数学思想与方法模拟考试题及答案Word格式文档下载.docx

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这种类比可靠性较差，结论具有很大的或然性。

②例如，从

类比出

是错误的，而类比出

在数列极限存在的条件下是正确的。

③又如，由三角形内角平分线性质，类比得到三角形外角平分线性质，就是一种结构上的类比。

5．数学思想方法教学为什么要遵循循序渐进原则？

试举例说明。

①数学思想方法的形成难于知识的理解和一般技能的掌握，它需要学生深入理解事物之间的本质联系。

②学生对每种数学思想方法的认识都是在反复理解和运用中形成的，是从个别到一般，从具体到抽象，从感性到理性，从低级到高级的沿着螺旋式方向上升的。

③例如，学生理解数形结合方法可从小学的画示意图找数量关系着手孕育；

在学习数轴时，要求学生会借助数轴来表示相反数、绝对值、比较有理数的大小等。

模拟题二

一、填空题（每题3分，共30分）

1．在数学中建立公理体系最早的是几何学，而这方面的代表着作是古希腊欧几里得的（《几何原本》）。

2．随机现象的特点是（在一定条件下，可能发生某种结果，也可能不发生某种结果）。

3．演绎法与（归纳法）被认为是理性思维中两种最重要的推理方法。

4．在化归过程中应遵循的原则是（简单化原则、熟悉化原则、和谐化原则）是联系数学知识与数学能力的纽带，是数学科学的灵魂，它对发展学生的数学能力，提高学生的思维品质都具有十分重要的作用。

6．三段论是演绎推理的主要形式，它由（大前提、小前提、结论）三部分组成。

7．传统数学教学只注重（形式化数学知识）的传授，而忽略对知识发生过程中（数学思想方法）的挖掘。

8．特殊化方法是指在研究问题中，（从对象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的较小集合）的思想方法。

9．分类方法的原则是（不重复、无遗漏、标准同一、按层次逐步划分）。

10．数学模型可以分为三类：

（概念型、方法型、结构型）。

二、判断题（每题2分，共10分。

1．数学模型方法在生物学、经济学、军事学等领域没应用。

2．在解决数学问题时，往往需要综合运用多种数学思想方法才能取得效果。

（是）

3．如果某一类问题存在算法，并且构造出这个算法，就一定能求出该问题的精确解。

（否）

4．分类可使知识条理化、系统化。

5．在建立数学模型的过程中，不必经过数学抽象这一环节。

三、简答题（每题6分，共30分）

1．我国数学教育存在哪些问题？

①数学教学重结果，轻过程；

重解题训练，轻智力、情感开发；

不重视创新能力培养，虽然学生考试分数高，但是学习能力低下；

②重模仿，轻探索，学习缺少主动性，缺乏判断力和独立思考能力；

③学生学业负担过重。

原因是课堂教学效益不高，教学围绕升学考试指挥棒转，不断重复训练各种题型和模拟考试，不少教师心存以量求质的想法，造成学生学业负担过重。

2．《几何原本》贯彻哪两条逻辑要求？

《几何原本》贯彻了两条逻辑要求。

①第一，公理必须是明显的，因而是无需加以证明的，其是否真实应受推出的结果的检验，但它仍是不加证明而采用的命题；

初始概念必须是直接可以理解的，因而无需加以定义。

②第二，由公理证明定理时，必须遵守逻辑规律与逻辑规则；

同样，通过初始概念以直接或间接方式对派生概念下定义时，必须遵守下定义的逻辑规则。

3．简述数学抽象的特征。

数学抽象有以下特征：

①数学抽象具有无物质性；

②数学抽象具有层次性；

③数学抽象过程要凭借分析或直觉；

④数学的抽象不仅有概念抽象还有方法抽象

4．什么是算法的有限性特点？

试举一个不符合算法有限性特点的例子。

①算法得有限性是指一个算法必须在有限步之内终止。

②例如，对初始数据20和3，计算过程为

无论怎样延续这个过程都不能结束，同时也不会出现中断。

如果在某一处中断过程，我们只能得到一个近似的、不准确的结果。

而且如果在某一步中断计算过程已经不是执行原来的算法。

可见，十进小数除法对于20和3这组数不符合算法的“有限性”特点。

5．简述将“化隐为显”列为数学思想方法教学的一条原则的理由。

①由于数学思想方法往往隐含在知识的背后，知识教学虽然蕴含着思想方法，但是如果不是有意识地把数学思想方法作为教学对象，在数学学习时，学生常常只注意到处于表层的数学知识，而注意不到处于深层的思想方法。

②因此，进行数学思想方法教学时必须以数学知识为载体，把隐藏在知识背后的思想方法显示出来，使之明朗化，才能通过知识教学过程达到思想方法教学之目的。

四、解答题（每题15分，共30分）

1．

（1）什么是类比推理？

（2）写出类比推理的表示形式。

（3）怎样才能增加由类比得出的结论的可靠性？

①类比推理是指，由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也具有这种属性的一种推理方法。

②类比推理的表示形式为：

A具有性质

B具有性质

因此，B也可能具有性质

。

③尽量满足下列条件可增加类比结论的可靠性：

●A与B共同（或相似）的属性尽可能多些；

●这些共同（或相似）的属性应是类比对象A与B的主要属性；

●这些共同（或相似）的属性应包括类比对象的不同方面，并且尽可能是多方面的；

可迁移的属性d应是和

属于同一类型。

2．一个星级旅馆有150个房间。

经过一段时间的经营实践，经理得到数据：

如果每间客房定价为160元，住房率为55%；

如果每间客房定价为140元，住房率为65%；

如果每间客房定价为120元，住房率为75%；

如果每间客房定价为100元，住房率为85%。

欲使每天收入提高，问每间住房的定价应是多少？

①弄清实际问题加以化简。

经分析，为了建立旅馆一天收入的数学模型，可作如下假设：

●设每间客房的最高定价为160元；

●根据题中提供的数据，设随着房价的下降，住房率呈线性增长；

●设旅馆每间客房定价相等。

②建立数学模型。

根据题意，设

表示旅馆一天的总收入，

为与160元相比降低的房价。

由假设②，可得每降低1元房价，住房率增加为

因此一天的总收入为

（1）

由于

于是问题归结为：

当

时，求

的最大值点，即求解

（③模型求解。

将

（1）左边除以（150×

0.005）得

由于常数因子对求最大值没有影响，因此可化为求

的最大值点。

利用配方法得

易知当

=25时

最大，因此可知最大收入对应的住房定价为

160元－25元=135元

相应的住房率为

0.55+0.005×

25=67.5%

最大收入为

150×

135×

67.5%=13668.75（元）

④检验。

容易验证此收入在已知各种客房定价的对应收入中确实是最大的，这可从下面表格中看出。

定价

160元

140元

120元

100元

135元

收入

13200元

13650元

13500元

12750元

13668.75元

如果为了便于管理，那么定价140元也是可以的，因为这时它与最高收入只差18.75元。

如果每间客房定价为180元，住房率为45%，其相应收入只有12150元。

由此可见假设①是合理的。

实际上二次函数在

之内只有一个极值点。

数思

一、简答题?

1、分别简单叙说算术与代数的解题方法基本思想，并且比较?

它们的区别。

?

算术解题方法的基本思想：

首先要围绕所求的数量，?

收集和整理各种已知的数据，并依据问题的条件列出关于这些具?

体数据的算式，然后通过四则运算求得算式的结果。

代数解题方法的基本思想是：

首先依据问题的条件组成内含?

已知数和未知数的代数式，并按等量关系列出方程，然后通过对?

方程进行恒等变换求出未知数的值。

它们的区别在于算术解题参与的量必须是已知的量，而代数?

解题允许未知的量参与运算；

算术方法的关键之处是列算式，而?

代数方法的关键之处是列方程。

2、比较决定性现象和随机性现象的特点，简单叙说确定数?

学的局限。

人们常常遇到两类截然不同的现象，一类是决定性?

现象，另一类是随机现象。

决定性现象的特点是：

在一定的条?

件下，其结果可以唯一确定。

因此决定性现象的条件和结果之?

间存在着必然的联系，所以事先可以预知结果如何。

随机现象的特点是：

在一定的条件下，可能发生某种结果，?

也可能不发生某种结果。

对于这类现象，由于条件和结果之间不?

存在必然性联系。

在数学学科中，人们常常把研究决定性现象数量规律的那些?

数学分支称为确定数学。

用这些的分支来定量地描述某些决定性?

现象的运动和变化过程，从而确定结果。

但是由于随机现象条件?

和结果之间不存在必然性联系，因此不能用确定数学来加以定量?

描述。

同时确定数学也无法定量地揭示大量同类随机现象中所蕴?

涵的规律性。

这些是确定数学的局限所在。

二、论述题?

1、论述社会科学数学化的主要原因。

从整个科学发展趋势来看，社会科学的数学化也是必?

然的趋势，其主要原因可以归结为有下面四个方面：

第一，社会管理需要精确化的定量依据，这是促使社会科学?

数学化的最根本的因素。

第二，社会科学的各分支逐步走向成熟，社会科学理论体系?

的发展也需要精确化。

第三，随着数学的进一步发展，它出现了一些适合研究社会?

历史现象的新的数学分支。

第四，电子计算机的发展与应用，使非常复杂社会现象经过?

量化后可以进行数值处理。

2、论述数学的三次危机对数学发展的作用。

第一次数学危机促使人们去认识和理解无理数，导致?

了公理几何与逻辑的产生。

第二次数学危机促使人们去深入探讨实数理论，导致了分析?

基础理论的完善和集合论的产生。

第三次数学危机促使人们研究和分析数学悖论，导致了数理?

逻辑和一批现代数学的产生。

由此可见，数学危机的解决，往往给数学带来新的内容，新?

的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发?

展的历史动力这一基本原理。

整个数学的发展史就是矛盾斗争的?

历史，斗争的结果就是数学领域的发展。

三、分析题?

1、?

分析《几何原本》思想方法的特点，为什么？

（1）封闭的演绎体系?

因为在《几何原本》中，除了推导时所需要的逻辑规则外，?

每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过?

的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合逻辑上?

对概念下定义的要求，原则上不再依赖其它东西。

因此《几何原?

本》是一个封闭的演绎体系。

另外，《几何原本》的理论体系回避任何与社会生产现实生?

活有关的应用问题，因此对于社会生活的各个领域来说，它也是?

封闭的。

所以，《几何原本》是一个封闭的演绎体系。

（2）抽象化的内容?

：

《几何原本》中研究的对象都是抽象的概念和命题，它所探?

讨的是这些概念和命题之间的逻辑关系，不讨论这些概念和命题?

与社会生活之间的关系，也不考察这些数学模型所由之产生的现实原型。

因此《几何原本》的内容是抽象的。

（3）公理化的方法：

《几何原本》的第一篇中开头5个公设和5个公理，是全书其?

它命题证明的基本前提，接着给出23个定义，然后再逐步引入?

和证明定理。

定理的引入是有序的，在一个定理的证明中，允许采用的论据只有公设和公理与前面已经证明过的定理。

以后各篇?

除了不再给出公设和公理外也都照此办理。

这种处理知识体系与?

表述方法就是公理化方法。

2、分析《九章算术》思想方法的特点，为什么？

（1）开放的归纳体系：

从《九章算术》的内容可以看出，它是以应用问题解法集成?

的体例编纂而成的书，因此它是一个与社会实践紧密联系的开放?

体系。

在《九章算术》中通常是先举出一些问题，从中归纳出某一?

类问题的一般解法；

再把各类算法综合起来，得到解决该领域中?

各种问题的方法；

最后，把解决各领域中问题的数学方法全部综?

合起来，就得到整个《九章算术》。

另外该书还按解决问题的不同数学方法进行归纳，从这些?

方法中提炼出数学模型，最后再以数学模型立章写入《九章算?

术》。

因此，《九章算术》是一个开放的归纳体系。

（2）算法化的内容?

《九章算术》在每一章内先列举若干个实际问题，并对每?

个问题都给出答案，然后再给出“术”，作为一类问题的共同解?

法。

因此，内容的算法化是《九章算术》思想方法上的特点之?

一。

（3）模型化的方法?

《九章算术》各章都是先从相应的社会实践中选择具有典?

型意义的现实原型，并把它们表述成问题，然后通过“术”使其转?

化为数学模型。

当然有的章采取的是由数学模型到原型的过?

程，即先给出数学模型，然后再举出可以应用的原型。

数学思想与方法作业2

一、简答题

1、叙述抽象的含义及其过程。

抽象是指在认识事物的过程中，舍弃那些个别的、偶然的非本质属性，抽取普遍的、必然的本质属性，形成科学概念，从而把握事物的本质和规律的思维过程。

人们在思维中对对象的抽象是从对对象的比较和区分开始的。

所谓比较，就是在思维中确定对象之间的相同点和不同点；

而所谓区分，则是把比较得到的相同点和不同点在思维中固定下来，利用它们把对象分为不同的类。

然后再进行舍弃与收括，舍弃是指在思维中不考虑对象的某些性质，收括则是指把对象的我们所需要的性质固定下来，并用词表达出来。

这就形成了抽象的概念，同时也就形成了表示这个概念的词，于是完成了一个抽象过程。

2、叙述概括的含义及其过程。

概括是指在认识事物属性的过程中，把所研究各部分事物得到的一般的、本质的属性联系起来，整理推广到同类的全体事物，从而形成这类事物的普遍概念的思维过程。

概括通常可分为经验概括和理论概括两种。

经验概括是从事实出发，以对个别事物所做的观察陈述为基础，上升为普遍的认识——由对个体特性的认识上升为对个体所属的种的特性的认识。

理论概括则是指在经验概括的基础上，由对种的特性的认识上升为对种所属的属的特性的认识，从而达到对客观世界的规律的认识。

在数学中经常使用的是理论概括。

一个概括过程包括比较、区分、扩张和分析等几个主要环节。

3、简述公理方法历史发展的各个阶段

公理方法经历了具体的公理体系、抽象的公理体系和形式化的公理体系三个阶段。

第一个具体的公理体系就是欧几里得的《几何原本》。

非欧几何是抽象的公理体系的典型代表。

希尔伯特的《几何基础》开创了形式化的公理体系的先河，现代数学的几乎所有理论都是用形式公理体系表述出来的，现代科学也尽量采用形式公理法作为研究和表述手段。

4、简述化归方法并举例说明。

所谓“化归”，从字面上看，应可理解为转化和归结的意思。

数学方法论中所论及的“化归方法”是指数学家们把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或者比较容易解决的问题中去，最终求获原问题之解答的一种手段和方法。

例如：

要求解四次方程可以令，将原方程化为关于的二次方程?

这个方程我们会求其解：

和?

，从而得到两个二次方程：

这也是我们会求解的方程，解它们便得到原方程的解：

，?

.这里所用的就是化归方法。

二、论述题

1、叙述不完全归纳法的推理形式，并举一个应用不完全归纳法的例子。

不完全归纳法的一般推理形式是：

设S=；

　　由于具有属性p，具有属性p，……具有属性p，因此推断S类事物中的每一个对象都可能具有属性p。

2、叙述类比推理的形式。

如何提高类比的可靠性？

类比推理通常可用下列形式来表示：

　　　　　　　A具有性质

　　　　　　　B具有性质

　　　　　　　因此，B也可能具有性质。

其中，分别相同或相似。

欲提高类比的可靠性，应尽量满足条件：

（1）A与B共同（或相似）的属性尽可能地多些；

（2）这些共同（或相似）的属性应是类比对象A与B的主要属性；

（3）这些共同（或相似）的属性应包括类比对象的各个不同方面，并且尽可能是多方面的；

　　（4）可迁移的属性d应该是和属于同一类型。

符合上述条件的类比，其结论的可靠性虽然可以得到提高，但仍不能保证结论一定正确。

3、试比较归纳猜想与类比猜想的异同。

归纳猜想与类比猜想的共同点是：

他们都是一种猜想，即一种推测性的判断，都是一种合情推理，其结论具有或然性，或者经过逻辑推理证明其为真，或者举出反例予以反驳。

归纳猜想与类比猜想的不同点是：

归纳猜想是运用归纳法得到的猜想，是一种由特殊到一般的推理形式，其思维步骤为“特例—归纳—猜测”。

类比猜想是运用类比法得到的猜想，是一种由特殊到特殊的推理形式，其思维步骤为“联想—类比—猜测”。

三、设计题

设计运用“猜想”进行数学教学的一个片断。

以“认识长方形的对边相等”为内容，设计一个教学片断。

将教学过程设计成四个层次：

让学生说一说：

我们周围有哪些长方形物体？

学生会举出黑板、桌面、教室的门、课本的封面等例子。

要求学生仔细观察：

看一看、想一想，这些长方形的四条边的长短有什么关系？

学生经过观察后，会猜想：

长方形相对的两条边长度相等。

教师进一步提出问题：

同学们敢于大胆猜想的精神值得鼓励！

我们怎样才能验证长方形相对的两条边的长短相等呢？

这时，学生会想出许多办法，如：

用尺量、将图形对折等方法。

教师顺势引导学生通过量量、折折的具体操作，确信长方形相对的两条边长短相等。

教师板书：

长方形对边相等。

接着，师生讨论长方形“对边”的含义，以及一个长方形有几组对边的问题。

巩固长方形对边相等的认识。

利用多媒体展示下面的长方形：

（3厘米）　　　　　?

（2厘米）

（?

）

教师提问：

如何填写括号内的数字？

为什么？

要求学生会用“因为…所以…”句式回答。

如“因为长方形的对边相等，已知长方形的一条边是3厘米，所以它的对边也是3厘米。

”

数学思想与方法作业3

1、简述计算和算法的含义。

计算是指根据已知数量通过数学方法求得未知数的过程，是一种最基本的数学思想方法。

随着电子计算机的广泛应用，计算的重要意义更加凸现，主要表现在以下几个方面：

（1）推动了数学的应用；

（2）加快了科学的数学化进程；

（3）促进了数学自身的发展。

算法是由一组有限的规则所组成的一个过程。

所谓一个算法它实质上是解决一类问题的一个处方，它包括一套指令，只要按照指令一步一步地进行操作，就能引导到问题的解决。

在一个算法中，每一个步骤必须规定得精确和明白，不会产生歧义，并且一个算法在按有限的步骤解决问题后必须结束。

数学中的许多问题都可以归结为寻找算法或判断有无算法的问题，因此，算法对数学中的许多问题的解决有着决定性作用。

另外，算法在日常生活、社会生产和科学技术中也有着重要意义。

算法在科学技术中的意义主要体现在如下几个方面：

（1）用于表述科学结论的一种形式；

（2）作为表述一个复杂过程的方法；

（3）减轻脑力劳动的一种手段；

（4）作为研究和解决新问题的手段；

（5）作为一种基本的数学工具。

2、简述数学教学中引起“分类讨论”的原因。

数学教学中引起“分类讨论”的原因有：

数学中的许多概念的定义是分类给出的，因此涉及到这些概念时要分类讨论；

数学中有些运算性质、运算法则是分类给出的，进行这类运算时要分类讨论；

有些几何问题，根据题设不能只用一个图形表达，必须全面考虑各种不同的位置关系，需要分类讨论；

许多数学问题中含有字母参数，随着参数取值不同，会使问题出现不同的结果。

因此需要对字母参数的取值情况进行分类讨论。

1、什么是数学模型方法？

并用框图表示MM方法解题的基本步骤。

所谓数学模型方法是利用数学模型解决问题的一般数学方法，简称MM方法。

MM方法解题的基本步骤框图表示如下：

2、特殊化方法在数学教学中有哪些应用？

特殊化方法在数学教学中的应用大致有如下几个方面：

利用特殊值（图形）解选择题；

利用特殊化探求问题结论；

利用特例检验一般结果；

利用特殊化探索解题思路。

三、计算题

1、用程序框图表述如下问题的求解过程：

在1～500中，找出能同时满足用3除余2，用5除余3，用7除余2的所有整数。

解：

设计算法：

（1）给出初始值I=9（因为小于等于8的数显然不满足条件）。

（2）判断I的值是否小于或等于500；

若是，则进一步判断I是否满足用3除余2，用5除余3，用7除余2三个条件，若满足则输出I，否则I递增1。

（3）返回第

（2）步，直至I大于500，结束。

画出程序框图如下图8-1：

　　图8-1

2、一个星级旅馆有150个房间。

（1）、弄清实际问题加以化简。

①设每间客房的最高定价为160元；

②根据题中提供的数据，设随着房价的下降，住房率呈线性增长；

③设旅馆每间客房定价相等。

（2）、建立数学模型。

根据题意，设表示旅馆一天的总收入，为与160元相比降低的房价。

　　　　　　　　　　　　　（＊）

由于。

当时，求的