全国高考理科数学试题及答案全国卷.doc
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2008年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(必修+选修Ⅰ)
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.第I卷1至2页,第II卷3至9页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
考生注意:
1.答题前,考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚,并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.
2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3.本卷共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
参考公式:
如果事件互斥,那么 球的表面积公式
如果事件相互独立,那么 其中表示球的半径
球的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是,那么
次独立重复试验中恰好发生次的概率 其中表示球的半径
一、选择题
1.函数的定义域为()
A. B.
C. D.
2.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数,其图像可能是()
s
t
O
A.
s
t
O
s
t
O
s
t
O
B.
C.
D.
3.在中,,.若点满足,则()
A. B. C. D.
4.设,且为正实数,则()
A.2 B.1 C.0 D.
5.已知等差数列满足,,则它的前10项的和()
A.138 B.135 C.95 D.23
6.若函数的图像与函数的图像关于直线对称,则()
A.e2x-1 B.e2x C.e2x+1 D.e2x+2
7.设曲线在点处的切线与直线垂直,则()
A.2 B. C. D.
8.为得到函数的图像,只需将函数的图像()
A.向左平移个长度单位 B.向右平移个长度单位
C.向左平移个长度单位 D.向右平移个长度单位
9.设奇函数在上为增函数,且,则不等式的解集为()
A. B.
C. D.
10.若直线通过点,则()
A. B. C. D.
11.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,在底面内的射影为的中心,则与底面所成角的正弦值等于()
A. B. C. D.
12.如图,一环形花坛分成四块,现有4种不同的花供选种,要求在每块里种1种花,且相邻的2块种不同的花,则不同的种法总数为()
D
B
C
A
A.96 B.84 C.60 D.48
2008年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(必修选修Ⅰ)
第Ⅱ卷
注意事项:
1.答题前,考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,然后贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.
2.第Ⅱ卷共7页,请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,在试题卷上作答无效.
3.本卷共10小题,共90分.
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上.
(注意:
在试题卷上作答无效)
13.13.若满足约束条件则的最大值为.
14.已知抛物线的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为.
15.在中,,.若以为焦点的椭圆经过点,则该椭圆的离心率.
16.等边三角形与正方形有一公共边,二面角的余弦值为,M、N分别是AC、BC的中点,则EM、AN所成角的余弦值等于.
三、解答题:
本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)
(注意:
在试题卷上作答无效)
设的内角所对的边长分别为a、b、c,且.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的最大值.
18.(本小题满分12分)
(注意:
在试题卷上作答无效)
四棱锥中,底面为矩形,侧面底面,,,.
(Ⅰ)证明:
;
(Ⅱ)设与平面所成的角为,求二面角的大小.
C
D
E
A
B
19.(本小题满分12分)
(注意:
在试题卷上作答无效)
已知函数,.
(Ⅰ)讨论函数的单调区间;
(Ⅱ)设函数在区间内是减函数,求的取值范围.
20.(本小题满分12分)
(注意:
在试题卷上作答无效)
已知5只动物中有1只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物.血液化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性的即没患病.下面是两种化验方法:
方案甲:
逐个化验,直到能确定患病动物为止.
方案乙:
先任取3只,将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验.
(Ⅰ)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率;
(Ⅱ)表示依方案乙所需化验次数,求的期望.
21.(本小题满分12分)
(注意:
在试题卷上作答无效)
双曲线的中心为原点,焦点在轴上,两条渐近线分别为,经过右焦点垂直于的直线分别交于两点.已知成等差数列,且与同向.
(Ⅰ)求双曲线的离心率;
(Ⅱ)设被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.
22.(本小题满分12分)
(注意:
在试题卷上作答无效)
设函数.数列满足,.
(Ⅰ)证明:
函数在区间是增函数;
(Ⅱ)证明:
;
(Ⅲ)设,整数.证明:
.
参考答案
一、选择题
1、C 2、A 3、A 4、D 5、C 6、B
7、D 8、A 9.D 10.D. 11.B. 12.B.
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上.
13.答案:
9. 14.答案:
2. 15.答案:
. 16.答案:
.
三、解答题:
本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.解析:
(Ⅰ)由正弦定理得
a=
acosB-bcosA=()c
=
=
=
依题设得
解得tanAcotB=4
(II)由(I)得tanA=4tanB,故A、B都是锐角,于是tanB>0
tan(A-B)=
=
≤,
且当tanB=时,上式取等号,因此tan(A-B)的最大值为
18.解:
(I)作AO⊥BC,垂足为O,连接OD,由题设知,AO⊥底面BCDE,且O为BC中点,
由知,Rt△OCD∽Rt△CDE,
从而∠ODC=∠CED,于是CE⊥OD,
由三垂线定理知,AD⊥CE
(II)由题意,BE⊥BC,所以BE⊥侧面ABC,又BE侧面ABE,所以侧面ABE⊥侧面ABC。
作CF⊥AB,垂足为F,连接FE,则CF⊥平面ABE
故∠CEF为CE与平面ABE所成的角,∠CEF=45°
由CE=,得CF=
又BC=2,因而∠ABC=60°,所以△ABC为等边三角形
作CG⊥AD,垂足为G,连接GE。
由(I)知,CE⊥AD,又CE∩CG=C,
故AD⊥平面CGE,AD⊥GE,∠CGE是二面角C-AD-E的平面角。
CG=
GE=
cos∠CGE=
所以二面角C-AD-E为arccos()
解法二:
(I)作AO⊥BC,垂足为O,则AO⊥底面BCDE,且O为BC的中点,以O为坐标原点,射线OC为x轴正向,建立如图所示的直角坐标系O-xyz.
设A(0,0,t),由已知条件有
C(1,0,0),D(1,,0),E(-1,,0),
所以,得AD⊥CE
(II)作CF⊥AB,垂足为F,连接FE,
设F(x,0,z)则=(x-1,0,z),
故CF⊥BE,又AB∩BE=B,所以CF⊥平面ABE,
∠CEF是CE与平面ABE所成的角,∠CEF=45°
由CE=,得CF=
又CB=2,所以∠FBC=60°,△ABC为等边三角形,因此A(0,0,)
作CG⊥AD,垂足为G,连接GE,在Rt△ACD中,求得|AG|=|AD|
故G[]
又
所以的夹角等于二面角C-AD-E的平面角。
由cos()=
知二面角C-AD-E为arccos()
(19)解:
(Ⅰ)f´(x)=3x2+2ax+1,判别式Δ=4(a2-3)
(i)若a>或a<,则在上f´(x)>0,f(x)是增函数;
在内f´(x)<0,f(x)是减函数;
在上f´(x)>0,f(x)是增函数。
(ii)若0,故此时f(x)在R上是增函数。
(iii)若a=,则f´()=0,且对所有的x≠都有f´(x)>0,故当a=时,f(x)在R上是增函数。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,只有当a>或a<时,f(x)在内是减函数。
因此 ≤ ①
且 ≥ ②
当|a|>时,由①、②解得a≥2
因此a的取值范围是[2,+∞)。
(20)解:
记A1、A2分别表示依方案甲需化验1次、2次,
B1、B2分别表示依方案乙需化验2次、3次,
A表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数。
依题意知A2与B2独立。
(Ⅰ)
,,。
P()=P(A1+A2·B2)
=P(A1)+P(A2·B2)
=P(A1)+P(A2)·P(B2)
=
=
所以P(A)=1-P()==0.72
(Ⅱ)ξ的可能取值为2,3.
P(B1)=,P(B2)=,P(ξ=2)=P(B1)=,P(ξ=3)=P(B2)=,
所以Eξ=(次)。
(21)解:
(Ⅰ)设双曲线方程为(a>0,b>0),右焦点为F(c,0)(c>0),则c2=a2+b2
不妨设l1:
bx-ay=0,l2:
bx+ay=0
则 ,
。
因为2+2=2,且
=2-,
所以2+2=(2-)2,
于是得tan∠AOB=。
又与同向,故∠AOF=∠AOB,
所以
解得 tan∠AOF=,或tan∠AOF=-2(舍去)。
因此 。
所以双曲线的离心率e==
(Ⅱ)由a=2b知,双曲线的方程可化为
x2-4y2=4b2①
由l1的斜率为,c=b知,直线AB的方程为
y=-2(x-b)②
将②代入①并化简,得
15x2-32bx+84b2=0
设AB与双曲线的两交点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则
x1+x2=,x1·x2=③
AB被双曲线所截得的线段长
l=④
将③代入④,并化简得l=,而由已知l=4,故b=3,a=6
所以双曲线的方程为
22、解:
(I)当0 f′(x)=1-lnx-1=-lnx>0 所以函数f(x)在区间(0,1)是增函数, (II)当0 又由(I)有f(
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- 全国 高考 理科 数学试题 答案 全国卷