量子力学 波函数的统计诠释和态叠加原理Word格式文档下载.docx
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i
(p⋅r−Et)
,
Ae
这种波称为德布罗意波。
其中,
E=hν=ω,
h
pnk
==
。
2.1、波函数的统计诠释2.1.2、实物粒子波动性的两种解释
场中的粒子:
如果粒子受到随时间或位置变化的力的作用,则动能
和动量不是常量。
用一个函数表示来描写这个波,
Ψ=Ψ。
(r;
t)
那么,该如何理解波函数和它所描写的粒子之间的关
系呢?
微观粒子的波粒二象性该怎么理解呢?
2.1.2、实物粒子波动性的两种解释
(1)认为物质波是粒子的某种实际结构,即看成三维空
间中连续分布的某种波包。
波包是各种波数(长)平面波的迭加,自由粒子的物
质波包必然会扩散,粒子将越来越胖,与实验矛盾;
另外,
散射实验观测到的总是一个一个的电子,从未观测到波包
的一部分。
夸大了粒子波动性的一面,抹杀了粒子性的一面。
(2)认为波动性是大量粒子分布于空间形成的疏密波
类似与空气振动出现的纵波。
然而电子一个一个的通
过小孔,但只要时间足够长,底片上逐渐呈现出衍射花纹,
这说明单个电子就具有波动性。
夸大了粒子性的一面,抹杀了粒子波动性的一面。
2.1、波函数的统计诠释2.1.3、概率波
以上两种解释都是错误的,电子既不是经典的粒子也
不是经典的波。
•电子的粒子性:
有电荷、质量等粒子属性,但没有确
切的轨道概念。
•电子的波动性:
本质上是指波的相干叠加性。
2.1.3、概率波
1926年,玻恩(Born)首先提出了波函数的统计解释,即:
波函数在空间某一点的强度(振幅绝对值的平方)和在该
点找到粒子的概率成正比。
这样,描述粒子的波乃是概率
波。
量子力学的基本假定之一。
描述微观粒子状态的波函数为Φ(r,t),其强度为,
Φ=ΦΦ。
2*
根据波函数的统计诠释,在t时刻、r点附近单位体积
中找到粒子的概率为,
,
其中是概率密度,C是比例常数。
这样,t时刻、附近dτ体积元中找到粒子的概率为,
波函数的归一化
粒子在整个空间中出现的概率为1,即要求波函数满足如
下条件,
,∫
CΦrt2dτ=
|(,)|1
∞
这称为波函数的归一化条件。
波函数的归一化条件要求波
函数绝对值平方在全空间可积。
则,比例系数C可得,
C
=
1
∫
|(,)|
Φrt2dτ
粒子在空间各点出现的概率只决定于波函数在空间各点
的相对强度。
这样如果令,,波函数描写的状态并不
改变,归一化条件为,
波函数Ψ称为归一化波函数,常数C称为归一化因子。
这样和描写的是粒子的同一个状态,只是
为归一化波函数,而是没有归一化的波函数。
相位不定性
如:
,实数,
即波函数在归一化后仍然有一个相位因子eiδ的不确定性。
讨论:
(1)波函数Φ一般为复数,不表示真实的物理量,只
有其模平方|Φ|2才有物理意义。
(2)由于粒子在空间出现的几率为1,所以各点出现
的概率值决定于波函数在空间各点的相对强度,而不决定
于强度的绝对大小,即使将波函数乘上常数后所描述的状
态不变。
Ψ=Φ,和描述的是同一量子状态。
t时刻,
C1,2
rr
附近单位体积内找到粒子的几率之比为,
w(r,t)|C(r,t)||(r,t)||(r,t)|
ΦΨΦ
222
===,
1111
Φ2Ψ2Φ
22222
(3)归一化条件并不是唯一的,对于在全空间中对波函
数模平方积分为1的条件,对于有些波函数是没有意义的。
比如自由粒子波函数,,就不满足这个条件。
至于这种波函数如何归一化的问题,后面再讨论。
(4)归一化的波函数可以含有任意相因子。
2.1、波函数的统计诠释2.1.5、统计诠释对波函数的要求
2.1.5、统计诠释对波函数的要求
(1)可积性:
=有限值。
|(r,t)|d
Ψ2
τ
(2)归一化(如平方可积):
∫|Ψ(r,t)|2dτ=1
|Ψ(r,t)|具有单值性。
注意:
不是Ψ(r,t)。
(3)单值性:
2
及其各阶导数连续。
(4)连续性:
Ψ(r,t)
2.2、态叠加原理2.1.5、统计诠释对波函数的要求
2.2、态叠加原理
量子力学中描述微观粒子量子状态的方式和经典力学
中用坐标和动量的确定值来描述质点的状态完全不同,这
种差别来源于微观粒子的波粒二象性。
波函数的统计诠释
是波粒二象性的一个表现。
微观粒子的波粒二象性还通过量子力学中关于状态的
一个基本原理——态叠加原理表现出来。
2.2、态叠加原理2.2.1、态函数及量子态
2.2.1、态函数及量子态
当给定波函数:
粒子的位置是不确定的,
粒子的几率分布是确定的。
可以证明:
此时粒子的其他可观测量(如:
能量、动量等)
的观测值及其几率分布也是完全确定的。
因此,可以用来完全描述微观粒子的状态,称之为
态函数。
而所描写的状态为量子态。
2.2、态叠加原理2.2.2、态叠加原理
量子态:
微观粒子的运动状态(物理状态)。
各种力学量
的值是不确定的,但是他们的可能值及其分布几率是确定
的。
对这种态的描述是统计性的
2.2.2、态叠加原理
经典物理中,声波和光波都遵循叠加原理,两个可能的
波动过程φ1,φ2的线形迭加的结果
aφ+bφ也是一个可能
12
的波动过程。
量子力学中,如果
ΨΨ是体系的可能状态,那么它们
1,2ΨΨ是体系的可能状态,那么它们
的线性迭加,Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2,(c1,c2为复数),也是这个
体系的可能状态。
这就是量子力学中的态叠加原理。
此时,粒子出现的几率为,
如为双缝衍射,则,
第一项:
粒子穿过狭缝1出现在P点的几率;
第二项:
粒子穿过狭缝2出现在P点的几率;
第三、四项:
的干涉相。
因此,可以看到,叠加是指对态()的叠加,而不是对
概率()的叠加。
态叠加原理还有如下含义:
当粒子处于态
Ψ和
Ψ的叠加
态Ψ时,粒子既处于态
Ψ(几率为)又处于态
Ψ(几
率为)。
态迭加原理的一般表达式,
Ψ=∑Ψ,
c
nn
n
c1,c2……为复数。
当系统处于态Ψ时,体系部分地处在中,相应
的概率分别为。
叠加系数的意义:
:
表示了量子态在所有可能的态中所占的比例。
因此,具有几率的意义。
2.2、态叠加原理对叠加原理的认识
对叠加原理的认识
(1)态叠加是对波函数的叠加,不是对概率的叠加;
(2)态叠加是同一量子体系自身状态的叠加;
(3)叠加系数的模平方2
|c|具有几率意义。
2.2、态叠加原理2.2.3、动量的几率分布
2.2.3、动量的几率分布
具有确定动量的粒子的运动状态用波函数表示为
由态叠加原理,粒子的状态Ψ可以表示为取多种可能
值的平面波的线性叠加:
由于可以连续变化,求和改为积分:
式中,,
为归一化因子。
将乘以(6)式两边,并对全空间积分,得:
得,
比较:
上两式互为傅立叶变换式,,是波函数的两
种不同的描述方式。
是以坐标为自变量的波函数。
则是以动量为自变量的波函数。
:
t时刻,粒子处于处的概率;
t时刻,粒子具有动量的概率。
刻画粒子在坐标空间中的分布概率;
刻画粒子在动量空间中的分布概率;
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