全国统一招生考试数学试卷湖南卷文.doc
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2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)
数学(文史类)
本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共5页,时间120分钟,满分150分
一、选择题:
本大题共9小题,每小题5分,共45分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.复数为虚数单位)在复平面上对应的点位于
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.“”是“”成立的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一产品,数量分别为120件,80件,60件.为了解它们的产品质量是否有显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了件,则
A.B.C.D.
4.已知是奇函数,是偶函数,且,,则
A.B.C.D.
5.在锐角中,角所对的边长分别为,若,则角等于
A.B.C.D.
6.函数的图象与函数的图象的交点个数为
A.B.C.D.
7.已知正方体的棱长为,其俯视图是一个面积为的正方形,侧视图是一个面积为的矩形,则该正方体的正视图的面积等于
A.B.C.D.
8.已知是单位向量,,若向量满足,则的最大值为
A.B.C.D.
9.已知事件“在矩形的边上随机取一点,使的最大边是”发生的概率为,则
A.B.C.D.
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分
10.已知集合,则__________
11.在平面直角坐标系中,若直线为参数)和直线为参数)平行,则常数的值为___________
12.执行如图所示的程序框图,如果输入,则输出的的值为___________
13.若变量满足约束条件,则的最大值为___________
14.设是双曲线的两
个焦点,若在上存在一点使且
,则的离心率为__________
15.对于的子集,定义的“特征数列”为,
其中.其余项均为.例如:
子集的“特征数列”为.
(1)子集的“特征数列”的前项和等于____________
(2)若的子集的“特征数列”满足;
的子集的“特征数列”满足,则
的元素个数为____________
三、解答题:
本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分12分)
已知函数
(1)求的值
(2)求使成立的的取值集合
17.(本小题满分12分)
如图2,在直棱柱中,是的中点,点在棱上运动.
(Ⅰ)证明:
(Ⅱ)当异面直线所成角为时,求三棱锥的体积
18.(本小题满分12分)
某人在如图3所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量(单位:
)与它“相近”作物株数之间的关系如下表所示:
1
2
3
4
51
48
45
42
这里两株“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.
(Ⅰ)完成下表,并求所种作物的平均年收获量;
51
48
45
42
频数
4
(Ⅱ)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少
为48的概率
19.(本小题满分13分)
设为数列的前项和,已知
(Ⅰ)求,并求数列的通项公式
(Ⅱ)求数列的前项和.
20.(本小题满分13分)
已知分别是椭圆的左、右焦点,关于直线的对称点是
圆的一条直径的两个端点.
(Ⅰ)求圆的方程;
(Ⅱ)设过点的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为,当最大时,求直线的方程
21.(本小题满分13分)
已知函数
(Ⅰ)求的单调区间
(Ⅱ)证明:
当时,
13
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