全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题及答案.doc
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2013年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题及答案
一、填空题(每小题8分,满分64分)
1、已知,则_______.
解:
0或
已知两式平方相加,得或
0或
2、不等式的解集为_________.
解:
原不等式等价于
设,则在R上单调增.
所以,原不等式等价于
3、已知(表示不超过x的最大整数),设方程的两个不同实数解为,则__________.
解:
.
由于,所以
当时,原方程即;
当时,原方程即.
4、在平面直角坐标系中,设点,一只虫子从原点O出发,沿轴正方向或轴正方向爬行(该虫子只能在整点处改变爬行方向),到达终点A的不同路线数目记为.则_______.
解:
猜测,可归纳证明.
5、将一只小球放入一个长方体容器内,且与共点的三个面相接触.若小球上一点P到这三个面的距离分别为4、5、5,则这只小球的半径为___________.
解:
3或11.
分别以三个面两两的交线为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系.
设点P坐标为,小球圆心O坐标为
所以,
6、将表示成两个型分数的乘积的不同方法数是________.(其中与是同一种表示方法)
解:
24.
设是正整数,满足
的正因数的个数为.
注意到与是相同的表示方法,故所求的方法数为.
7、设E为正方形ABCD边AB的中点,分别在边AD、BC上任取两点P、Q,则∠PEQ为锐角的概率为__________.
解:
设正方形边长为1,.
则
从而,.又.
故所求概率为两直线及曲线所围成图形的面积与边长为1的正方形的面积之比,即
8、已知实系数一元二次方程有实根,则使得
成立的正实数的最大值为____________.
解:
不妨设,方程的两实根为.
由韦达定理,
从而,,当时等号成立.
二、解答题(第一道小题满分16分,后两道小题每题满分20分)
9、已知数列的各项均为正数,,且对任意,都有.问:
是否存在常数,使得对任意都成立?
解:
在中,令,得
若存在常数使得,则
∵,∴.
∴.
由于,上式两边同除以,得
所以,
即存在常数,使得对任意都成立.
10、已知两点,设A,B,M是椭圆上三点,满足,点N为线段AB的中点,求的值.
解:
设,则①
由,得.
∵M在椭圆上,②
综合①②得,
又线段的中点为,
∴
上式表明,点N在椭圆上,且该椭圆两焦点恰为两点.
所以,由椭圆定义有
11、已知,两个有限正整数集合满足:
(这里用表示集合的元素个数).平面向量集满足.证明:
证明:
不妨设
令
由柯西不等式,
注意到
从而,
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