36,所以四边形CDOE的面积是20+36=56.

6.【A4B4】如图，三角形ABC被线段AD、BE分成了4个部分，AE:

已知三角形AOE的面积是8,

（1）三角形ABC的面积是多少？

（1）175;

（2）62

13

AA

8E8E

42204220

OO

10542

BDCBDC

（1）故三角形ABC的面积为42+8+20+105=175.

（2）根据等高模型，S∆BOD:

2，所以S∆COD=105÷

（3+2）⨯2=42,所以四边形CDOE

的面积是42+20=62.

7.【A5B5】如图，在长方形ABCD中连接DF和BE，已知DE:

4,BF:

1,三角形DGE面积为1，求长方形ABCD的面积.

【答案】110

【解析】连接BD与GC,构造燕尾模型.

55G1

104

40

复习巩固

1.【J1A1】甲乙两人原有的钱数之比为2:

3，后来甲又得到60元，乙也得到60元，这时甲、乙钱数之比为5:

7，求原来两人的钱数之和为多少?

【答案】600元

【解析】前后甲、乙的钱数差不变，开始甲:

乙=2:

3=4:

6，之后甲:

乙=5:

7，也就是说增加的60元，占

根据比例模型可知S∆DGE=1，根据等高模型，S∆DGE:

S∆CGE=DE:

CE=1:

4,可知三角形CGE的面积

S△DGBBF2

是4，故三角形DGC的面积为5；

在燕尾DBGC中，S=FC=1，故三角DGB的面积为

△DGC

S△DGBDE1

5÷

1⨯2=10；

在燕尾DBGC中，S=EC=4，故三角形CGB的面积为10÷

1⨯4=40；

△CGB

三角形BCD的面积为1+4+10+40=55，所以长方形的面积为55⨯2=110.

8.【B】如图，正三角形ABC面积为13，点D，E，F分别是边BC，CA，AB的三等分点，即BD=1BC，

64

44

1，所以△ABG面积为3份，根据燕尾模型BACG，S∆ABG:

3，可得△ACG面积