函数与导数专题(含高考试题).doc
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函数与导数专题
1.在解题中常用的有关结论(需要熟记):
(1)曲线在处的切线的斜率等于,切线方程为
(2)若可导函数在处取得极值,则。
反之,不成立。
(3)对于可导函数,不等式的解集决定函数的递增(减)区间。
(4)函数在区间I上递增(减)的充要条件是:
恒成立
(5)函数在区间I上不单调等价于在区间I上有极值,则可等价转化为方程在区间I上有实根且为非二重根。
(若为二次函数且I=R,则有)。
(6)在区间I上无极值等价于在区间在上是单调函数,进而得到或在I上恒成立
(7)若,恒成立,则;若,恒成立,则
(8)若,使得,则;若,使得,则.
(9)设与的定义域的交集为D若D恒成立则有
(10)若对、,恒成立,则.
若对,,使得,则.
若对,,使得,则.
(11)已知在区间上的值域为A,,在区间上值域为B,
若对,,使得=成立,则。
(12)若三次函数f(x)有三个零点,则方程有两个不等实根,且极大值大于0,极小值小于0.
(13)证题中常用的不等式:
①②③
④⑤⑥
考点一:
导数几何意义:
角度一 求切线方程
1.(2014·洛阳统考)已知函数f(x)=3x+cos2x+sin2x,a=f′,f′(x)是f(x)的导函数,则过曲线y=x3上一点P(a,b)的切线方程为( )
A.3x-y-2=0
B.4x-3y+1=0
C.3x-y-2=0或3x-4y+1=0
D.3x-y-2=0或4x-3y+1=0
解析:
选A 由f(x)=3x+cos2x+sin2x得f′(x)=3-2sin2x+2cos2x,则a=f′=3-2sin+2cos=1.由y=x3得y′=3x2,过曲线y=x3上一点P(a,b)的切线的斜率k=3a2=3×12=3.又b=a3,则b=1,所以切点P的坐标为(1,1),故过曲线y=x3上的点P的切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.
角度二 求切点坐标
2.(2013·辽宁五校第二次联考)曲线y=3lnx+x+2在点P0处的切线方程为4x-y-1=0,则点P0的坐标是( )
A.(0,1) B.(1,-1)
C.(1,3) D.(1,0)
解析:
选C 由题意知y′=+1=4,解得x=1,此时4×1-y-1=0,解得y=3,∴点P0的坐标是(1,3).
角度三 求参数的值
3.已知f(x)=lnx,g(x)=x2+mx+(m<0),直线l与函数f(x),g(x)的图像都相切,且与f(x)图像的切点为(1,f
(1)),则m等于( )
A.-1 B.-3
C.-4 D.-2
解析:
选D ∵f′(x)=,
∴直线l的斜率为k=f′
(1)=1,
又f
(1)=0,
∴切线l的方程为y=x-1.
g′(x)=x+m,设直线l与g(x)的图像的切点为(x0,y0),
则有x0+m=1,y0=x0-1,y0=x+mx0+,m<0,
于是解得m=-2,故选D.
考点二:
判断函数单调性,求函数的单调区间。
[典例1]已知函数f(x)=x2-ex试判断f(x)的单调性并给予证明.
解:
f(x)=x2-ex,f(x)在R上单调递减,
f′(x)=2x-ex,只要证明f′(x)≤0恒成立即可.
设g(x)=f′(x)=2x-ex,则g′(x)=2-ex,
当x=ln2时,g′(x)=0,
当x∈(-∞,ln2)时,g′(x)>0,
当x∈(ln2,+∞)时,g′(x)<0.
∴f′(x)max=g(x)max=g(ln2)=2ln2-2<0,
∴f′(x)<0恒成立,
∴f(x)在R上单调递减.
[典例2] (2012·北京高考改编)已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.
(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值;
(2)当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间.
[解]
(1)f′(x)=2ax,g′(x)=3x2+b,
由已知可得解得a=b=3.
(2)令F(x)=f(x)+g(x)=x3+ax2+x+1,F′(x)=3x2+2ax+,令F′(x)=0,得x1=-,x2=-,
∵a>0,∴x1 由F′(x)>0得,x<-或x>-; 由F′(x)<0得,- ∴单调递增区间是,;单调递减区间为. [针对训练] (2013·重庆高考)设f(x)=a(x-5)2+6lnx,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f (1))处的切线与y轴相交于点(0,6). (1)确定a的值; (2)求函数f(x)的单调区间与极值. 解: (1)因为f(x)=a(x-5)2+6lnx,故f′(x)=2a(x-5)+. 令x=1,得f (1)=16a,f′ (1)=6-8a,所以曲线y=f(x)在点(1,f (1))处的切线方程为y-16a=(6-8a)·(x-1),由点(0,6)在切线上可得6-16a=8a-6, 故a=. (2)由 (1)知,f(x)=(x-5)2+6lnx(x>0), f′(x)=x-5+=. 令f′(x)=0,解得x1=2,x2=3. 当0 由此可知f(x)在x=2处取得极大值f (2)=+6ln2,在x=3处取得极小值f(3)=2+6ln3. 考点三: 已知函数的单调性求参数的范围 [典例] (2014·山西诊断)已知函数f(x)=lnx-a2x2+ax(a∈R). (1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间; (2)若函数f(x)在区间(1,+∞)上是减函数,求实数a的取值范围. [解] (1)当a=1时,f(x)=lnx-x2+x,其定义域是(0,+∞), f′(x)=-2x+1=-, 令f′(x)=0,即-=0,解得x=-或x=1. ∵x>0,∴x=1. 当0 ∴函数f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减. (2)显然函数f(x)=lnx-a2x2+ax的定义域为(0,+∞), ∴f′(x)=-2a2x+a==. ①当a=0时,f′(x)=>0, ∴f(x)在区间(1,+∞)上为增函数,不合题意. ②当a>0时,f′(x)≤0(x>0)等价于(2ax+1)·(ax-1)≥0(x>0),即x≥, 此时f(x)的单调递减区间为. 由得a≥1. ③当a<0时,f′(x)≤0(x>0)等价于(2ax+1)·(ax-1)≥0(x>0),即x≥-,此时f(x)的单调递减区间为. 由得a≤-. 综上,实数a的取值范围是∪[1,+∞). [针对训练] (2014·荆州质检)设函数f(x)=x3-x2+bx+c,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1. (1)求b,c的值; (2)若a>0,求函数f(x)的单调区间; (3)设函数g(x)=f(x)+2x,且g(x)在区间(-2,-1)内存在单调递减区间,求实数a的取值范围. 解: (1)f′(x)=x2-ax+b, 由题意得即 (2)由 (1)得,f′(x)=x2-ax=x(x-a)(a>0), 当x∈(-∞,0)时,f′(x)>0, 当x∈(0,a)时,f′(x)<0, 当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0. 所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(a,+∞),单调递减区间为(0,a). (3)g′(x)=x2-ax+2, 依题意,存在x∈(-2,-1),使不等式g′(x)=x2-ax+2<0成立, 即x∈(-2,-1)时,a 当且仅当“x=”即x=-时等号成立, 所以满足要求的a的取值范围是(-∞,-2). 考点四: 用导数解决函数的极值问题 [典例] (2013·福建高考节选)已知函数f(x)=x-1+(a∈R,e为自然对数的底数). (1)若曲线y=f(x)在点(1,f (1))处的切线平行于x轴,求a的值; (2)求函数f(x)的极值. [解] (1)由f(x)=x-1+,得f′(x)=1-. 又曲线y=f(x)在点(1,f (1))处的切线平行于x轴, 得f′ (1)=0,即1-=0,解得a=e. (2)f′(x)=1-, ①当a≤0时,f′(x)>0,f(x)为(-∞,+∞)上的增函数,所以函数f(x)无极值. ②当a>0时,令f′(x)=0,得ex=a,即x=lna. x∈(-∞,lna),f′(x)<0;x∈(lna,+∞),f′(x)>0, 所以f(x)在(-∞,lna)上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增, 故f(x)在x=lna处取得极小值, 且极小值为f(lna)=lna,无极大值. 综上,当a≤0时,函数f(x)无极值; 当a>0时,f(x)在x=lna处取得极小值lna,无极大值. [针对训练] 设f(x)=2x3+ax2+bx+1的导数为f′(x),若函数y=f′(x)的图像关于直线x=-对称,且f′ (1)=0. (1)求实数a,b的值; (2)求函数f(x)的极值. 解: (1)因为f(x)=2x3+ax2+bx+1, 故f′(x)=6x2+2ax+b, 从而f′(x)=62+b-, 即y=f′(x)关于直线x=-对称. 从而由题设条件知-=-,即a=3. 又由于f′ (1)=0,即6+2a+b=0, 得b=-12. (2)由 (1)知f(x)=2x3+3x2-12x+1, 所以f′(x)=6x2+6x-12=6(x-1)(x+2), 令f′(x)=0, 即6(x-1)(x+2)=0, 解得x=-2或x=1, 当x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0, 即f(x)在(-∞,-2)上单调递增; 当x∈(-2,1)时,f′(x)<0, 即f(x)在(-2,1)上单调递减; 当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0, 即f(x)在(1,+∞)上单调递增. 从而函数f(x)在x=-2处取得极大值f(-2)=21, 在x=1处取得极小值f (1)=-6. 考点五运用导数解决函数的最值问题 [典例] 已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R). (1)求函数f(x)的单调区间; (2)当a>0时,求函数f(x)在[1,2]上的最小值. [解] (1)f′(x)=-a(x>0), ①当a≤0时,f′(x)=-a>0, 即函数f(x)的单调增区间为(0,+∞). ②当a>0时,令f′(x)=-a=0,可得x=, 当0 当x>时,f′(x)=<0, 故函数f(x)的单调递增区间为, 单调递减区间为. (2)①当≤1,即a≥1时,函数f(x)在区间[1,2]上是减函数,∴f(x)的最小值是f (2)=ln2-2a. ②当≥2,即0 (1)=-a. ③当1<<2,即 (2)-f (1)=ln2-a,∴当 (1)=-a; 当ln2≤a<1时,最小值为f (2)=ln2-2a. 综上可知, 当0 当a≥ln2时,函数f(x)的最小值是ln2-2a. [针对训练] 设函数f(x)=alnx-bx2(x>0),若函数f(x)在x=1处与直线y=-相切, (
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