三角形的内角同步培优题典解析版Word文档格式.docx

三角形的内角同步培优题典解析版Word文档格式.docx

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4D．∠A＝40°

，∠B＝55°

【分析】利用三角形内角和定理结合已知条件求出三角形的内角即可判断．

【解析】A、∵∠A＝∠B＝2∠C，

∴∠A＝∠B＝72°

，∠C＝36°

∴△ABC不是直角三角形，本选项不符合题意．

B、∵∠A＝∠B+∠C，

∴∠A＝90°

∴△ABC是直角三角形，本选项符合题意．

C、∵∠A：

4，

∴∠C

180°

＝80°

∴△ABC是锐角三角形，本选项不符合题意．

D、∵∠A＝40°

∴∠C＝85°

∴△ABC是锐角三角形，本选项不符合题意，

B．

4．（2019秋•宜兴市期中）如图，△ABC中，∠A＝75°

，∠B＝65°

，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝20°

，则∠2的度数为（　　）

A．40°

B．45°

C．50°

D．60°

【分析】根据题意，已知∠A＝65°

，∠B＝75°

，可结合三角形内角和定理和折叠变换的性质求解．

【解析】∵∠A＝75°

∴∠C＝180°

﹣（65°

+75°

）＝40°

∴∠CDE+∠CED＝180°

﹣∠C＝140°

∴∠2＝360°

﹣（∠A+∠B+∠1+∠CED+∠CDE）＝360°

﹣300°

＝60°

．

D．

5．（2019春•姑苏区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝75°

，∠ABD＝∠BCD，则∠BDC的度数是（　　）

A．115°

B．110°

D．100°

【分析】根据三角形内角和定理得到∠ABD+∠DBC＝75°

，根据三角形内角和定理计算，得到答案．

【解析】∵∠ABC＝75°

∴∠ABD+∠DBC＝75°

∵∠ABD＝∠BCD，

∴∠BCD+∠DBC＝75°

∴∠BDC＝180°

﹣（∠BCD+∠DBC）＝105°

6．（2019春•常州期中）下列条件：

①∠A﹣∠B＝∠C；

②∠A：

5；

③∠A

∠B

∠C；

④∠A＝∠B＝2∠C；

⑤∠A＝∠B

∠C，其中能确定△ABC为直角三角形的条件有（　　）

A．2个B．3个C．4个D．5个

【分析】根据三角形内角和定理、直角三角形的定义解答．

【解析】①∵∠A﹣∠B＝∠C，

∴∠A＝∠B+∠C，

，即△ABC为直角三角形；

②设∠A、∠B、∠C分别为2x、3x、5x，

由三角形内角和定理得，2x+3x+5x＝180°

解得，x＝18°

∠C＝5x＝90°

③∠A

∠C，

则∠C＝3∠A，∠B＝2∠A，

由三角形内角和定理得，∠A+2∠A+3∠A＝180°

解得，∠A＝30°

∴∠C＝3∠A＝90°

④∠A＝∠B＝2∠C，

由三角形内角和定理得，2∠C+2∠C+∠C＝180°

解得，∠C＝36°

，∠A＝∠B＝2∠C＝72°

，即△ABC不是直角三角形；

由三角形内角和定理得，

∠C

∠C+∠C＝180°

解得，∠C＝90°

，即△ABC是直角三角形；

7．（2019春•兴化市期中）在△ABC中，∠C＝40°

，∠B＝4∠A，则∠A为（　　）度．

A．30B．28C．26D．40

【分析】根据三角形内角和定理构建方程即可解决问题．

【解析】∵∠A+∠B+∠C＝180°

∴5∠A+40°

＝180°

∴∠A＝28°

8．（2019春•垦利区期中）如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°

，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处，若∠1＝20°

A．80°

B．90°

C．100°

【分析】根据三角形内角和定理求出∠C，根据折叠的性质求出∠C′，根据三角形的外角的性质计算，得到答案．

【解析】∵∠A＝65°

﹣65°

﹣75°

＝40°

由折叠的性质可知，∠C′＝∠C＝40°

∴∠3＝∠1+∠C′＝60°

∴∠2＝∠C+∠3＝100°

9．（2019春•南京期中）如图，在△ABC中，∠A＝α，∠B＝∠C，点D，E，F分别在BC，AB，AC上，且∠EDF＝∠B，若∠2＝2∠1，则∠EDB的度数为（　　）

A．120°

﹣aB．60°

aC．90°

aD．45°

a

【分析】根据∠EDB＝180°

﹣∠B﹣∠1，求出∠B，∠1（用α表示）即可解决问题．

【解析】∵∠EDC＝∠EDF+∠FDC＝∠B+∠1，∠EDF＝∠B，

∴∠FDC＝∠1，

，∠B＝∠C，∠A＝α，

∴∠B＝90°

α，

∵2∠1+∠1+∠C＝180°

∴∠1

（90°

α），

∴∠EDB＝180°

﹣∠B﹣∠1＝180°

﹣（90°

α）

α）＝60°

10．（2019春•泰兴市校级月考）如图，在△ABC中，∠A＝40°

，高BE、CF交于点O，则∠BOC为（　　）

C．130°

D．140°

【分析】根据∠BOC＝∠CEO+∠ECO，求出∠CEO，∠ECO即可．

【解析】∵△ABC中，高BE、CF交于点O，

∴∠AEB＝∠ADFC＝90°

∵∠A＝40°

∴∠ACF＝50°

∴∠BOC＝∠CEO+∠ECO＝90°

＝50°

＝140°

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11．（2019春•京口区校级月考）如图，点D在三角形ABC的边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A＝80°

，∠B＝20°

，则∠ACE的大小是　50　度．

【分析】由∠A＝80°

，根据三角形任意一个外角等于与之不相邻的两内角的和得到∠ACD＝∠B+∠A，然后利用角平分线的定义计算即可．

【解析】∵∠ACD＝∠B+∠A，

而∠A＝80°

∴∠ACD＝80°

+20°

＝100°

∵CE平分∠ACD，

∴∠ACE＝50°

故答案为：

50．

12．（2019春•广陵区校级月考）一个三角形三个内角度数的比是2：

5：

4，那么这个三角形是　锐角　三角形．

【分析】根据三角形内角和定理可分别求得每个角的度数，从而根据最大角的度数确定其形状．

【解析】依题意，设三角形的三个内角分别为：

2x，5x，4x，

∴2x+5x+4x＝180°

∴5x≈81.82°

∴这个三角形是锐角三角形．

锐角．

13．（2019春•崇川区校级月考）若△ABC为钝角三角形，且∠A＝50°

，则∠B的取值范围为　130°

＞∠B＞90°

或0°

＜∠B＜40°

　．

【分析】根据钝角三角形的定义即可判断．

【解析】当130°

时，△ABC是钝角三角形，

当∠C＞90°

时，△ABC是钝角三角形，此时0°

故答案为130°

14．（2019春•江宁区校级月考）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，点A落在四边形BCDE的外部，用∠1和∠2表示出∠A，则关系式是　2∠A＝∠1﹣∠2　．

【分析】此题求的是∠A、∠1、∠2之间的数量关系，首先画出折叠前的三角形，设为△BCF，可根据三角形的外角性质，首先表示出∠DEF的度数，进而根据三角形内角和定理，得到所求的结论．

【解析】如右图，设翻折前A点的对应点为F；

根据折叠的性质知：

∠3＝∠4，∠F＝∠A；

由三角形的外角性质知：

∠DEF＝∠5+∠3＝∠A+∠2+∠3；

△DEF中，∠DEF＝180°

﹣∠4﹣∠F；

故180°

﹣∠4﹣∠F＝∠A+∠2+∠3，即：

﹣∠4﹣∠A＝∠A+∠2+∠3，

﹣∠4﹣∠3＝2∠A+∠2，即∠1＝2∠A+∠2，2∠A＝∠1﹣∠2，

2∠A＝∠1﹣∠2．

15．（2019春•长春月考）当三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，我们称此三角形为“梦想三角形”，如果一个“梦想三角形”有一个角为120°

，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为　20°

或15°

【分析】分两种情况，根据三角形内角和定理计算即可．

【解析】①120°

÷

3＝40°

﹣120°

﹣40°

＝20°

则这个“梦想三角形”的最小内角的度数为20°

；

②设这个“梦想三角形”的其它两个内角的度数分别为3x、x，

则3x+x+120°

解得，x＝15°

则这个“梦想三角形”的最小内角的度数15°

20°

16．（2018秋•新抚区校级月考）在△ABC中，若2（∠A+∠C）＝3∠B，则∠B的度数为　72°

【分析】根据三角形内角和定理，得出∠A+∠C＝180°

﹣∠B，再根据2（∠A+∠C）＝3∠B，得出关于∠B的方程，求得∠B即可．

【解析】∵在△ABC中，∠A+∠C＝180°

﹣∠B，且2（∠A+∠C）＝3∠B，

∴2（180°

﹣∠B）＝3∠B，

∴360°

＝5∠B，

∴∠B＝72°

72°

17．如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC，垂足为D．若∠ABC＝66°

，∠C＝34°

，则∠DAE＝　16　°

【分析】先求出∠BAC的度数，再求出∠BAD的度数和∠CAE的度数，再求出∠DAE的度数．

【解析】∵∠BAC＝180°

﹣66°

﹣34°

又∵AE是△ABC的角平分线，

∴∠CAE＝40°

∵∠ABC＝66°

，AD是BC边上的高．

∴∠BAD＝90°

＝24°

∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝∠CAE﹣∠BAD＝40°

﹣24°

＝16°

16．

18．（2020春•如皋市期末）在△ABC中，将∠B、∠C按如图所示方式折叠，点B、C均落于边BC上一点G处，线段MN、EF为折痕．若∠A＝82°

，则∠MGE＝　82　°

【分析】由折叠的性质可知：

∠B＝∠MGB，∠C＝∠EGC，根据三角形的内角和为180°

，可求出∠B+∠C的度数，进而得到∠MGB+∠EGC的度数，问题得解．

【解析】∵线段MN、EF为折痕，

∴∠B＝∠MGB，∠C＝∠EGC，

∵∠A＝82°

∴∠B+∠C＝180°

﹣82°

＝98°

∴∠MGB+∠EGC＝∠B+∠C＝98°

∴∠MGE＝180°

﹣98＝82°

82．

三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（2019春•崇川区校级月考）如图，已知，在△ABC中，∠C＝∠ABC，BE⊥AC，∠DBE＝60°

，求∠C的度数．

【分析】由直角三角形的性质得出∠A＝30°

，再由三角形内角和定理即可得出答案．

【解析】∵BE⊥AC，

∴∠AEB＝90°

∵∠DBE＝60°

﹣60°

＝30°

∴∠C＝∠ABC

（180°

﹣30°

）＝75°

20．（2019春•东台市校级月考）如图，在△ABC中，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B＝30°

，∠C＝50°

（1）求∠DAE的度数；

（2）试写出∠DAE与∠C、∠B之间的数量关系（不必说明理由）．

【分析】

（1）由AD是BC边上的高可得出∠ADE＝90°

，在△ABC中利用三角形内角和定理可求出∠BAC的度数，由角平分线的定义可求出∠BAE的度数，再根据三角形外角的性质可求出∠AED的度数，在△ADE中利用三角形内角和定理可求出∠DAE的度数；

（2）∠DAE

（∠C﹣∠B），理由同

（1）．

【解析】

（1）∵AD是BC边上的高，

∴∠ADE＝90°

∵∠BAC+∠B+∠C＝180°

∴∠BAC＝180°

﹣∠B﹣∠C＝100°

∵AE是∠BAC平分线，

∴∠BAE

∠BAC＝50°

∴∠AED＝∠B+∠BAE＝30°

+50°

∵∠ADE+∠AED+∠DAE＝180°

∴∠DAE＝180°

﹣∠ADE﹣∠AED＝180°

﹣90°

﹣80°

＝10°

（∠C﹣∠B），理由如下：

∵AD是BC边上的高，

﹣∠B﹣∠C．

∠BAC＝90°

（∠B+∠C），

∴∠AED＝∠B+∠BAE＝90°

（∠B﹣∠C）．

﹣[90°

（∠B﹣∠C）]

（∠C﹣∠B）．

21．（2018秋•江都区月考）如图：

有一张直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°

，∠A＝50°

，将其沿CD折叠，使点A落在边CB上的点A′处，求∠A′DB的度数．

【分析】先根据直角三角形两锐角互余求得∠B＝40°

，由翻折的性质可知∠DA′C＝50°

，最后根据三角形外角的性质可知∠A′DB＝10°

【解析】由折叠可得，∠CA'

D＝∠A＝50°

∵∠ACB＝90°

∴∠B＝40°

∵∠B+∠A'

DB＝∠CA'

D，

∴∠A'

DB＝50°

22．（2020春•常熟市期中）如图，在△ABC中，点D在BC上，∠ADB＝∠BAC，BE平分∠ABC，过点E作EF∥AD，交BC于点F．

（1）求证：

∠BAD＝∠C；

（2）若∠C＝20°

，∠BAC＝110°

，求∠BEF的度数．

（1）利用三角形内角和定理证明即可．

（2）想办法求出∠BHD，再利用平行线的性质求解即可．

【解答】

（1）证明：

∵∠ABC+∠BAC+∠C＝180°

，∠ABC+∠BDA+∠BAD＝180°

，∠BDA＝∠BAC，

∴∠BAD＝∠C．

（2）解：

∵∠C＝20°

∴∠ABC＝180°

﹣20°

﹣110°

∵BE平分∠ABC，

∴∠EBF

∠ABC＝25°

∵∠BDA＝∠BAC＝110°

∴∠BHD＝180°

﹣∠HBD﹣∠BDA＝180°

﹣25°

＝45°

∵AD∥EF，

∴∠BEF＝∠BHD＝45°

23．（2020春•赣榆区期中）如图1，AD、BC交于点O，得到的数学基本图形我们称之为‘8’字形ABCD．

（1）试说明：

∠A+∠B＝∠C+∠D；

（2）如图2，∠ABC和∠ADC的平分线相交于E，尝试用

（1）中的数学基本图形和结论，猜想∠E与∠A、∠C之间的数量关系并说明理由．

（2）利用

（1）中结论，设∠ABE＝∠EBC＝x，∠ADE＝∠EDC＝y，可得∠A+x＝∠E+y，∠C+y＝∠E+x，两式相加可得结论．

∵∠A+∠B+∠AOB＝180°

，∠C+∠D+∠COD＝180°

又∵∠AOB＝∠COD，

∴∠A+∠B＝∠C+∠D．

结论：

2∠E＝∠A+∠C．

理由：

∵∠ABC和∠ADC的平分线相交于E，

∴可以假设∠ABE＝∠EBC＝x，∠ADE＝∠EDC＝y，

∵∠A+x＝∠E+y，∠C+y＝∠E+x，

∴∠A+∠C＝∠E+∠E，

∴2∠E＝∠A+∠C，

24．（2020春•相城区期中）已知（如图1）在△ABC中，∠B＞∠C，AD平分∠BAC，点E在AD的延长线上，过点E作EF⊥BC于点F，设∠B＝α，∠C＝β．

（1）当α＝80°

，β＝30°

时，求∠E的度数；

（2）试问∠E与∠B，∠C之间存在着怎样的数量关系，试用α、β表示∠E，并说明理由；

（3）若∠EFB与∠BAE平分线交于点P（如图2），当点E在AD延长线上运动时，∠P是否发生变化，若不变，请用α、β表示∠P；

若变化，请说明理由．

（1）根据三角形的内角和和角平分线的定义即可得到即可；

（2）根据三角形的内角和和角平分线的定义即可得到即可；

（3）根据三角形的内角和和角平分线的定义即可得到即可．

（1）∵∠B＝80°

，∠C＝30°

＝70°

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD

BAC＝35°

∴∠EDF＝∠ADB＝180°

﹣35°

＝65°

∵EF⊥BC，

∴∠EFD＝90°

∴∠E＝90°

＝25°

（2）∵∠EDF＝∠C+∠CAD，∠CAD

∠BAC

﹣α﹣β），

∴∠EDF＝∠C+90°

α

β＝90°

（α﹣β），

∵∠EFD＝90°

∴∠DEF

（α﹣β）；

（3）设AP与BC交于G，

BAC

∵AP平分∠BAE，

∴∠BAP

BAD

∴∠PGF＝∠AGB＝180°

﹣∠B﹣∠BAP＝180°

﹣α

﹣α﹣β）＝135°

β，

∵PF平分∠EFB，

∴∠PFB＝45°

∴∠P＝180°

﹣∠PFB﹣∠PGF＝180°

﹣45°

﹣（135°

β）

故∠P不会发生变化．