高二下学期《空间角与距离》测试题.docx
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高二下学期《空间角与距离》测试题
山东省青州一中高二下学期《空间角与距离》测试题
(满分100分,1—5题,每题8分,6—10题,每题12分;时间:
90分钟)
1.长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,E为CC1的中点,则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为()
A.B.C.D.
2.正四面体P—ABC中,M为棱AB的中点,则PA与CM所成角的余弦值为()
A.B.
C.D.
3.已知直线与平面成角,直线,若直线在内的射影与直线也成45°角,则与所成的角是
A.30°B.45°C.60°D.90°
4.二面角为,A,B是棱上的两点,AC,BD分别在半平面内,且,则的长为()
A. B. C. D.
5.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中,M和N分别为A1B1和BB1的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值是。
6.如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=BB1,直线B1C与平面ABC成
30°角.
(I)求证:
平面B1AC⊥平面ABB1A1;
(II)求直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值;
(III)求二面角B—B1C—A的大小.
7.如图,在四棱锥P—ABCD中,平面PAB⊥平面ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形,△PAB为等边三角形.
(1)求PC与平面ABCD所成角的大小;
(2)求二面角B—AC—P的大小;
(3)求点A到平面PCD的距离.
8.如图,直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的高为3,底面是边长为4且∠DAB=60°的菱形,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,E是O1A的中点.
(1)求二面角O1-BC-D的大小;
(2)求点E到平面O1BC的距离.
9.如图,已知四棱锥P—ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,
AB=BC=PB=PC=2CD=2,侧面PBC⊥底面ABCD,O是BC中点,AO交BD于E.
(1)求证:
PA⊥BD;
(2)求二面角P-DC-B的大小;
(3)求证:
平面PAD⊥平面PAB.
10.已知斜三棱柱,,,在底面上的射影恰为的中点,又知。
(I)求证:
平面;
(II)求到平面的距离;
(III)求二面角的大小。
参考答案
BCCA5.
6.(I)证明:
由直三棱柱性质,B1B⊥平面ABC,
∴B1B⊥AC,
又BA⊥AC,B1B∩BA=B,
∴AC⊥平面ABB1A1,
又AC平面B1AC,
∴平面B1AC⊥平面ABB1A1…………4分
(II)解:
建立如图的空间直角坐标系A—xyz,
∵直线B1C与平面ABC成30°角,
∴∠B1CB=30°.
设AB=B1B=1,
∴直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值为…………9分
(III)解:
设为平面BCC1B1的一个法向量,
∴二面角B—B1C—A的大小为
7.
解法二:
(1)解:
同解法一………………5分
(2)解:
建立如图的空间直角坐标系O—xyz,
则A(-1,0,0),B(1,0,0),
则P(0,0,),C(1,2,0)
设为平面PAC的一个法向量,
则
又
令z=1,得
得
又是平面ABC的一个法向量,
设二面角B—AC—P的大小为,
则
………………10分
(3)解:
设为平面PCD的一个法向量.
则由D(-1,2,0),可知),
可得a=0,令,则c=2.
得,
设点A到平面PCD的距离为d,则
∴点A到平面PCD的距离为
8.解法一:
(1)过O作OF⊥BC于F,连接O1F,
∵OO1⊥面AC,∴BC⊥O1F,
∴∠O1FO是二面角O1-BC-D的平面角,………………3分
∵OB=2,∠OBF=60°,∴OF=.
在Rt△O1OF在,tan∠O1FO=
∴∠O1FO=60°即二面角O1—BC—D为60°………………6分
(2)在△O1AC中,OE是△O1AC的中位线,∴OE∥O1C
∴OE∥O1BC,∵BC⊥面O1OF,∴面O1BC⊥面O1OF,交线O1F.
过O作OH⊥O1F于H,则OH是点O到面O1BC的距离,………………10分
∴OH=∴点E到面O1BC的距离等于………………12分
解法二:
(1)∵OO1⊥平面AC,
∴OO1⊥OA,OO1⊥OB,又OA⊥OB,………………2分
建立如图所示的空间直角坐标系(如图)
∵底面ABCD是边长为4,∠DAB=60°的菱形,
∴OA=2,OB=2,
则A(2,0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0),O1(0,0,3)………………3分
设平面O1BC的法向量为=(x,y,z),
则⊥,⊥,
∴,则z=2,则x=-,y=3,
∴=(-,3,2),而平面AC的法向量=(0,0,3)………………5分
∴cos<,>=,
设O1-BC-D的平面角为α,∴cosα=∴α=60°.
故二面角O1-BC-D为60°.………………6分
(2)设点E到平面O1BC的距离为d,
∵E是O1A的中点,∴=(-,0,),………………9分
则d=∴点E到面O1BC的距离等于。
………12分
9.方法一:
(1)证明:
又平面平面ABCD
平面平面ABCD=BC,平面ABCD……2分
在梯形ABCD中,可得
,即
在平面ABCD内的射影为AO,……4分
(2)解:
,且平面平面ABCD
∴DC⊥平面PBC平面PBC,
∴∠PCB为二面角P—DC—B的平面角……6分
∵△PBC是等边三角形,∴∠PCB=60°,即二面角P—DC—B的大小为60°……8分
(3)证明:
取PB的中点N,连结CN
∵PC=BC,∴CN⊥PB①
,且平面平面ABCD
平面PBC……………10分
平面PAB平面平面PAB②
由①、②知CN⊥平面PAB
连结DM、MN,则由MN∥AB∥CD
MN=AB=CD,得四边形MNCD为平行四边形
∴CN∥DM
∴DM⊥平面PAB
∵DM平面PAD平面PAD⊥平面PAB………………12分
方法二:
取BC的中点O,因为△PBC是等边三角形,
由侧面PBC⊥底面ABCD得PO⊥底面ABCD……1分
以BC中点O为原点,以BC所在直线为x轴,过点O与
AB平行的直线为y轴,建立如图所示的空间直角坐标系
O—xyz……2分
(1)证明:
∵CD=1,则在直角梯形中,
在等边三角形PBC中,
,即……4分
(2)解:
取PC中点N,则
平面PDC,显然,且平面ABCD
所夹角等于所求二面角的平面角……6分
二面角的大小为……8分
(3)证明:
取PA的中点M,连结DM,则M的坐标为
又……10分
即
平面PAB,平面平面PAB.
10.解法1:
(I)因为平面,
所以平面平面,
又,所以平面,
得,又
所以平面;……………4分
(II)因为,所以四边形为
菱形,
故,又为中点,知。
取中点,则平面,从而面面,
过作于,则面,
在中,,故,
即到平面的距离为。
(III)过作于,连,则,
从而为二面角的平面角,
在中,,所以,
在中,,
故二面角的大小为。
……………12分
解法2:
(I)如图,取的中点,则,因为,
所以,又平面,
以为轴建立空间坐标系,
则,,,
,,
,,
,由,知,
又,从而平面;……………4分
(II)由,得。
设平面的法向量为,,,所以
,设,则
所以点到平面的距离。
……………8分
(III)再设平面的法向量为,,,
所以
,设,则,
故,根据法向量的方向,
可知二面角的大小为。
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