全国统一高考数学试卷文科新课标版答案与解析.doc
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2011年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标版)
参考答案与试题解析
一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)
1.(5分)(2011•新课标)已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则P的子集共有( )
A.2个 B.4个 C.6个 D.8个
【考点】交集及其运算.菁优网版权所有
【专题】计算题.
【分析】利用集合的交集的定义求出集合P;利用集合的子集的个数公式求出P的子集个数.
【解答】解:
∵M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},
∴P=M∩N={1,3}
∴P的子集共有22=4
故选:
B
【点评】本题考查利用集合的交集的定义求交集、考查一个集合含n个元素,则其子集的个数是2n.
2.(5分)(2011•新课标)复数=( )
A.2﹣i B.1﹣2i C.﹣2+i D.﹣1+2i
【考点】复数代数形式的混合运算.菁优网版权所有
【专题】计算题.
【分析】将分子、分母同时乘以1+2i,再利用多项式的乘法展开,将i2用﹣1代替即可.
【解答】解:
=﹣2+i
故选C
【点评】本题考查复数的除法运算法则:
分子、分母同乘以分母的共轭复数.
3.(5分)(2011•新课标)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是( )
A.y=x3 B.y=|x|+1 C.y=﹣x2+1 D.y=2﹣|x|
【考点】函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断.菁优网版权所有
【专题】常规题型.
【分析】首先由函数的奇偶性排除选项A,然后根据区间(0,+∞)上y=|x|+1=x+1、y=﹣x2+1、y=2﹣|x|=的单调性易于选出正确答案.
【解答】解:
因为y=x3是奇函数,y=|x|+1、y=﹣x2+1、y=2﹣|x|均为偶函数,
所以选项A错误;
又因为y=﹣x2+1、y=2﹣|x|=在(0,+∞)上均为减函数,只有y=|x|+1在(0,+∞)上为增函数,
所以选项C、D错误,只有选项B正确.
故选:
B.
【点评】本题考查基本函数的奇偶性及单调性.
4.(5分)(2011•新课标)椭圆=1的离心率为( )
A. B. C. D.
【考点】椭圆的简单性质.菁优网版权所有
【专题】计算题.
【分析】根据椭圆的方程,可得a、b的值,结合椭圆的性质,可得c的值,有椭圆的离心率公式,计算可得答案.
【解答】解:
根据椭圆的方程=1,可得a=4,b=2,
则c==2;
则椭圆的离心率为e==,
故选D.
【点评】本题考查椭圆的基本性质:
a2=b2+c2,以及离心率的计算公式,注意与双曲线的对应性质的区分.
5.(5分)(2011•新课标)执行程序框图,如果输入的N是6,那么输出的p是( )
A.120 B.720 C.1440 D.5040
【考点】程序框图.菁优网版权所有
【专题】图表型.
【分析】通过程序框图,按照框图中的要求将几次的循环结果写出,得到输出的结果.
【解答】解:
经过第一次循环得到经过第二次循环得到
经过第三次循环得到;经过第四次循环得
经过第五次循环得;输出结果
此时执行输出720,
故选B
【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构的输出结果问题时,常采用写出几次的结果找规律.
6.(5分)(2011•新课标)有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )
A. B. C. D.
【考点】古典概型及其概率计算公式.菁优网版权所有
【专题】概率与统计.
【分析】本题是一个古典概型,试验发生包含的事件数是3×3种结果,满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有3种结果,根据古典概型概率公式得到结果.
【解答】解:
由题意知本题是一个古典概型,
试验发生包含的事件数是3×3=9种结果,
满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组,
由于共有三个小组,则有3种结果,
根据古典概型概率公式得到P=,
故选A.
【点评】本题考查古典概型概率公式,是一个基础题,题目使用列举法来得到试验发生包含的事件数和满足条件的事件数,出现这种问题一定是一个必得分题目.
7.(5分)(2011•新课标)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos2θ=( )
A.﹣ B.﹣ C. D.
【考点】二倍角的余弦;直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系.菁优网版权所有
【专题】计算题.
【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值,由已知直线的斜率得到tanθ的值,然后根据同角三角函数间的基本关系求出cosθ的平方,然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后,把cosθ的平方代入即可求出值.
【解答】解:
根据题意可知:
tanθ=2,
所以cos2θ===,
则cos2θ=2cos2θ﹣1=2×﹣1=﹣.
故选:
B.
【点评】此题考查学生掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系,灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值,是一道中档题.
8.(5分)(2011•新课标)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示,则相应的侧视图可以为( )
A. B. C. D.
【考点】简单空间图形的三视图.菁优网版权所有
【专题】作图题.
【分析】由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体,是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成,根据组合体的结构特征,得到组合体的侧视图.
【解答】解:
由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体,
是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成,
∴侧视图是一个中间有分界线的三角形,
故选D.
【点评】本题考查简单空间图形的三视图,考查由三视图看出原几何图形,再得到余下的三视图,本题是一个基础题.
9.(5分)(2011•新课标)已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直.l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则△ABP的面积为( )
A.18 B.24 C.36 D.48
【考点】直线与圆锥曲线的关系.菁优网版权所有
【专题】数形结合法.
【分析】首先设抛物线的解析式y2=2px(p>0),写出次抛物线的焦点、对称轴以及准线,然后根据通径|AB|=2p,求出p,△ABP的面积是|AB|与DP乘积一半.
【解答】解:
设抛物线的解析式为y2=2px(p>0),
则焦点为F(,0),对称轴为x轴,准线为x=﹣
∵直线l经过抛物线的焦点,A、B是l与C的交点,
又∵AB⊥x轴
∴|AB|=2p=12
∴p=6
又∵点P在准线上
∴DP=(+||)=p=6
∴S△ABP=(DP•AB)=×6×12=36
故选C.
【点评】本题主要考查抛物线焦点、对称轴、准线以及焦点弦的特点;关于直线和圆锥曲线的关系问题一般采取数形结合法.
10.(5分)(2011•新课标)在下列区间中,函数f(x)=ex+4x﹣3的零点所在的区间为( )
A.(﹣,0) B.(0,) C.(,) D.(,)
【考点】函数零点的判定定理.菁优网版权所有
【专题】计算题.
【分析】分别计算出f(0)、f
(1)、f()、f()的值,判断它们的正负,再结合函数零点存在性定理,可以得出答案.
【解答】解:
∵f(0)=e0﹣3=﹣2<0f
(1)=e1+4﹣3>0
∴根所在的区间x0∈(0,1)排除A选项
又∵
∴根所在的区间x0∈(0,),排除D选项
最后计算出,,
得出选项C符合;
故选C.
【点评】e=2.71828…是一个无理数,本题计算中要用到等的值,对计算有一定的要求.
11.(5分)(2011•新课标)设函数,则f(x)=sin(2x+)+cos(2x+),则( )
A.y=f(x)在(0,)单调递增,其图象关于直线x=对称
B.y=f(x)在(0,)单调递增,其图象关于直线x=对称
C.y=f(x)在(0,)单调递减,其图象关于直线x=对称
D.y=f(x)在(0,)单调递减,其图象关于直线x=对称
【考点】正弦函数的对称性;正弦函数的单调性.菁优网版权所有
【专题】三角函数的图像与性质.
【分析】利用辅助角公式(两角和的正弦函数)化简函数f(x)=sin(2x+)+cos(2x+),然后求出对称轴方程,判断y=f(x)在(0,)单调性,即可得到答案.
【解答】解:
因为f(x)=sin(2x+)+cos(2x+)=sin(2x+)=cos2x.由于y=cos2x的对称轴为x=kπ(k∈Z),所以y=cos2x的对称轴方程是:
x=(k∈Z),所以A,C错误;y=cos2x的单调递减区间为2kπ≤2x≤π+2kπ(k∈Z),即(k∈Z),函数y=f(x)在(0,)单调递减,所以B错误,D正确.
故选D.
【点评】本题是基础题,考查三角函数的化简,三角函数的性质:
对称性、单调性,考查计算能力,常考题型.
12.(5分)(2011•新课标)已知函数y=f(x)的周期为2,当x∈[﹣1,1]时f(x)=x2,那么函数y=f(x)的图象与函数y=|lgx|的图象的交点共有( )
A.10个 B.9个 C.8个 D.1个
【考点】对数函数的图像与性质;函数的周期性.菁优网版权所有
【专题】压轴题;数形结合.
【分析】根据对数函数的性质与绝对值的非负性质,作出两个函数图象,再通过计算函数值估算即可.
【解答】解:
作出两个函数的图象如上
∵函数y=f(x)的周期为2,在[﹣1,0]上为减函数,在[0,1]上为增函数
∴函数y=f(x)在区间[0,10]上有5次周期性变化,
在[0,1]、[2,3]、[4,5]、[6,7]、[8,9]上为增函数,
在[1,2]、[3,4]、[5,6]、[7,8]、[9,10]上为减函数,
且函数在每个单调区间的取值都为[0,1],
再看函数y=|lgx|,在区间(0,1]上为减函数,在区间[1,+∞)上为增函数,
且当x=1时y=0;x=10时y=1,
再结合两个函数的草图,可得两图象的交点一共有10个,
故选:
A.
【点评】本题着重考查了基本初等函数的图象作法,以及函数图象的周期性,属于基本题.
二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)
13.(5分)(2011•新课标)已知a与b为两个垂直的单位向量,k为实数,若向量+与向量k﹣垂直,则k= 1 .
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系.菁优网版权所有
【专题】计算题.
【分析】利用向量垂直的充要条件:
数量积为0;利用向量模的平方等于向量的平方列出方程,求出k值.
【解答】解:
∵
∴
∵垂直
∴
即
∴k=1
故答案为:
1
【点评】本题考查向量垂直的充要条件、考查向量模的性质:
向量模的平方等于向量的平方.
14.(5分)(2011•新课标)若变量x,y满足约束条件则z=x+2y的最小值为 ﹣6 .
【考点】简单线性规划.菁优网版权所有
【专题】计算题.
【分析】在坐标系中画出约束条件的可行域,得到的图形是一个平行四边形,把目标函数z=x+2y变化为y=﹣x+,当直线沿着y轴向上移动时,z的值随着增大,当直线过A点时,z取到最小值,求出两条直线的交点坐标,代入目标函数得到最小值.
【解答】解:
在坐标系中画出约束条件的可行域,
得到的图形是一个平行四边形,
目标函数z=x+2y,
变化为y=﹣x+,
当直线沿着y轴向上移动时,z的值随着增大,
当直线过A点时,z取到最小值,
由y=x﹣9与2x+y=3的交点得到A(4,﹣5)
∴z=4+2(﹣5)=﹣6
故答案为:
﹣6.
【点评】本题考查线性规划问题,考查根据不等式组画出可
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