全国高考新课标卷理科数学试题解析版.doc
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高考真题高三数学
2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标2卷
理科数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.作答时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.=()
A.--i B.-+i C.--i D.-+i
解析:
选D
2.已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为()
A.9 B.8 C.5 D.4
解析:
选A问题为确定圆面内整点个数
3.函数f(x)=的图像大致为()
解析:
选Bf(x)为奇函数,排除A,x>0,f(x)>0,排除D,取x=2,f
(2)=>1,故选B
4.已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=()
A.4 B.3 C.2 D.0
解析:
选Ba·(2a-b)=2a2-a·b=2+1=3
5.双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为()
A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x
解析:
选Ae=c2=3a2b=a
6.在ΔABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=()
A.4 B. C. D.2
解析:
选AcosC=2cos2-1=-AB2=AC2+BC2-2AB·BC·cosC=32AB=4
7.为计算S=1-+-+……+-,设计了右侧的程序框图,则在空白框中应填入()
A.i=i+1B.i=i+2C.i=i+3D.i=i+4
解析:
选B
8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是()
A. B. C. D.
解析:
选C不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10个,从中选2个其和为30的为7+23,11+19,13+17,共3种情形,所求概率为P==
9.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()
A. B. C. D.
解析:
选C建立空间坐标系,利用向量夹角公式可得。
10.若f(x)=cosx-sinx在[-a,a]是减函数,则a的最大值是()
A. B. C. D.π
解析:
选Af(x)=cos(x+),依据f(x)=cosx与f(x)=cos(x+)的图象关系知a的最大值为。
11.已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f
(1)=2,则f
(1)+f
(2)+f(3)+
…+f(50)=()
A.-50 B.0 C.2 D.50
解析:
选C由f(1-x)=f(1+x)得f(x+2)=-f(x),所以f(x)是以4为周期的奇函数,且f(-1)=-f
(1)=-2,f(0)=0,f
(1)=2,f
(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0;f
(1)+f
(2)+f(3)+…+f(50)=f
(1)+f
(2)=2
12.已知F1,F2是椭圆C:
+=1(a>b>0)的左,右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,ΔPF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=1200,则C的离心率为()
A. B. C. D.
解析:
选DAP的方程为y=(x+a),∵ΔPF1F2为等腰三角形∴|F2P|=|F1F2|=2c,
过P作PH⊥x轴,则∠PF2H=600,∴|F2H|=c,|PH|=c,∴P(2c,c),代入AP方程得4c=a
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为__________.
解析:
y=2x
14.若x,y满足约束条件,则z=x+y的最大值为__________.
解析:
9
15.已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,则sin(α+β)=__________.
解析:
-两式平方相加可得
16.已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为,SA与圆锥底面所成角为45°,若ΔSAB的面积为5,则该圆锥的侧面积为__________.
解析:
设圆锥底面圆半径为r,依题SA=r,又SA,SB所成角的正弦值为,则×2r2×=5
∴r2=40,S=π×r×r=40
三、解答题:
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第22、23为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
共60分。
17.(12分)
记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求Sn,并求Sn的最小值.
解:
(1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15,由a1=-7得d=2.所以{an}的通项公式为an=2n-9.
(2)由
(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为−16.
18.(12分)
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:
亿元)的折线图.
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,17)建立模型①:
=-30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,7)建立模型②:
=99+17.5t.
(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?
并说明理由.
解:
(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
=-30.4+13.5×19=226.1(亿元).
利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
=99+17.5×9=256.5(亿元).
(2)利用模型②得到的预测值更可靠.
理由如下:
(ⅰ)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线=-30.4+13.5t上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.
(ⅱ)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠.
以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.
19.(12分)
设抛物线C:
y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.
(1)求l的方程;
(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.
解:
(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0).
设A(x1,y1),B(x2,y2),由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
Δ=16k2+16>0,故x1+x2=.
所以|AB|=x1+x2+2=+2=8,解得k=-1(舍去),k=1.
因此l的方程为y=x-1.
(2)由
(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.
设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则解得或
因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.
20.(12分)
如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.
(1)证明:
PO⊥平面ABC;
(2)若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为300,求PC与平面PAM所成角的正弦值.
解:
(1)因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OP⊥AC,且OP=2.
连结OB.因为AB=BC=AC,所以ΔABC为等腰直角三角形,
且OB⊥AC,OB=AC=2.
由OP2+OB2=PB2知OP⊥OB.
由OP⊥OB,OP⊥AC知OP⊥平面ABC.
(2)如图,以O为坐标原点,建立如图空间直角坐标系.
由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0,),P(0,0,2),=(0,0,2)
取平面PAC的法向量=(2,0,0).
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