伺服系统设计Word文件下载.docx
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用式(5.92)减去(5.93),可得
x(t)-x()=(A-BK)[x(t)-x(:
)](5.94)
定义
x(t)-x(:
)=e(t)
因此,式(5.94)成为
e=(A-BK)e(5.95)
式(5.95)描述了误差动态特征。
因此,I型闭环伺服系统的设计转化为:
对于给定的任意
初始条件e(0),设计一个渐近稳定的调节器系统,使得e(t)
趋于零。
如果由式(5.89)确定的系统是状态完全能控的,
则对矩阵A-BK通过指定的期望特征值卩1,卩2,…,卩n,可由5.2节介绍过的极点配置方法来确定线性反馈增益矩阵
x(t)和u(t)的稳态值求法如下:
在稳态(t八:
)时,由
式(5.92)可得
x()=0=(^BK)xC)Bk1r
由于A-BK的期望特征值均在s的左半平面,所以矩阵
A-BK的逆存在。
从而,x
(二)可确定为
)=-(A-BK)'
1Bk1r
同样,u(:
:
)可求得为
u(:
)=-Kx(:
)k1^0
[例5.7]考虑被控系统传递函数具有一个积分器时的I型
闭环伺服系统的设计。
假设被控系统的传递函数为
丫(s)1
U(s)s(s1)(s2)
试设计一个I型闭环伺服系统,使得闭环极点为-2-j23和-10。
假设该系统的结构与图5.9所示相同,参考输入r是阶跃函数。
[解]定义状态变量X1,X2和X3为
X1二y,X2=X1,X3=X2
则该被控系统的状态空间表达式为
(5.96)
(5.97)
0100
A=001,B=0,C=[100]
_0-2-3_1
参见图5.9并注意到n=3,则控制输入u为
u=-(k2x2k3x3)-xj=-Kxk1r(5.98)
K=[kik2k3]
此时,就可用极点配置方法确定状态反馈增益矩阵K。
现检验系统的能控性矩性。
由于
001
Q二[BABA2BP01-3
_1-37
的秩为3。
因此,该系统是状态完全能控的,并且可任意配
置极点。
将式(5.98)代入式(5.96),可得
x二AxB(-Kxkj)二(A-BK)xBk1r(5.99)
式中的r为阶跃函数。
因此,当t趋于无穷时,x(t)趋于定常向量xC=)。
)=(A-BK)x「)Bk1r(5.100)
从式(5.99)减去式(5.100),可得
x(t)-)=(A-BK)[x(t)-x(:
)]
x(t)_x(:
那么
e(t)二(A-BK)e(t)(5.101)
式(5.101)确定了误差的动态特性。
给定被控系统的特征方程为
s-10
si-A=0s-1
02s+3
=s33s22s
=s3a1s2a2s=0
因此
=3,a?
=2,a^-0
由于A-BK的期望特征值为
・打…1j23「2=-2-j23^3二-10
所以期望的特征方程为
(s-X)(S-」2)(s」3)=(s2-j23)(s2j2」3)(s10)
-s314s256s160
O*Q-k-k
=sa1sa2sa3=0
a1二14,a2二56,a3二160
为了利用极点配置方法来确定矩阵K,采用式(5.13),
将其重写为
K"
[a3-a3a2-a2a1-a1]P_1(5.102)
Kqa3-
-*-*_1
a?
a?
-a?
a〔-a〔]P
订160-056-214-3]1
订1605411]
该系统的阶跃响应容易由计算机仿真求得。
11
A-BK二0
1-
0[16054
11b0
_0
_2
_3
_1
160
-56
-14
由式(5.99),可得此闭环反馈系统的状态方程为
x10
10x1
111
1-1c
X2二0
cd11
01x2
nl
0r
(5.103)
X3<
-56-14x3
_160
输出方程为
X[1
yJ100]X2
(5.104)
Ml
当r为单位阶跃函数时,求解式(
5.103)和
(5.104),
即可得到y(t)对
t的单位阶跃响应曲线<
。
利用
MATLAB
Program5.9,将可轻松地求出单位阶跃响应。
相应的单位阶
跃响应曲线如图5.10所示
注意到x(T=0,因此由式(5.100),可得
(A_BK)x「)=-Bk1r
MATLABProgram5.9
%Unit-stepresponse
%*****EnterthestatematrixA,controlmatrixB,outputmatrixC,
%anddirecttransmissionmatrixD*****
A=[010;
001;
-160-56-14];
B=[0;
0;
160];
C=[100];
D=[0];
%*****Enterstepcommandandplot
command*****
t=0:
0.01:
5;
y=step(A,B,C,D,1,t);
Plot(t,y)
grid
title(‘-StepResponse'
)
xlabel(‘tSec'
ylabel(‘Outputy'
1601r
二0(160)-0-0
I0Wj心
显然,x1CO=yC)=r。
在阶跃响应中没有稳态误差
注意,由于
)--Kx(:
)kj
(二)--Kx(:
)k1r
所以
冰:
u()…[1605411]x2C)160r
r
二-[1605411]0160r
D
--160r160r=0
即在稳态时,控制输入u为零。
5.7.2被控系统中不含积分器时的I型闭环伺服系统的设计
如果被控系统中没有积分器(0型被控系统),则设计I型闭环伺服系统的基本原则是在误差比较器和系统间的前馈通道中插入一个积分器,如图5.11所示(当不含积分器时,
图5.11所示方块图是I型闭环伺服系统的基本形式)。
由图中可得
x二AxBu
(5.105)
y=Cx
(5.106)
u--Kxk「
(5.107)
二r-y=「-Cx
(5.108)
式中,
xRn,uRjyR1,R1」R1,ARnn,BRn1,CR1n
o
假设由式(5.105)定义的系统是状态完全能控的。
该系
统的传递函数为
1|*和u适>
$J—
A二
C
-K才
图5.11I型闭环伺服系统
Gp(s)二C(si-A)_B
为了避免插入的积分器在系统原点处与零点有相约的可能,假设Gp(s)在原点处没有零点。
假设在t=0时施加参考输入(阶跃函数),则对t>
0,该
系统的动态特性可由式(5.105)和(5.108)的组合来描述,
试设计一个渐近稳定系统,使得x(:
)>
(:
)和u(-)分别
趋于常值。
因此,在稳态时,(t)=0,并且y(:
)=r
注意,在稳态时
(5.110)
xC=)A0x(:
)B0
|-=|I+Iu®
)+|r®
其中r(t)为阶跃输入,从而对t>
0,r(:
)=r(t)=r(常值)
从式(5.109)中减去式(5.110),可得
(5.111)
X(t)-)=Xe(t)
(t)-L)二e(t)
U(t)-U(:
)=Ue(t)
则式(5.111)可改写为
(5.112)
Xe(t)A0xe(t)B
匕⑴厂弋0氏。
⑴门汁⑴
这里
设计I型闭环伺服系统的基本思想是设计一个稳定的
n+1阶调节器系统,对于给定的任意初始条件e(0),使新的
误差向量e(t)趋于零。
式(5.114)和(5.115)描述了该n+1阶调节器系统的动态特征。
如果由式(5.114)定义的系统状态完全能控,则通过指定该系统的期望特征方程,利用在5.2节中介绍的极点配置方法,即可确定矩阵K?
x(t)、E(t)和u(t)的稳态值可确定如下:
在稳态(t=-)时,由式(5.105)和(5.108)可得
x(:
)=0二Ax(:
))
()=0=r-CxC:
将上述两式合并为如下向量-矩阵方程为
0ABx()0
|o「|—co』u(dk
如果由
-■ABl
A=丨厂门(5.116)
广C0一
定义的矩阵A的秩为n+1,则其逆存在,并且
)AB_10
|=||
)一C0_r一
同样地,由式(5.107)可得
)二-Kx(:
)k|(-)
^)=—[u(:
)KxC:
ki
注意,如果由式(5.116)给出的矩阵a的秩为n+1,则由式(5.114)定义的系统状态完全能控(参见例5.15),该
问题的解可利用极点配置方法求得。
状态误差方程可通过将式(5.115)代入式(5.114)得到,
即
e=(A-BK?
)e(5.117)
如果矩阵A-B?
k的期望特征值(即期望闭环极点)确定为"
1/12/'
/ln1,则可确定状态反馈增益矩阵K和积分增益常数kI。
在实际设计中,必须考虑几个不同的矩阵K(它对应于几组不同的期望特征值),且可进行计算机仿真,以便找出使系统总体性能最好的作为最终选择的矩阵K。
在通常情况下,不是所有的状态变量均可直接量测。
如果情况确实如此,我们必须采用观测器。
图5.12所示为具有状态观测器的I型闭环伺服系统的方块图。
5.8利用MATLAB^计控制系统举例
考虑倒立摆控制系统,如图5.13所示。
在该例中,我们
仅讨论摆和小车在图面内运动的情形。
希望尽可能地保持倒立摆垂直,并控制小车的位置。
例如,以步进形式使小车移动。
为控制小车的位置,需建造一个I
型伺服系统。
安装在小车上的倒立摆被控系统没有积分器(0
型系统)。
因此,将位置信号y(表示小车的位置)反馈到输入端,并且在前馈通道中插入一个积分器,如图5.14所示(将
该系统与5.4节讨论的系统进行比较,后者没有输入作用于小车上)。
假设摆的角度二和角速度J很小,以致于sin^「cost=1和+2=0。
又假设M、m和I的值与5.4节讨论的系统的对应数值相同。
也就是说
M=2千克,m=0.1千克,I=0.5米
图5.13倒立摆控制系统
图5.14倒立摆系统(当被控对象不含积分器时的I型闭环
伺服系统)
参照5.4节(式(5.21)和(5.22)),该倒立摆控制系
统的方程为
Ml—(Mm)g,-u
(5.118)
Mx=u_mg"
(5.119)
代入给定的数值,式(5.118)和(5.119)
成为
…20.601-u
(5.120)
x=0.5u-0.4905^
定义状态变量为
x2-V
X3二X
x4二X
(5.121)
因此,参照式(5.120)和(5.121)和图5.14,
且考虑作为
系统输出的小车位置X,可得该系统的方程为
x=AxBu
(5.122)
y二Cx
(5.123)
u=-KxkI
(5.124)
_y=「_Cx
(5.125)
p
-01
20.601
-1
A=1
B=
C=【001
0】
10
10
■-0.4905
〔0.5一
对于1
型闭环伺服系统,
我们得到用式(5.114)
给
出的状态误差方程为
e=AeE?
ue(5.126)
01
-01
Q-A
?
=I
=丨0
0,
界|
=10
-C
0一
|-0.4905
1°
.5|
!
-1
0J
10」
及由式(5.115)给出的控制输入为
ue=「Ke
F?
珥K=匕]珥kk2k3kJ-ki]
现用极点配置方法确定所需的状态反馈增益矩阵K?
,即采
用式(5.13)确定矩阵K?
下面首先介绍一种解析方法,然后再介绍MATLABS法。
在进一步讨论前,必须检验矩阵A的秩,其中
-_AB1
A=|
-C0一
01
--A
Bl
A=I
=0
01(5.127)
I
|-0.4905
0.5
_1
0j
易知,该矩阵的秩为5。
因此,由式(5.126)定义的系统是状态完全能控的,并可任意配置极点。
相应由式(5.126)给出的系统的特征方程为
s
-20.601
si-A
=
0.4905
s3
(s2-20.601
—
5s
-20.601s3
5丄4丄3丄2IIc
二sa1sa2sa3sa4sa5=0
0,a2=-20.601,a3=0,a4=0,a5=0
为了使设计的系统获得适当的响应速度和阻尼(例如,在
小车的阶跃响应中,约有4~5秒的调整时间和15%~16%的最大超调量),选择期望的闭环极点为<
(i=1,2,3,4,5),
其中
■-Vj3,_-j3,_-5,"
4「「5,"
s「_5
这是一组可能的期望闭环极点,也可选择其他的。
因此,
期望的特征方程为
(S」1)(S—2)(S」3)(S」4)(S」5)
=(s1-j3)(s1j3)(s5)(s5)(s5)
-S517s4109s3335s2550s500
5*4*3*2**
-sa1sa2sa3sa4sa5
于是
=17,a?
二109,a^=335,a^=550,a^=500
下一步求由式(5.4)给出的变换矩阵P
P=QW
这里Q和W分别由式(5.5)和(5.6)给出,即
Q=[B?
A?
A2B?
A4?
1_1
-(20.601)2
二0
10.1048
-0
-0.5
-0.4905
a4
a3
a2
a1
务
W二a2
0.
二-20.601
20.60101
00
丨0
P二QW二0
_9.81
00-10
000-1
9.8100.50
0-9.8100.5
0-0.500」
矩阵P的逆为
P1
9.81
一0
0.25
(9.81)2
-100
参见式(5.13),矩阵K?
计算为
斤=[a;
-a;
-a4a;
a;
-务]P」
二[500-0550-0335-010920.60117-0]P,
二[500550335129.60117]P」
二[-157.6336-35.3733=56.0652-36.746650.9684]
二[&
k;
k3k;
-匕]
K-[k,k;
k3k4P[-157.6336-35.3733-56.0652-36.7466]
k^-50.9684
5.8.1所设计系统的单位阶跃响应特性
置的阶跃响应可通过下列状态方程求得,即
式(5.128)可写为
01000x1
-137.0326-35.3733-56.0652-36.746650.9684x2
x3
78.3263
17.6867
28.0326
18.3733
-25.4842
111x4
图5.15给出了x1(t)、x2(t)、x3(t)、x4(t)和E(t)(=x5(t))对t的响应曲线。
图中,作用在小车上的输入r(t)为单位阶跃函
数,即r(t)=1米。
注意,x1=0、x2=r、x3=x和x4=x。
所有的初始条件均等于零。
ResponseCurv時耳!
・Z2*耳3+别.*vtisust
图5.15Xi(t)、X2(t)、X3(t)、X4(t)和X5(t)对t的响应曲线
x3(t)(=X(t))的阶跃响应正如所希望的那样,调整时间
约为4.5秒,最大超调量约为11.8%。
在位置曲线(X3(t)对
t的曲线)上,有一点很有趣,即最初的0.6秒左右,小车向
后移动,使得摆向前倾斜。
然后,小车在正方向加速运动。
X3(t)对t的响应曲线清晰地显示了X3(:
)趋于r。
同样地,X10:
)=0、X2C)=0、X4C=)=0和)=1.1。
这一结果可由以下分析方法予以证实。
在稳态时,由式(5.122)和
(5.125)可得
)=0二Ax(:
)Bu(:
(:
)=0二r-CxC=)
将其合并为
0ABx(:
)0
I=II+I
10一-c0「u“)一」一
由于已求出矩阵
AB
1-C0.
的秩为5,所以矩阵的逆存在。
参照方程(5.127),可得
-
|0
V1
_ABl
=0
-C0
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