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高阶微分方程
第四章高阶微分方程
例4-1设Xit-,Xn(t),Xnit是n阶非齐次线性方程
Xna_!
tX2!
亠亠antX=ft
(1)
的在区间a,b1上的n1个线性无关的解,则方程
(1)在区间a,b1上的任何解Xt,都可以表示为
Xt二CiXitF:
;…川CnXnt•CniXn1t
其中C^'■Cn■Cn1=1,反过来,若Xit,…,Xn(t),Xn.it是方程
(1)在区间fe,b1
上的n•1个线性无关的解,则
CiXitCnXnt-Cn.凶it
必为方程
(1)在区间a,b上的解,其中G亠■-Cn■Cn^1o
证构造函数Xi-Xn1,X2-Xn1,…,Xn-Xn1,显然,它们是方程
(1)所对应的齐次方程
xna1txn」L:
;“_:
;'antx=0
(2)
的n个解,并且在区间la,b1上线性无关。
若不然,假设存在一组不全为零的数G,C2,…,Cn
使得rb,b1
GXi—XniC2X2—Xni-CnX^Xn1=0,
即
CiXiC2X^CnX^CiC^CnXn^0,
与Xit,…,Xn(t),Xnit是区间a,bl上的n1个线性无关的解相矛盾。
因此,由定理4.7,方程
(1)的任何解Xt都可以表示为
Xt二CiXi—XniC2X2—XniCnX.一X.iX.1
=C1X1C2X2CnXn1-C
xt=CiXitCnXntCniXn1t
其中Ci亠•亠Cn•Cn1=1。
反过来,若x1t,…,xn(t),xn1t是方程
(1)在区间a,b1上的n-1个线性无关的解,
设
xt-C1x1CnxntCn-1xn-1t
^C1x1C2x2
Cnxn〔-O-C2--Cnxn-1
=C1x1_xn1C2x2-Xn小戶-八:
「Cnx^-xn-1'xn-1,
因为C1X1-Xn1*C2X2-Xn1*CnXn-Xn1是对应的齐次方程
(2)的解,
所以xt必为方程
(1)在区间a,b1上的解。
评注:
n阶非齐次线性方程的解的全体虽不能构成线性空间,但任一解均可由它的nT
个线性无关的解线性表示,只是表示的系数之和需为1。
例4-2已知方程
F
pxuqxu^O
(1)
其中px,qx是b,b1上的连续函数,px-0,若u(x)v(x)为
(1)的两个解,贝V
pxuxvX-uxvx恒等于常数。
证将方程
(1)改写为下面方程
pxupxuqxu=0,
记u(xv(x)—『(xv(x)=ux)Vx1u(x)v(xb
由于
pXuXvX-uXvX1
u(x)v(x
1-
d(x)v'(x
L
u(x)
v(x]1
u'(x)vlx
)p(x)]
U(X)v(x
uS
畑
-J
二p(x)
=p\x)
u(x)v(x)_u(x)v(x)
u"(x)v"(x)pF(x)u[x)+q(x)u(x)p"(x)V(x)+q(x)v(x)
ux
Ux
u(x)v(x)
p©)U(x)p「(x)v(x)
故pxuxvx-ixvx恒等于常数。
评注:
表明两个解的朗斯基行列式与系数的关系。
例4-3给定方程x”-p2(t)x=0,证明,当p(t)在(」:
「:
)是奇函数或偶函数时,满足初始条件x(0)=1,x(0)=0的解是一个处处为正的偶函数。
证设满足初始条件x(0)=1,x(0)=0的解为yt),贝y
2y(t)—p(t)yt)=0—t(—:
:
=),
当然也有
o
f(-t)_p(-t)y-t)=0
成立。
由于p(t)在(-:
:
,•:
:
)是奇函数或偶函数,并且y(-t)=y(t),所以可得
y(t)-p2(t)y-t)=0,
故有p2(t)[y-t)-yt)]=0~t(-:
:
=)。
当p(t)二0时,方程变为x”=0,则满足初始条件x(0)=1,x(0H0的解为yt)=1,问题得证。
当p(t)不恒为零时,y-t)-yt)=0,即卩yt)为偶函数。
再证明yt)•0,一t•(Y,,•:
:
)。
若不然,由x(o)=1,必存在t°,使得yt°)=0,而当t(0,t°),yt)•0,则可得y(t。
)=0或者y(t。
):
:
:
0。
由y(t。
)=0知,yt)满足初始条件yt0)=0,y(t°)=0,则yt)=0,与yt)满足
初始条件x(0)=1,x(0)=0矛盾。
另外,©(t0):
:
:
0也不可能成立。
因为胪(t)—p2(t)©(t)=o,则当t€(O,to),0(t)=fp2(t)yt)dt>0,再由s(t)
的连续性得©(to)_0,与©(to):
:
:
0矛盾。
这就证明了©t)是一个处处为正的偶函数。
评注:
不通过求解,而直接从方程本身出发研究解的性质。
例4-4证明:
对于二阶常系数线性非齐次方程
ypyqy=f(x),若p2_4q=0
的通解。
作变量变换y=ze2,则
代入方程将其转化为
整理化简,得
对应齐次方程为y”•2y'y=0,其特征方程22^0有两个相等的根为-1,
所以,齐次方程的通解为(&•c2x)e^。
210
z=1xx川…川X,
x2x3x12
直接积分得其特解为z,原方程的通解为
26132
/2312\
」xxx:
y=©+C2x)e…+——e。
26132丿
评注:
更一般地,我们可证对于方程y(n)■a1y(nJ^•亠any=f(x),若其特征方程F(耳=0有n重根入*,则经变换y=zeXx,方程可变为z(n)=f(x)^*x。
利用这个结论能方便地求常系数线性非齐次方程的特解。
例4-5对于二阶线性非齐次方程
yp(x)yq(x)y二f(x)
(1)
若存在R(x),满足黎卡提方程
2
R二-[Rp(x)Rq(x)]
(2)
试证方程
(1)的通解为y二e阳e_即p"x(f(x)e侃P)dxdxC1)dxC2]。
证对于方程
(1),作变换y=,
于是
(1)化为
e阶皿冷2RzRzR2zp(zRz)qz]=f(x),
2…R(x)dx
即z(2Rp)z(RR2pRq)z=f(x)e。
由于R(x)满足方程
(2),则上方程可化为
z(2Rp)z=f(x)e_dx,
z'e—(2Rp)dx(.f(x)e—R(x)dxe(2"dxdxC1),
•|(2Rp)dx-R(x)dx(2Rp)dx
z=.[e(.f(x)eedxC1)]dxC2。
所以原方程的通解为
R(x)dx-(2R-p)dx(Rp)dx
y=e[e(f(x)edxCJdxC2]。
评注:
本例告诉我们,一个二阶线性方程与一个一阶黎卡提方程之间的关系。
对于方程
(1),若R(x)是黎卡提方程
(2)的一个解,则方程
(1)有特解
yo=eR(x)dx[.e」2Rp)dx(.f(x)e(Rp)dxdx)dx],
则
(1)对应的齐次方程有特解
RdxRdx_(2R:
:
;p)dx
y^i=e,y2=eedx。
例4-6求解方程y';:
-(2sinx)y':
-[cosx-sin2x]y=0。
解因为黎卡提方程
R=-[R2-(2sinx)R-(cosx-sin2x)]
即
22
R--R2sinxRcosx-sinx。
容易观察得到黎卡提方程有一特解为
sinx,所以原方程有一特解为
sinxdx
yi二e
-cosx
yi=e
另一特解为
所以原方程的通解为y=(G•C2x)e」osx。
评注:
利用前一题的方法。
例4-7对于n阶线性微分方程
nn4
(1)
dx/xvdxdx
齐ai(t)市,anj(t)an(t)x=f(t)
dtdtdt
若;:
(t)是对应齐次方程的一个非平凡解,试证经过线性变换后,方程
(1)变换成n-1阶的
线性方程。
对于二阶线性方程X:
a(t)/b(t)x=f(t),如果:
(t)是对应齐次方程的一个
非平凡解,该方程可求解。
证令线性变换X二「(t)y,将其代入方程
(1)可得
bn(t)y二f(t)
(2)
(t)瞑bi(t)d^J皿(心
dtndtndt
其中bn(t^:
(n)(t)a1(tb:
(nJ)(t^-an(t):
(t)。
因为:
(t)是
(1)对应的齐次方程的解,贝Ubn(t)=0,从而在使"t)=0的任何区间上
dn」zdn'Z
d-"厂、(t)z=g⑴
其中Ci⑴二器广,心)=错52老。
对于二阶线性方程x"•a(t)x:
b(t)x=f(t),经过变换x=(t)y,得到
:
(t)y(2「(t)a(t)「(t))y=f(t)
再令z=y:
即
z(2&(t)a(t)Mt))z
X)
Mt),
这是一个一阶线性方程,容易求出它的通解为
性变换归结为求解降低一阶的线性方程,这种方法就称为线性方程的降阶法。
例4-8求方程xy•2(i-x)y・(x-2)y=2ex的通解。
解容易观察出y=ex是对应的齐次方程
xy2(1—x)y(x—2)y=0
的一个特解。
若作线性变换y=vex,则有
[x(v2vv)2(1—x)(vv)(x—2)v]ex=2ex,
xv2v=2,
再令w=v■,便有xw'2w=2,分离变量得
积分可得
Inw-1+2lnx=InCi
从而有
C1
v-xC2,
x
所以原方程的通解为
ax
y=[()bx]e(a--C1,b=C2)。
x
评注:
对于二阶变系数线性非齐次微分方程的求解,一般是先找到它对应的齐次方程
的一个特解,通过降阶法得到其通解,再利用常数变易法进行求解,所以,能否找到对应齐
次方程的一个特解成为解决问题的关键。
对于简单的方程,我们可以通过观察法来寻找这一
特解,对于复杂的方程,虽然没有一般的规律可循,但我们可以从方程的系数着手,得到一
些普遍适用的结果。
更一般地,容易证明,对于变系数高阶线性齐次方程
有以下结论成立:
a)若an4(t)tan(t^0,则特解为x=t;
b)若a。
(t)•◎(t)•an(t)=0,则特解为x=£;
C)若(-1)na°(t)•(-ifajt)-an」(t)•an(t)=0,则特解为x二e」;
d)若ao(t)rn-a!
(t)rnl-•亠an」(t)r-an(t)=0,则特解为x=e"。
本例恰好属于结论中的情形(b),所以就很容易知道它对应的齐次方程的一个特解
,熟悉了这一结论,有助于我们很快的找到对应的齐次方程的特解,参见下例。
例4-9解方程x^2x1/x•1y=(x2•x-1)e2x。
解因为x-2x•1]亠[X•1=0,所以ex是齐次方程xy'J〔2xTy'xTy=0的解。
若设y=vex,则有
&v2vv-2x1vvx1vkx=(x2x-1)e2x
即xv"」v=(x2x-1)ex,
11
再令w=v,便有ww(x1)ex,
xx'
解之得
11
w=x(x1)exdxC1]
xx
1
二x[exexC1]。
x
由于w=V,故
1
v==x[exexC1]dx
x
c
=xex-exex-1x2C2
2
二xexC1x2-2
2
从而方程的通解为y=xex+Cex。
<2丿
例4-10已知方程1—x2y'定-xy"・y'=0的一个特解yi=x2,求其通解。
解作变换
z=y
则方程化为二阶方程
(1)
1—x2z^-xzz=0
2
因为yi=x为原方程的解,故zi=2x为
(1)的解,所以方程
(1)的与zi线性无关
的解为
Z2
=2x丄「Tlx
4x
=-[x
x2J-x2
1;■
z21-x(取一个特解即可),
2
1i2
即得y2x1-x2dx,
2
y2x=xi1-x2arcsinx(取一个特解即可),
并且,由观察知,y=c为原方程的解,所以,y^t)=x2,y2x=xJ-x2•arcsinx,
y3(t)=1为原方程在-1,1上的线性无关解,即基本解组。
因此方程的通解为
y=Gx2C2x1-x2arcsinxC3
评注:
禾U用例4-7的结果。
注意,本例是先直接降一阶,利用变换再降一阶。
例4-11解方程x2yy(xy-y)2=0。
解解法1令y二xz,原方程变为
z[2zxz]x(z)2=0,
即
2zzx[zz(z)2]二0,
2zzx(zz)=0,
积分得
再积分得
(z2^°
C2,
2
E4叫丄入
凑导数得
2
(yy)-(孔)",
x
2
・yyy-
Ci
2
(y2』
x
评注:
高阶方程求解的一个关键环节就是
“降阶”凑导数法是降阶的有效方法,但有很
高的技巧性,需要熟知一些函数的恰当导数,如
知心,—心等。
x
x2
例4-12对于二阶线性微分方程
dx
p(x)鱼q(x)y=f(x),其中dx
p(x),q(x),f(x)在区间(a,b)上连续可微,当系数p(x),q(x)满足什么条件时,经过适当
的线性变换y二“X)z,将方程化为不含一阶导数项的常系数线性微分方程。
并求解方程
2
4y4xyxy=0。
证通过变换yh^(x)z,方程变为
d2zdz
(…)p(x)“x))帚「(X)p("(x)q(x)“x))z=f(x),
.丄|P(x)dx
根据题意,令2(x)p(x)「(x)=0,即取「(x)=e就可将方程化为
dx
所以,当系数p(x),q(x)满足q(x)-p(x)2p(x)二const(常数)时,方程化为不含一
4
x2
阶导数项的常系数线性微分方程,记l(x)=q(x)-p2(x)2p(x)
解方程4y4xyx2y=0,其中p(x)二x,q(x)
由于
I(x)
评注:
利用此结果,只需判断I(x)是否为常数,若是我们会很便捷地求出某些方程的
通解。
例4-13已知方程
^4p(x)业q(x)y二f(x)的三个解y^x,y^ex,y^e2x,
dxdx
求此方程满足初始条件y(0)=1,y(0)=2的特解。
解由性质4.2,(ex—x)和(e2x-x)均是方程对应的齐次方程的解,并且
2x
(常数),
从而它们线性无关,即(ex_x)、(e2x-x)是方程对应的齐次方程的基本解组,其通解为
x2x
Ci(e-x)C2(e-x)。
故原方程的通解为y=5®_x)•C2(e2x_x)•x,
又y二Ci(ex-1)C2(2e2x-1)1。
代入初始条件y(0)=1,y(0)=2,得
C1*C2日口C1=0
丿,即」,
c2+1=2C2=1
所求特解为y=e2x。
评注:
注意利用线性方程的性质,即非齐次线性方程与其对应齐次线性方程的解之间的关系。
例4-14设在方程
中p,q为实常数,函数f(t)于0_t:
:
:
■:
:
连续,试证:
1)当特征根入=技是实数时,方程有特解为
1t
~(t)1f(s)[e“z—e"2)]ds。
1-h0
2)当特征根入二沁二入时,方程有特解为
t
~(t)二(t-s)f(s)e"t_s)ds。
0
3)当特征根入=aiB,h=aiB时,其中a,B是实数,方程有特解为
1t
~(t)[f(s)ea(t-}sin%t-s)]ds。
B0
证1)由于特征根V是实数,则方程
(1)对应齐次方程的通解为
C1e1t-C2e?
2t。
用常数变易法求方程
(1)的特解。
设方程
(1)的特解~(t)形如C,t)extC2(t)e况的形式,则根据常数变易法公式
Cl(t),C2(t)满足
C;(t)e1tC2(t)e从=0
C,t)入e"C2(t)&e卩=f(t)'
从中解得
G(tr
1—>2
C2g归'
1一>
积分得
故方程
(1)的特解为
~(t)=G(t)e1tC2(t)e从
.f(s)e_"ds
0
-eJjf(s)efsdsl
0
t
.f(s)[eWe"2)]ds。
0
2)由于特征根入二沁,则方程
(1)对应齐次方程的通解为
t肚
C1eC2te。
设方程
(1)的特解~(t)形如C,t)e"・C2(t)te"的形式,则根据常数变易法公式
Cl(t),C2(t)满足
CKUe"+C;(t)te―0
C/(t)2e"+C2(t)(1+兀)e"=f(t)
从中解得
:
C;(t)一te」f(t)
C2(t)二e-”f(t)'
积分得
‘t
Ci(t)=-fse」f(s)ds
.0
t
c2(t)=Je-"f(s)ds
L.0
故方程
(1)的特解为
〜肚兀
x(t)二Ci(t)eC2(t)te
tt
--e无se^f(s)dste无e_"f(s)ds
00
tt
--se"」)f(s)dste"」)f(s)ds
00
t
=:
i(t-s)e"2)f(s)ds。
0
从中解得
1
C;(t)e_atf(t)sin3
3
C2(t)
1
e■atf(t)cos3
3
积分得
_as
故方程
(1)的特解为
~(t)=C1(t)eacos3C2(t)easin3
=_^(eacos3)e"
3sin(3sds
e川」)f(s)sin3cos3s-cos
1t[f(s)e"(t」)sin3(t「s)]ds。
3
评注:
从证明过程中可以看到,本例中的积分下限
0可以换成t0,只要将题设中的条
件“函数f(t)于0乞t:
:
:
•:
:
连续”改为“函数f(t)于如:
:
:
•:
:
连续”即可。
这里给出了二阶
常系数线性非齐次方程求特解的一般公式,特别当方程右端函数不满足待定系数法的类型时
d2x
尤为简捷实用。
例4-15解方程2-x=costcos2tet。
dt
解首先求齐次线性方程的通解。
特征方程为'2-1=0,特征根为’1=T,'2=1,
通解为~(t)=C1etC2e4。
然后求非齐次线性方程的特解(两种方法)。
11
解法1因为costcos2te=一dcos3t+—dcost,
22
用待定系数法分别求得下列两个方程
dt2
的特解为
11
x;(t)二(cos3tsin3t)et,
2639
11
x2(t)二(costsint)et,
105
根据非齐次线性方程的叠加原理,便知原方程的一个特解为
解法2因为
用待定系数法分别求四个方程
3-2i(13)tX4(t)e()。
111
26cos3t护n3t-皆0st行引心。
最后写出原方程的通解。
1111
原方程的通解为X®Ch^26cos3t护n3t一110cost5sint)et。
评注:
将右端函数转变为类型n(或类型i)之和的形式,应用非齐次线性方程的叠加原理和定理4.9,求得原方程的一个特解。
例4-161)已知y(x)=x3e」是某一四阶实常系数线性齐次方程的一个解,求其通
解,并确定该方程。
2)已知y(x)二xcos4x是某一个四阶实常系数线性齐次方程的一个解,求其通解,
并确定该方程。
3)求作一个三阶实常系数线性齐次方程,使它有特解2xe」,e2x。
4)已知某一个四阶实常系数线性齐次方程只有特征根0,一4i,求其通解,并确定
该方程。
解1)若x3e是方程的解,则x2e_x,xe」,e」也是该方程的解,它们构成了一个四阶实常系数齐次微分方程的基本解组,故通解为
yx=Gx3e」+C2x2e」+C3xe」C4e)。
由此得到,一1是所求特征方程的四重根,即
■1=0,
展开得
扎4+4+6九2+4人+1=0,
因而,所求方程为
y+)+4y曲+6y“+4y+y=0。
2)若xcos4x是方程的解,则xsin4x,cos4x,sin4x也是该方程的解,它们构
成了一个四阶实常系数齐次微分方程的基本解组,故通解为
yx=C1xco4x+C2xsin4x+C3cos4xC4sin4x。
由此得到,_4i是所求特征方程的二重共轭复根,即
展开得
'432,2256=0,
因而,所求方程为
y432y256y=0。
3)若2xe公是方程的解,则e公也是该方程的解,因而所作方程的基本解组为
e公,xe弋e2x,其特征根为
,1,2=-1,'3=2,
特征方程为
23
(■1)(一2)=0,即’一3—2=0,
故所求作的方程为厂-3y〔2y=0。
4)因为某一个四阶实常系数线性齐次方程只有特征根是0,一4i,而四阶常系数线性齐次方程应该具有四个特征根,包括重根,并由于是实系数的,所以0为其二重根,故方程的特征根为入亡=0
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