高考数学一轮复习 第十章 概率与统计 第4课时离散型随机变量的均值与方差课时作业 理 新人教版.docx
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第4课时 离散型随机变量的均值与方差、正态分布
考纲
索引
1.离散型随机变量的均值方差.
2.均值与方差的性质.
3.两点分布、二项分布的均值与方差.
4.正态分布.
课标
要求
1.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念,能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题.
2.利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.
知识梳理
1.离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
(1)均值:
称E(X)= 为随机变量X的均值或 ,它反映了离散型随机变量取值的 .
(2)方差:
称D(X)= 为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其均值E(X)的 ,其算术平方根为随机变量X的 .
2.均值与方差的性质
(1)E(aX+b)= ;
(2)D(aX+b)= (a,b为实数).
3.两点分布、二项分布的均值和方差
若随机变量X服从参数为p的两点分布,则E(X)= ,
D(X)= .
若随机变量X服从参数为n,p的二项分布,即X~B(n,p),则E(X)= ,D(X)= .
4.正态分布
(1)正态曲线:
如果连续型随机变量X的概率密度函数为φμ,σ(x)=,x∈(-∞,+∞),其中μ,σ为参数,则称φμ,σ(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.
(2)正态分布:
一般地,如果对于任何实数a,b(a
(3)正态分布的性质:
①曲线位于 轴的上方,与x轴不相交;②曲线是单峰的,关于 对称;③曲线在X=μ时达到峰值 ;④当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越 ;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越 ;⑤曲线与x轴之间的面积为 .
基础自测
1.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,则P(0<ξ<2)等于( ).
A.0.6B.0.4
C.0.3D.0.2
2.某市进行一次高三教学质量抽样检测,考试后统计的所有考生的数学成绩服从正态分布.已知数学成绩平均分为90分,60分以下的人数占10%,则数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为( ).
A.10%B.20%
C.30%D.40%
3.设随机变量ξ~B(n,p),且E(ξ)=1.6,D(ξ)=1.28,则( ).
A.n=8,p=0.2B.n=4,p=0.4
C.n=5,p=0.32D.n=7,p=0.45
4.已知离散型随机变量X的分布如下表.若E(X)=0,D(X)=1,则a= ,b= .
X
-1
0
1
2
P
a
b
c
5.随机变量ξ的概率分布列由下表给出:
X
7
8
9
10
P(ξ=X)
0.3
0.35
0.2
0.15
则随机变量ξ的均值是 .
指点迷津
◆样本的方差与随机变量的方差的区别
样本的方差是随着样本的不同而变化的,因此它是一个随机变量;而随机变量的方差是通过大量试验得出的,刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度,因此它是一个常量而非变量.
◆参数μ,σ在正态分布中的实际意义
参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数,可以用样本的均值去估计;σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数,可以用样本的标准差去估计.
考点透析
考向一 离散型随机变量的均值
例1 某中学在高三开设了4门选修课,每个学生必须只需选修1门选修课.对于该年级的甲、乙、丙3名学生,回答下面的问题:
(1)求这3名学生选择的选修课互不相同的概率;
(2)求某一选修课被3名学生选修的人数的数学期望.
【审题视点】 先求出其分布列,再运用公式计算数学期望.
【方法总结】1.求数学期望(均值)的关键是求出其分布列.若已知离散型分布列,可直接套用公式E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn求其数学期望(均值).随机变量的均值是一个常数,它不依赖于样本的抽取,只要找准随机变量及相应的概率即可计算.
2.若X是随机变量,且Y=aX+b,其中a,b为常数,则Y也是随机变量,且E(Y)=aE(X)+b.
变式训练
1.(2013·天津)一个盒子里装有7张卡片,其中有红色卡片4张,编号分别为1,2,3,4;白色卡片3张,编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).
(1)求取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率;
(2)在取出的4张卡片中,红色卡片编号的最大值设为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
考向二 离散型随机变量的方差
例2 袋中有20个大小相同的球,其中标号为0号的有10个,标号为n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,X表示所取球的标号.
(1)求X的分布列、期望和方差;
(2)若η=aX+b,E(η)=1,D(η)=11,试求a,b的值.
【审题视点】 先求出其分布列,再求出数学期望,最后求出方差.
【方法总结】均值仅体现了随机变量取值的平均水平.如果两个随机变量的均值相等,还要看随机变量的取值如何在均值周围的变化,方差大,说明随机变量取值较分散;方差小,说明取值较集中.
变式训练
2.(2013·浙江)设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:
取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个篮球得3分.
(1)当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和,求ξ的分布列;
(2)从袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球,记随机变量η为取出此球所得分数.若
求a∶b∶c.
考向三 二项分布的均值与方差
例3 为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳,各株沙柳成活与是否相互独立的,成活率为p,设ξ为成活沙柳的株数,数学期望E(ξ)=3,标准差
.
(1)求n,p的值并写出ξ的分布列;
(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活,则需要补种,求需要补种沙柳的概率.
【审题视点】 运用公式E(X)=np,D(X)=np(1-p),求出n与p是解题的关键.
【方法总结】1.若X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p);
2.若X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).
变式训练
3.(2014·浙江)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ=0)=
E(ξ)=1,则D(ξ)= .
考向四 正态分布及其应用
例4 在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(a>0).若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4,则ξ在(2,+∞)上取值的概率为 .
【方法总结】1.若连续型随机变量ξ服从正态分布,即ξ~N(μ,σ2),则E(ξ)=μ,D(ξ)=σ2,这里μ,σ的意义是期望和标准差,μ在正态分布曲线中确定曲线的位置,而σ确定曲线的形状.如果给出两条正态分布曲线,我们可以根据正态分布曲线的位置和形状判别相应的μ和σ的大小关系.
2.正态曲线关于直线x=μ对称,从而在关于x=μ对称的区间上概率相等.正态曲线与x轴之间的面积为1.
变式训练
4.设两个正态分布N(μ1,)(σ1>0)和N(μ2,)(σ2>0)的密度函数图象如图所示,则有( ).
(第4题)
A.μ1<μ2,σ1<σ2
B.μ1<μ2,σ1>σ2
C.μ1>μ2,σ1<σ2
D.μ1>μ2,σ1>σ2
经典考题
典例 (2013·福建)某联欢会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为
中奖可以获得2分;方案乙的中奖率为
中奖可以获得3分;未中奖则不得分.每人且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.
(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计分为X,求X≤3的概率;
(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:
他们选择何种方案抽奖,累计得分的数学期望较大?
【解题指南】
(1)先求出x≤3的对立事件的概率,再运用公式
即可;
(2)分别求出两种方案的数学期望,再进行比较.
真题体验
1.(2014·黑龙江模拟)袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,ξ表示所取球的标号.若η=aξ-2,E(η)=1,则a的值为( ).
A.2B.-2C.1.5D.3
2.(2014·浙江模拟)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示,椐统计,随机变量ξ的概率分布如下图,则ξ的数学期望为 .
ξ
0
1
2
3
P
0.1
0.3
2a
a
3.(2014·黑龙江模拟)商场每月售出的某种商品的件数X是一个随机变量,其分布列如下表.每售出一件可获利300元,如果销售不出去,每件每月需要保养费100元.该商场月初进货9件这种商品,则销售该商品获利的期望为 .
参考答案与解析
知识梳理
1.
(1)x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn 数学期望 平均水平
(2)
平均偏离程度 标准差
2.
(1)aE(X)+b
(2)a2D(X)
3.p p(1-p) np np(1-p)
4.(3)x x=μ
集中 分散 1
基础自测
1.C 2.D 3.A 4.
5.8.2
考点透析
【例2】
(1)X的分布列是
∴
变式训练
经典考题
真题体验
1.A 2.17 3.1500元
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