关于热力学统计物理试题doc.docx
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关于热力学统计物理试题doc
简述题
1.写出系统处在平衡态的自由能判据。
一个处在温度和体积不变条件下的系统,处在稳定平衡态的充要条件是,对于各种可能的有限虚变
动,所引起的自由能的改变均大于零。
即F0。
2.写出系统处在平衡态的吉布斯函数判据。
一个处在温度和压强不变条件下的系统,处在稳定平衡态的充要条件是,对于各种可能的有限虚变
动,所引起的吉布斯函数的改变均大于零。
即G0。
3.写出系统处在平衡态的熵判据。
一个处在内能和体积不变条件下的系统,处在稳定平衡态的充要条件是,对于各种可能的有限虚变
动,所引起的熵变均小于零。
即S0
4.熵的统计解释。
由波耳兹曼关系Skgln可知,系统熵的大小反映出系统在该宏观状态下所具有的可能的微观
状态的多少。
而可能的微观状态的多少,反映出在该宏观平衡态下系统的混乱度的大小。
故,熵是系
统内部混乱度的量度。
5.为什么在常温或低温下原子内部的电子对热容量没有贡献?
不考虑能级的精细结构时,原子内的电子激发态与基态的能量差为1~10eV,相应的特征温度为
104~105K。
在常温或低温下,电子通过热运动获得如此大的能量而跃迁到激发态的概率几乎为零,平均
而言电子被冻结基态,因此对热容量没有贡献。
6.为什么在常温或低温下双原子分子的振动对热容量贡献可以忽略?
3
v
因为双原子分子的振动特征温度
θv~10K
,在常温或低温下
kT< 能量 h v kθ从而跃迁到激发态的概率极小,因此对热容量的贡献可以忽略。 7.能量均分定理。 对于处在平衡态的经典系统,当系统的温度为T时,粒子能量的表达式中的每一个独立平方 项的平均值为 1 2kT。 8等概率原理。 对于处在平衡态的孤立系统,系统的各种可能的微观状态出现的概率是相等的。 9.概率密度(q,p,t)的物理意义、代表点密度D(q,p,t)的物理意义及两者的关系。 (q,p,t): 在t时刻,系统的微观运动状态代表点出现在相点(q,p)邻域,单位相空间体积内的概率。 D(q,p,t): 在t时刻,在相点(q,p)邻域单位相空间体积内,系统的微观运动状态代表点数。 它们的关系是: (q,p,t) D(q,p,t) 是系综中系统总数 。 其中,N N 填空题 al l al l e l 1;费米分布表为 e l 1;玻耳兹曼 1.玻色分布表为 分布表为al le l 。 当满足条件e 1 时,玻色分布和费米分布 均过渡到玻耳兹曼分布。 N 2玻色系统和费米系统粒子配分函数用表示,系统平均粒子数为 ln , ln 1 ln U Y y 内能表为 ,广义力表为 , ln ln Sk(ln ) 熵表为 。 TT0 P P0 ;平衡稳定性条件是 3.均匀系的平衡条件是 且 P CV0且VT0。 4.均匀开系的克劳修斯方程组包含如下四个微分方程: dU TdS pdV dn , dH TdS Vdp dn dG SdT Vdp dn , dF SdT pdV dn 5.对于含N个分子的双原子分子理想气体,在一般温度下,原子内部电子的运动对热容量 CV 7Nk ;温度小小于转动特征温度时, 温度大大于振动特征温度时, 2 CV 5Nk 温度大大于转动特征温度而小小于动特征温度时, 2 。 , 。 无贡献 ; CV 3Nk 。 2 6准静态过程是指过程进行中的每一个中间态均可视为平衡态 是外界对系综的作用力,可用系统的状态参量表示出来。 的过程;无摩擦准静态过程的特点 7绝热过程是指,系统状态的改变,在绝热过程中,外界对系统所做的功 完全是机械或电磁作用的结果,与具体的过程无关,仅由 而没有受到其他任何影响初终两态决定。 的过程。 8.费米分布是指,处在平衡态、孤立的费米系统,粒子在能级上的最概然分布。 9.弱简并理想玻色气体分子间存在 统计吸引作用 ;弱简并理想费米气体分子间存在 统计排斥作 用。 10玻色分布是指,处在 平衡态 、孤立 的玻色系统,粒子在 能级上 的 最概然 分布。 11. 对于一单元复相系,未达到热平衡时,热量从 高温相 传至 低温相 ;未达到相变平衡时,物质 从高化学势相向低化学势相 作宏观迁移。 12. 微正则系综是 大量的结构完全相同的且处于平衡态的故里系统的集合 ; 微正则分布是指 在微正则系综中,系统按可能的微观态的分布 ; 微正则分布是平衡态统计物理学的基本假设,它与等概率原理等价。 U N lnZ1 Z1表示,内能统计表达式为 13. 玻耳兹曼系统粒子配分函数用 , Y N lnZ1 y 广义力统计表达式为 ,熵的统计表达式为 SNk(lnZ1 lnZ1) F NkTlnZ1 ,自由能的统计表达式为 。 B.E l al 1! 14. 与分布{al}相应的,玻色系统微观状态数为 l al! l 1! ;费米 B.E ! al! lal ! 系统的微观状态数 l ;玻耳兹曼系统微观状态数为 . N! al al! l BE l l。 当满足条件经典近似条件时,三种微观状态数之间 B.E F.D 1 M.E N! 的关系为 。 15.热力学系统的四个状态量S、V、P、T所满足的麦克斯韦关系为 S P V T S V P T VT TV, SP PS,PT TP, SV VS。 16.设一多元复相系有个 相,每相有个 k组元,组元之间不起化学反应。 此系统平 衡时必同时满足条件: TT L T 、PPL P 、 iiL 选择题 i (i 1,2,Lk) 。 1.系综理论所涉及三种系综有: 微正则系综、正则系综、巨正则系综,它们分别适合的系统是 (A)孤立系、闭系、开系 (B)闭系、孤立系、开系 (C)孤立系、开系、闭系 (D)开系、孤立系、闭系 2.封闭系统指 (A)与外界无物质和能量交换的系统(B)能量守衡的系统 (C)与外界无物质交换但可能有能量交换的系统(D)孤立的系统 3.有关系统与系综关系的表述是正确的是 (A)系综是大量的结构相同,外界条件相同,且彼此独立的系统的集合。 (B)系综是大量的结构不同,外界条件相同,且彼此独立的系统的集合。 (C)系综是大量的结构相同,外界条件不同,且彼此独立的系统的集合。 (D)系综是大量的结构不同,外界也条件不同的系统的集合。 4.气体的非简并条件是 (A)气体分子平均动能远远大于kT (B)气体分子间平均距离远远大于分子德布罗意波的平均热波长 (C)气体分子数密度远远小于1 (D)气体分子间平均距离极大于它的尺度 5.由热力学基本方程 dG SdTVdp可得麦克斯韦关系 p S T V (A) (B) TV VTpS Sp T p (D) V S (C) VS S V Tp pT 6.孤立系统指 (A)与外界有能量交换但无物质交换的系统 (B)与外界既无物质交换也无能量交换的系统 (C)能量守恒的系统 (D)温度和体积均保持不变的任意系统 7.吉布斯函数作为特性函数应选取的独立态参量是 (A)温度和体积(B)温度和压强 (C)熵和体积(D)熵和压强 8.自由能作为特性函数应选取的独立态参量是 (A)温度和体积(B)温度和压强 (C)熵和体积(D)熵和压强 9.下列各式中不正确的是 (A) (C) H n U n (B) S,P (D) P,V F n G n T,V T,P 10.当经典极限条件成立时,玻色分布和费米分布均过渡到 (A)麦克斯韦分布(B)微正则分布 (C)正则分布(D)玻尔兹曼分布 11.下列说法正确的是 (A)一切与热现象有关的实际宏观物理过程都是不可逆的。 (B)热力学第二定律的表述只有克氏和开氏两种说法。 (C)第一类永动机违背热力学第二定律。 (D)第二类永动机不违背热力学第二定律。 12.由热力学方程dFSdTpdV可得麦克斯韦关系 T p (A) (B) V S SV V S (C) (D) T p pT 13.已知粒子能量表达式为 T p p T S V V S S V p T 其中a、b为常量,则依据能量均分定理粒子的平均能量为 (A)3kT (B)2kT (C)2kT b2 (D) 5kT 2 4a 2 14.具有确定的粒子数、确定的体积、确定的能量的系统满足 (A)微正则分布 (B)正则分布 (C)巨正则分布 (D)以上都不对 15.玻耳兹曼统计中用粒子配分函数Z1 表示的内能是 (A)UZ1 lnZ1 (B)U lnZ1 N 1 lnZ1 (D)U NlnZ1 (C)U 16.不考虑粒子自旋,在长度L内,动量处在px~pxdpx范围的一维自由粒子的可能的量子态数为 (A)Ldp (B)Ldpx (C)2Ldp (D)2Ldpx h h h h 17.均匀开系的热力学基本方程是 (A)dF SdT pdV dn (B)dG SdT Vdp dn (C)dU TdS pdV dn (D)dH TdS Vdp dn 推导与证明 1.证明: CP CV P V T T TV P 证: CPCV T S S T T (1) TP V ∵S(T,p)S(T,V(T,p)) SS TPTV (2)代入 (1) SV (2) VTTP CPCV S V T T VV 将麦氏关系: S P VT T (3) P 代入(3)得 V 2.证明,0K时电子气体中电子的平均速率为 v 3PF(PF为费米动量)。 4m 1( (0)) 证明: ∵0K时,f 0((0)) 在单位体积内,动量在 p~p dp 范围内的电子的量子态数为 : 83 p2dp h 在此范围内的电子数为 : dNp f 8 2 dp h3 p 3.一容积为V的巨大容器,器壁上开有一个极小的孔与外界大气相通 ,其余部分与外界绝热 。 开始时, 内部空气的温度 、压强与外界相同为 T0 P0。 假定空气可视为理想气体 ,且定压摩尔热容量 cp为常 量。 给容器内的空气以极其缓慢的速率均匀加热 ,使其温度升至 T 。 证明,所需热量为 Q P0VcP ln T 。 R T0 证明: 系统经历准静态过程,每一中间态均可视为平衡态 对于容器内的气体,初态 : P0V n0RT,任一中间态 : P0V n(T)RT T0n0, T T dT T0n0cplnT n(T) Q Tn(T)cpdTT0n0cpT T 0 0 T T0 即: Q PV0cp ln T R T0 4.将空窖辐射视为平衡态光子气体系统,光子是能量为 h 的玻色子,由玻色分布,每个量子态上平均 光子数 f 1 1, 试导出普朗克黑体辐射公式: eh/kT 解: 在体积 V内,动量在 p~p+dp 范围的光子的量子态数为: 8 3Vp2dp h 由圆频率与波矢关系: =ck及德布罗意关系,可得: p= =h c c 故,在体积 V内,能量在 ~ +d 范围内的光子的量子态数为: 在此范围内的光子数为: 故,在此范围内的辐射能量为: 5.证明焓态方程: H V T V p T T p 证: 选T、p作为状态参量时,有 dH H dT H dp (1) dS S dT S dp (2) T p T p p T p T 而, dH TdS Vdp (3) (2)代入(3)得: dH T S dT V T S (4) dp T p pT 比较 (1)、(4)得: H T S (5) H VT S Tp T (6) p V T pT 将麦氏关系 S V 代入(6 ),即得 pT Tp U T p p 6.证明能态方程: TV VT 证: 选T、V作为状态参量时,有 U U dV (1) S dU dT dS TV VT T 而, dU TdS pdV (2)代入(3)得: dU S S T dTT T V V 比较 (1)、( U S U 4)得: T (5) T V T V V S p 将麦氏关系 代入(6),即得 V T T S dTdV (2) VT (3) pdV (4) S Tp(6) VT VT TV 7.证明,对于一维自由粒子,在长度 L 内,能量在ε~ εdε 的范围内,可能的量子态数为 D d L(2m)1/2 1/2d 。 h 证: 由量子态与相空间体积元之间的对应关系,对于一维自由粒子,在相空间体积元 dxdpx内的可能的 量子态数为dxdpx。 h 因此,在长度 L内,动量大小在 p~p dp范围内粒子的可能的量子态数为 而, 1 p2,dp md 2m 2 故,在长度L内,能量在 ε ~εdε范围内,可能的量子态数为 D d L(2m)1/2 1/2d。 h 8.证明,对于二维自由粒子,在面积 L 2 εdε 内,能量在ε~ 范围内,可能的量子态数为 D d 2 mL2 d 。 h2 证: 由量子态与相空间体积元之间的对应关系,对于二维自由粒子,在相空间体积元 dxdydpxdpy内的 可能的量子态数为 dxdydpxdpy 。 h 2 L2 因此,在面积 内,动量大小在 p~p dp范围内粒子的可能的量子态数为 而, 1 p2,pdp md 2m 故,在面积L2 内,能量在ε~ε d ε范围内,可能的量子态数为 D d 2 mL2 d 。 h2 9.导出含有N个原子的爱因斯坦固体的内能和热容量表达式: h 2 E /T U 3Nh 3N CV 3Nk E e 2 1, T 2 eh eE/T 1 解: 按爱因斯坦假设,将 N个原子的运动视为 3N个线性谐振子的振动,且所有谐振子的振动频率相同。 谐振子的能级为: (n1/2)h (n 0,1,2L) 则,振子的配分函数为: Z1 n0 ∵lnZ1 1 h ln(1eh 2 eh(n1/2) eh/2 (eh)n e h /2 n0 1 e h ) lnZ1 3Nh 3N h e h 3Nh 3N h ∴U 3N
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