10曲线积分和曲面积分习题与答案Word下载.docx
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4)qL(x2—2xy)dx+(y2—2xy)dy,其中L是y=x2上从点(-1,
1)至^(1,1)的一
段弧
3、利用格林公式,计算下列曲线积分
qL(2x—y+4)dx+(5y+3x-6)dy,其中L为三顶点分别为(0,
0)(3,0)和(3,
2)的三角形正向边界
qL(x2ycosx+2xysinx-y2ex)d^(x2sinx-2yeX)dy,其中
222
X3+y3=a3(a>
0)
L为正向星形线
JL(2xy3-y2cosx)dx+(1-2ysinx+3x2y2)dy,其中L为抛物线2x=呵2上由(0,
0)到(巴,1)的一段弧
2
4、验证下列P(X,y)dx+Q(x,y)dy在整个xoy面内是某个u(x,y)的全微分,并求这样的
u(x,y)
1)(X+2y)dx+(2x+y)dy
2)(2xcosy+y2cosx)dx+(2ysinx-x2siny)dy
5、计算下列对面积的曲面积分
1)H(2x+4y+z)ds,其中送为平面△+Y+-=1在第一卦限中的部分±
3234
2Hf(xy中yz+xz)ds,其中艺为锥面z=Jx2中y2被柱面x2中y2=2ax所截得的有限
部分
6、计算下列对坐标的曲面积分
1)ffxy2zdxdy,其中S是球面x2+y2+z2=R2的下半部分的下侧t
2)FJxzdxdy+xydydz+yzdzdx其中S是平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1围成区Z
域的整个边界曲面的外侧
7、利用高斯公式计算曲面积分
q;
Jx3dydz+y3dzdx+z3dxdy,其中送为球面x2+y2+z2=a2的外侧Z
啊xdydz+ydzdx+zdxdy,其中S为界于z=0,z=3之间的圆柱体x2+y2<
9的
Z
整个表面的外侧
求下列向量的散度
A=(x2+yz)i+(y2+xz)j+(z2+xy)k
9、求下列向量场A的旋度
1)A=(2z-3y)i+(3x-z)j+(y-2x)k
2)A=(z+siny)i—(z—xcosy)j
(B)
1、一段铁丝成半圆形y=Ja2-X2,其上任一点处的线密度的大小等于该点的纵坐标,
1)的弧段.
把JNyzd%zd+yxzd化成对弧长的曲线积分,其中『为
23
x=t,y=t,z=t(OEtE1)—段弧.
4、求心形线X=2acost-acos2t,y=2asint-asin2t所围图形的面积.
求jL(y2eX+3X2+2xy+y2)dx+(2yeX+X2+2xy—3y2)dy,其中:
L为
y=Jl-x2从A(1,0)到B(0,1).
6、
把JJPdydz+Qdzdx+Rdxdy化为对面积的曲面积分,其中
I是平面x-2y+3z=6在第二卦限部分上侧
E是z=Ja2-x2-y2上侧
JJ(x2-yz)dydz+(y2-zx)dzdx+2zdxdy其中邑为锥面z=1-Jx2+y2(z>
0)的
上侧.
(C)
1、计算I=qL(y-z)dx+(z-x)dy+(x-y)dz,其中:
L:
x
La
(1)R为何值时
(2)
3、计算I=JJ[f(x,y,z)+xdydz+2f(x,y,z)+ydzdx+[f(x,y,z)+z]dxdy,其中:
I
f(X,y,z)连续,I:
为x-y+z=1在第w卦限部分的上侧.
习题答案
1、1)2兀a2r^
2)右(5^5+672-1)
(3)9
232
(4)2兀2a3(1+2花2)
2、1)
56
15
2)
14
4)—15
3、1)12
2)0
兀2
3)7
4、1)1x2
+2xy+丹2
2)y2sirx+x2co申
5、1)4寸61
2)詁a4
、唸
1勰72)8
12
7、1)牙兀a52)81兀
1)divA=2x+2y+2z
9、1)rotA=2i+4j+6k
2)rotAi+j
1提示:
m=fLyds=2a2,L:
y=Ja2-x2,上半圆
2a2
2、提示:
y=X,y‘=2x,tana=2x,cosa=
J1+4x
2x
2,sin—
J1+4x2
jLX2ydx-xdy=Jl(x2^^==—x?
j1+4xj1+4x
3、提示:
=t,y=t2,Z=t3,x:
=1,y:
=2t,z/=3t2,
4、
2t
cosa=〒一,cosP=〒j一,cosY=
J1+4t2+9t4J1+4t2+9t4
F,,,xy^2ty^3t2xz
Jpxyzdx+yzdy+xzdz=f
J1+4t2+9t4
3t3
j1+4t2+9t4
6xyz
12
s=3qLxdy-ydx=6阳
1
5、连OA,OB,(O(0,0)),使OA,OB,L构成一圆周,
4
T于是勺T
川一-一)db=0exdy
而IOAJ03x2dx=1,Joe=J0(-3y2)dy=-1,”"
.
=-1
1^2
1)h=《-2,3?
cosa=-;
=,cosP=-^,cosY
1J7=(Pcosa+QcosP+RcosY)ds=〒YJ1
川P-2Q+3R)ds
-x
zja2-x2-y2
zy
z
cos。
=i
iJx2+y2+z2Jx2+y2+z2Jx2+y2+z2
Ji(今+Qy+Rz
I1V
工Vx2+y2+z2
ds。
7、设工1
[x中y—1下侧,则工+h
iz=0
构成闭曲面,
于是:
川(2x+2y+z)dv=
Q
,而
=—jIo
3
Cosa
E
ex
22
y—z
cosP
22z-x
cosY
cz
-y
ds,
x2
h=G,1,l}cosa=cosP=cosY
二仃=士川―2y-2z-2x-2y-2x-2z)ds"
V3y
:
x=acost
0<
t<
2兀,
\z=h(1-cost)
1解:
参数方程为/y=asint
\=[兀{acos—h(1-c0s)][—asin)+lh(1-cos)-asirtbeos+a(cots-sirt)hsirtbt=-2旳(a+h)
另解:
用stokes公式:
\=-2JJdydz+dzdx+dxdy=-2JJ(cos。
+cosP+cosY)ds,
II
h=仁0s,c0s,c0s}=a,0,J…>
2、解:
匕還埒…罟-3x2卩昨
2兀R22R
=3[d0[(1-r)rdr=3iR(1,
/.
(1)R=盪时1=0,
(2)1'
=6兀叫1-R2)=0,R=1,
3、解:
平面邑的法向量h=《,—1,1},
111
则cosa=,cosP=--,cosY=,
漿43柜
/.I=JJf(X,y,z)+x]—寺2f(x,y,z)+y]+-^f(x,y,z)+zljds
111川X-y十z)ds=丁JJds=丁Jjy3dxdy=EU3EV3DXy2
xy2
2)divA=ye-XSinxy)-2xzsirxZ)
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- 10 曲线 积分 曲面 习题 答案
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