高中数学第一章三角函数173正切函数的诱导公式学案北师大版.docx
- 文档编号:1778269
- 上传时间:2022-10-24
- 格式:DOCX
- 页数:12
- 大小:239.35KB
高中数学第一章三角函数173正切函数的诱导公式学案北师大版.docx
《高中数学第一章三角函数173正切函数的诱导公式学案北师大版.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学第一章三角函数173正切函数的诱导公式学案北师大版.docx(12页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
高中数学第一章三角函数173正切函数的诱导公式学案北师大版
7.3 正切函数的诱导公式
学习目标 1.借助单位圆中的三角函数线推导出正切函数的诱导公式(重点).2.掌握正切函数的诱导公式(难点).
知识点1 正切函数的诱导公式
函数角
y=tanx
记忆口诀
kπ+α
tanα
函数名不变,符号看象限
2π+α
tanα
-α
-tanα
π-α
-tanα
π+α
tanα
+α
-cotα
函数名改变,符号看象限
-α
cotα
【预习评价】
1.下列诱导公式中错误的是( )
A.tan(π-α)=-tanα
B.cos=sinα
C.sin(π+α)=-sinα
D.cos(π-α)=-cosα
答案 B
2.tan等于( )
A.-cotαB.cotα
C.tanαD.-tanα
答案 A
题型一 三角函数间关系的应用
【例1】 已知角α的顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(3,y),且tanα=-.
(1)求sinα+cosα的值;
(2)求的值.
解
(1)因为tanα==-,所以y=-4,则r=5.
∴sinα=-,cosα=,则sinα+cosα=-.
(2)原式=====-10.
规律方法 三角函数之间关系的应用
利用三个三角函数之间的关系:
tanα=进行弦切互化:
正用可以做到切化弦,逆用可以做到弦化切.
【训练1】 已知α为第二象限角,且tanα-=,
求的值.
解 由tanα-=,
得4tan2α-15tanα-4=0,
得tanα=-或tanα=4.
又α为第二象限的角,
所以tanα=-.
故=
==.
题型二 利用诱导公式求值
【例2】 求以下各式的值:
(1)7cos270°+3sin270°+tan765°;
(2).
解
(1)原式=7cos(180°+90°)+3sin(180°+90°)+tan(2×360°+45°)
=-7cos90°-3sin90°+tan45°
=0-3×1+1=-2.
(2)原式=
===2+.
规律方法
(1)熟记诱导公式和特殊角的三角函数值是解决此类问题的基础和关键.
(2)无条件求值,又称给角求值,关键是利用诱导公式将任意的三角函数值转化为锐角的三角函数值.
【训练2】
(1)tanπ+tan的值为( )
A.-B.0
C.D.-
(2)若f(x)=tanx,则f(600°)的值为( )
A.B.-
C.D.-
解析
(1)tanπ+tan
=tan+tan
=tan-tan
=--=-,故选D.
(2)f(600°)=tan600°=tan(720°-120°)=tan(-120°)=.
答案
(1)D
(2)C
方向1 化简
【例3-1】
(1)化简:
;
(2)若a=,求a2+a+1的值.
解
(1)
=
=
==1
(2)a=
=
=
==1,
∴a2+a+1=1+1+1=3.
方向2 证明
【例3-2】 =-tanα.
证明 左边=
=
=
===-tanα=右边.
∴原等式成立.
方向3 化简并求值
【例3-3】 已知α是第三象限角,且f(α)=
.
(1)化简f(α);
(2)若tan(π-α)=-2,求f(α)的值;
(3)若α=-120°,求f(α)的值.(注:
对任意角α有sin2α+cos2α=1成立)
解
(1)f(α)
=
==-cosα.
(2)因为tan(π-α)=-2,
所以tanα=2.所以sinα=2cosα,
所以(2cosα)2+cos2α=1,即cos2α=.
因为α是第三象限角,所以cosα=-,所以f(α)=.
(3)因为cos(-120°)=cos120°=-cos60°=-,
所以f(α)=-cosα=.
规律方法 1.三角函数式化简的常用方法
(1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数.
(2)切化弦:
一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.
2.三角恒等式的证明策略
在证明时一般从左边到右边,或从右边到左边,或左右归一,总之,应遵循化繁为简的原则.
定义法,化弦法,拆项拆角法,公式变形法.
课堂达标
1.tan300°+sin450°的值为( )
A.1+B.1-
C.-1-D.-1+
解析 tan300°+sin450°
=tan(360°-60°)+sin(360°+90°)
=-tan60°+sin90°=1-.
答案 B
2.公式tan(π-α)=-tanα成立的条件是( )
A.α为锐角
B.α为不等于的任意角
C.α为任意角
D.α≠kπ+(k∈Z)
解析 由正切函数的定义可知α≠kπ+(k∈Z).
答案 D
3.已知tan=,则tan的值为________.
解析 tan=tan
=tan=-tan
=-.
答案 -
4.tan+tan+tan+tan的值为________.
解析 原式=tan+tan+tan+tan
=tan+tan-tan-tan=0.
答案 0
5.已知角α的终边经过点P(4,-3),
(1)求sinα,cosα,tanα的值;
(2)求·的值.
解
(1)因为r==5,
所以sinα==-,
cosα==,
tanα==-.
(2)·
=·=-=-=-.
课堂小结
(1)正切函数的诱导公式在记忆时可简单记为“奇变偶不变,符号看象限”,即k·±α中,如果k为奇数,则正切变余切,至于符号取决于角k·±α所在的象限.
(2)在对三角式进行化简、求值、证明中,要遵循诱导公式先行的原则.
特别提醒 应用正切函数的诱导公式时,必须等式两边都有意义.
基础过关
1.tan的值为( )
A.B.-
C.D.-
解析 tan=tan=tan=.
答案 C
2.已知角α终边上有一点P(5n,4n)(n≠0),则tan(180°-α)的值是( )
A.-B.-
C.±D.±
解析 ∵角α终边上有一点P(5n,4n),
∴tanα=,tan(180°-α)=-tanα=-.
答案 A
3.已知tan(-80°)=k,那么tan100°的值是( )
A.-kB.k
C.D.
解析 tan(-80°)=-tan80°=k,则tan80°=-k.
tan100°=tan(180°-80°)=-tan80°=k.
答案 B
4.函数f(x)=asin2x+btanx+2,且f(-3)=5,则f(3)等于________.
解析 ∵f(-3)=asin(-6)+btan(-3)+2=5,
∴-asin6-btan3=3,即asin6+btan3=-3.
∴f(3)=asin6+btan3+2=-3+2=-1.
答案 -1
5.已知tan=,则tan=________.
解析 tan=tan
=-tan=-.
答案 -
6.求下列各式的值:
(1)sincostan;
(2)sin(-1200°)tan-cos585°tan.
解
(1)原式=sincostan
=costan
=cos=
=-×=-.
(2)原式=-sin(4×360°-240°)tan-cos(360°+225°)
=-sin(-240°)tan-cos45°tan
=×sin(180°+60°)-tan
=-sin60°-
=-.
7.已知角α的终边与单位圆交于点,
试求的值.
解 原式=
=-=-tan2α.
∵角α的终边与单位圆交于点,
∴tanα=-.∴原式=-.
能力提升
8.已知tan(π-α)=-,则的值是( )
A.B.
C.D.1
解析 由tan(π-α)=-得tanα=.
∴===.
答案 B
9.化简tan(27°-α)·tan(49°-β)·tan(63°+α)·tan(139°-β)的结果为( )
A.1B.-1
C.2D.-2
解析 原式=tan[90°-(63°+α)]·tan(49°-β)·tan(63°+α)·tan(90°+49°-β)
=cot(63°+α)·tan(63°+α)·tan(49°-β)·[-cot(49°-β)]
=-1.
答案 B
10.已知tan(π-x)=,则tan(x-3π)=________.
解析 由tan(π-x)=,知tanx=-,
故tan(x-3π)=-tan(3π-x)=-tan(π-x)
=tanx=-.
答案 -
11.已知cos(α+β)=-1,且tanα=2,则tanβ=________.
解析 由cos(α+β)=-1,知α+β=2kπ+π(k∈Z),
∴β=2kπ+π-α,k∈Z.
∴tanβ=tan(2kπ+π-α)=tan(π-α)=-tanα=-2.
答案 -2
12.已知sinα是方程5x2-7x-6=0的根,α是第三象限角,求·tan2(π-α)的值.
解 方程5x2-7x-6=0的两根为x1=-,x2=2,
由α是第三象限角,得sinα=-,则cosα=-,
∴·tan2(π-α)
=·tan2α
=·tan2α=-tan2α=-=-.
13.(选做题)设tan=a,求的值.
解 原式=
=
==.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高中数学 第一章 三角函数 173 正切 函数 诱导 公式 北师大