教案人教A版必修第一册集合的概念教学设计.docx
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教案人教A版必修第一册集合的概念教学设计
《1.1集合的概念》教学设计
一教材分析
本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版(2019)第一章《集合与常用逻辑用语》的第一节《集合的概念》。
以下是集合单元的课时安排:
第一节
第二节
第三节
课时内容
集合的概念
集合间的基本关系
集合的基本运算
所在位置
教材第2页
教材第7页
教材第10页
新教材
内容
分析
教材选取了丰富的实例,既涵盖了实数、方程、不等式、函数、简单的几何图形等数学领域,也包含了贴近学生生活的实际问题,以帮助学生理解元素与集合的概念、体会元素与集合之间的关系,学习集合的表示法.
以实例为载体,对照实数之间的相等关系、大小关系,通过类比,得到集合间的相等关系、包含关系.
从类比实数的运算入手,联想集合的运算,确定研究方法后,通过实例抽象概括出集合的并、交、补运算,并利用Venn图的直观性,帮助学生加以理解.
核心素养培养
通过观察实例,理解集合的含义、进行集合的表示,都体现了数学抽象的核心素养.
通过概括共同特征,探究集合间的基本关系,体现了数学抽象的核心素养;利用韦恩图表达集合间的基本关系,体现了直观想象的核心素养.
通过类比实数,理解集合的运算,强化了数学抽象的核心素养;利用数轴或韦恩图表达集合的运算,体现了直观想象的核心素养;在进行集合运算的过程中,提升了数学运算的核心素养.
教学主线
元素与集合的关系
二学情分析
本章内容属于“预备知识”。
学生在小学和初中阶段已经接触过一些集合,如数集,不等式的解集,点集等,以此为基础,高中阶段系统安排了集合的初步知识,包括集合的含义、集合间的基本关系与集合的运算,使学生能够在现实情境或数学情境中,帮助学生运用集合的语言简洁、准确的表述数学的研究对象,提升学生数学表达的抽象层次,从而作好初高中数学学习的过渡。
三学习目标
1.通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系,培养学生的数学抽象核心素养;
2.针对具体问题,能在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合,提升数学抽象核心素养;
3.
会用列举法、描述法表示集合,强化数学抽象核心素养。
四教学重难点
重点:
元素与集合的“属于”关系,用符号语言刻画集合;
难点:
用描述法表示集合——难在对“共同特征”的描述、符号的表示
五教学过程
(一)新知导入
1.创设情境,生成问题
一位渔民非常喜欢数学,但他怎么也想不明白集合的意义.于是,他就请教数学家:
“尊敬的先生,请您告诉我,集合是什么?
”数学家只是笑了笑,没有当时就回答这位渔民.有一天,数学家来到这位渔民的船上,看到他撒下渔网,一拉动,许多鱼儿在网中跳动.数学家就激动的大喊:
“找到了,找到了,这就是一个集合”.
【想一想】数学家所说的集合指的是什么?
【提示】数学家所说的集合是指渔网中的鱼组成了一个集合.
2.探索交流,解决问题
【问题1】考察下列问题,解决[思考1]:
(1)1~10之间的所有偶数;
(2)立德中学今年入学的全体高一学生;
(3)所有的正方形;
(4)到直线l的距离等于定长d的所有点;
(5)方程
的所有实数根;
(6)地球上的四大洋。
【思考1】
(1)实例中的每组对象的全体能组成集合吗?
(2)把研究对象看作元素,每个集合的元素是什么?
(3)构成集合元素的对象可以是什么?
【提示】
(1)实例中的每组对象能组成集合;
(2)六个问题中集合的元素分别是:
偶数2,4,6,8;立德中学今年入学的高一学生;正方形;到直线l的距离等于定长d的点;方程
的实数根1,2;地球上的四大洋:
太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋。
(3)构成集合的元素可以是数、点、几何图形、物体等。
【设计意图】
通过问题与思考题的探究,引导学生概括出元素与集合的含义.提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力。
(二)集合
集合的概念:
(1)一般地,我们把研究对象统称为元素(element),把一些元素组成的总体叫做集合(set)(简称为集).
(2)我们通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示集合,用小写拉丁字母a,b,c,…表示集合中的元素.
【思考2】
(1)所有的“帅哥”能否构成一个集合?
由此说明什么?
(2)由1,3,0,5,︱-3︳这些数组成的一个集合中有5个元素,这种说法正确吗?
由此说明什么?
(3)高一(5)班的全体同学组成一个集合,调整座位后这个集合有没有变化?
由此说明什么?
(4)如果两个集合中,元素完全一样,那么这两集合相等,这种说法正确吗?
(5)由以上思考题,可以得到集合有什么特性?
【提示】
(1)不能.其中的元素不确定;说明集合中的元素是确定的。
(2)不正确.集合中只有4个不同元素1,3,0,5.说明集合中的元素是互异的。
(3)集合没有变化;说明集合中的元素是没有顺序的。
(4)正确。
(5)集合的元素满足三个特性:
确定性、互异性、无序性。
【做一做】
下列对象能组成集合的是( )
A.
的所有近似值
B.某个班级中学习好的所有同学
C.2021年全国高考数学试卷中所有难题
D.屠呦呦实验室的全体工作人员
[解析] D中的对象都是确定的,而且是不同的.A中的“近似值”,B中的“学习好”,C中的“难题”标准不明确,不满足确定性,因此A、B、C都不能构成集合.
[答案] D
【设计意图】
通过问题探究,使学生深入理解集合的概念,培养数学抽象的核心素养。
(三)元素与集合的关系
【思考3】已知下面的两个实例:
(1)用A表示高一(3)班全体学生组成的集合.
(2)用a表示高一(3)班的一位同学,b表示高一(4)班的一位同学.
思考:
那么a,b与集合A分别有什么关系?
【提示】a是集合A中的元素,b不是集合A中的元素.
元素与集合的关系:
如果a是集合A中的元素,就说a属于集合A,记作a
A;如果a不是集合A中的元素,就说a不属于集合A,记作a
A.
1.对元素与集合关系的认识:
2.常用数集及其记法:
数集
非负整数集
(自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
或
例1.【多选题】下列所给关系正确的是( )
A.π
B.
C.0
D.|-5|
【思维引导】判断元素是否在集合中,利用正确的数学符号表示。
[解析] 选项A,π是实数,所以π
正确;选项B,
是无理数,所以
Q正确;选项C,0不是正整数,所以0∈N*错误;选项D,|-5|=5为正整数,所以|-5|∉N*错误.故选AB.
[答案] AB
【类题通法】
判断元素与集合关系的两种方法
直接法
(1)使用前提:
集合中的元素是直接给出的
(2)判断方法:
首先明确集合是由哪些元素构成,然后再判断该元素在已知集合中是否出现即可
推理法
(1)使用前提:
对于某些不便直接表示的集合
(2)判断方法:
首先明确已知集合的元素具有什么特征,然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可
【巩固练习1】
已知集合A中的元素x满足x-1<
,则下列各式正确的是( )
A.3∈A且-3∉AB.3∈A且-3∈A
C.3∉A且-3∉AD.3∉A且-3∈A
[解析]∵3-1=2>
,∴3∉A.又-3-1=-4<
,∴-3∈A.
[答案]D
【设计意图】
通过例题及练习的学习,使学生理解元素与集合的关系,强化数学抽象的核心素养。
(四)集合的表示
【思考4】
(1)地球上的四大洋组成的集合如何表示?
(2)方程(x+1)(x+2)=0的所有根组成的集合,又如何表示呢?
(3)通过思考以上问题大家能总结归纳出列举法的特点吗?
【提示】
(1)可以这样表示:
{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}.
(2)该集合表示为{-1,-2}
(3)列举法就是把集合中的元素一一列举出来。
把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.
【注意】
(1)大括号不能缺失,元素中间用逗号隔开;
(2)元素按一定的顺序列举,可以保证元素不重不漏,如:
从小到大等。
【探究1】集合
是否是相等的集合?
【提示】根据集合元素的互异性,判断集合A与D相等;
集合A,D是数集,集合B,C是点集,所以不会相等;
集合B,C中的点不一样,所以不相等。
例2.用列举法表示下列集合:
(1)小于10的所有自然数组成的集合.
(2)方程x2=x的所有实数根组成的集合.
【思维引导】将集合中的元素一一列举,即可写出列举法。
[答案]
(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A,那么A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
(2)设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B,那么B={1,0}.
【类题通法】列举法表示集合的步骤及注意点
分清元素
列举法表示集合,要分清是数集还是点集
书写集合
列元素时要做到不重复、不遗漏
【巩固练习2】
用列举法表示下列集合:
(1)一年中有31天的月份的全体;
(2)大于3.1小于12.8的整数的全体;
(3)方程
+|y+1|=0的解集;
(4)正奇数组成的集合.
[解答]
(1){1月,3月,5月,7月,8月,10月,12月}.
(2){4,5,6,7,8,9,10,11,12}.
(3)由方程
+|y+1|=0可知,
即
从而方程的解集用列举法表示为{(2,-1)}.
(4)正奇数组成的集合可用列举法表示为{1,3,5,7,…}.
【思考5】
(1)能用自然语言描述集合{0,3,6,9}吗?
(2)能否用列举法表示不等式x-3<7的解集?
该集合中的元素有什么性质?
(3)不能用列举法表示的集合怎样表示?
【提示】
(1)用自然语言描述集合{0,3,6,9}是:
比10小的能被3整除的自然数。
(2)不等式x-3<7的解集是
有无数个元素,所以不能用列举法表示,但是可以看出,这个集合中的元素满足性质:
集合中的元素都小于10;集合中的元素都是实数.
(3)这样的集合可以通过描述其元素性质的方法来表示。
一般地,设A是一个集合,我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)},这种表示集合的方法称为描述法.
描述法表示集合的写法:
在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围,
画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
【探究2】集合
C=
是否是相等的集合?
【提示】
集合A表示函数
的自变量x的取值集合,是实数集;
集合B表示函数
的函数值y的取值集合,是非负实数集;
集合C是函数
的图象上的点组成的集合,所以这三个集合都不相等。
例3.试分别用列举法和描述法表示下列集合.
(1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合.
(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.
【思维引导】把集合中元素的特点表达出来,写出描述法,再将其转化为列举法。
[解答]
(1)设方程x2-2=0的实数根为x,并且满足条件x2-2=0,因此,用描述法表示为A={x∈R|x2-2=0}.
方程x2-2=0有两个实数根为
,因此,用列举法表示为A={
}.
(2)设大于10小于20的整数为x,它满足条件x∈Z,且10 B={x∈Z∣10 大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19,因此,用列举法表示为 B={11,12,13,14,15,16,17,18,19}. 【类题通法】描述法表示集合的几点注意 (1)用描述法表示集合,应先弄清楚集合的属性,是数集、点集还是其他的类型. 一般地,数集用一个字母代表其元素,而点集则用一个有序数对来表示其元素. (2)用描述法表示集合时,若描述部分出现元素记号以外的字母,需对新字母说明其含义或取值范围. (3)多层描述时,应当准确使用“且”和“或”,所有描述的内容都要写在集合内. 【巩固训练3】 用描述法表示下列集合: (1)不等式2x-3<1的解组成的集合A; (2)被3除余2的正整数的集合B; (3)C={2,4,6,8,10}; (4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合D. [解答] (1)不等式2x-3<1的解组成的集合为A,则集合A中的元素是数,设代表元素为x,则x满足2x-3<1,则A={x|2x-3<1},即A={x|x<2}. (2)设被3除余2的数为x,则x=3n+2,n∈Z.但元素为正整数,故x=3n+2,n∈N.所以被3除余2的正整数的集合B={x|x=3n+2,n∈N}. (3)设偶数为x,则x=2n,n∈Z.但元素是2,4,6,8,10,所以x=2n,n≤5,n∈N*. 所以C={x|x=2n,n≤5,n∈N*}. (4)平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负,纵坐标为正,即x<0,y>0, 故第二象限内的点的集合为D={(x,y)|x<0,y>0}. 例4.用适当的方法表示下列集合: ①绝对值小于5的全体实数组成的集合; ②所有正方形组成的集合; ③除以3余1的所有整数组成的集合; ④构成英文单词mathematics的全体字母. 【思维引导】根据集合中元素的特点选择表示集合的方法。 [解答]①绝对值小于5的全体实数组成的集合可表示为{x||x|<5}. ②所有正方形组成的集合可表示为{正方形}. ③除以3余1的所有整数组成的集合可表示为{a|a=3x+1,x∈Z}. ④构成英文单词mathematics的全体字母可表示为{m,a,t,h,e,i,c,s}. 【类题通法】选用列举法或描述法表示集合的原则 要根据集合元素所具有的属性选择适当的表示方法.列举法的特点是能清楚地展现集合的元素,通常用于表示元素个数较少的集合,当集合中元素较多或无限时,就不宜采用列举法;描述法的特点是形式简单、应用方便,通常用于表示元素具有明显共同特征的集合,当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时,就不宜采用描述法. 【巩固训练4】设集合 (1)试判断元素1和2与集合B的关系; (2)用列举法表示集合B. [解答] (1)当x=1时, =2∈N;当x=2时, = ∉N,∴1∈B,2∉B. (2)∵x∈N, ∈N,∴x只能为0,1,4,故B={0,1,4}. 【设计意图】通过学习列举法、描述法,使学生能针对不同集合的元素的特点用最合适的方法表示出集合,培养学生解决问题的能力。 (五)操作演练素养提升 1.(2021·浙江高三专题练习)下列各对象可以组成集合的是() A.与1非常接近的全体实数 B.某校2021-2022学年度笫一学期全体高一学生 C.高一年级视力比较好的同学 D.与无理数 相差很小的全体实数 2.若一个集合中的三个元素a,b,c是△ABC的三边长,则此三角形一定不是( ) A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形D.等腰三角形 3.【多选题】(2021秦皇岛一中高一期中)下列结论不正确的是() A. B. C. D. 4.集合 用列举法表示是() A.{1,2,3,4}B.{1,2,3,4,5} C.{0,1,2,3,4,5}D.{0,1,2,3,4} [答案]1.B2.D3.BC4.D 【设计意图】通过练习巩固本节所学知识,通过学生解决问题的能力,感悟其中蕴含的数学思想,增强学生的应用意识。 (六)课堂小结,反思感悟 1.知识总结: 2.学生反思: (1)通过这节课,你学到了什么知识? (2)在解决问题时,用到了哪些数学思想? 【设计意图】 通过总结,让学生进一步巩固集合与元素的含义与性质,集合的表示方法,提高语言转换和抽象概括能力,树立用集合语言表示数学内容的意识。 六作业布置 完成教材: 第5页练习第1,2,3题 第5页习题1.1第1,2,3,4题 七课堂记录
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