电子科大图论课件——第8章简介.ppt

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1第八章第八章拉姆齐问题简介拉姆齐问题简介电子科技大学数学科学学院电子科技大学数学科学学院张先迪张先迪21、概念、概念定义定义1设设G=（V,E）是一个图。

是一个图。

V的一个顶点子集的一个顶点子集V1称为称为G的一个点独立集的一个点独立集,如果如果V1中的顶点互不邻接；中的顶点互不邻接；一、独立集与覆盖一、独立集与覆盖G的一个包含顶点数最多的独立集称为的一个包含顶点数最多的独立集称为G的最大独立集。

的最大独立集。

最大独立集包含的顶点数，称为最大独立集包含的顶点数，称为G的点独立数，记为的点独立数，记为（G）（G）。

v2v1v6v5v4v3v8v7G的一个独立集的一个独立集v2v1v6v5v4v3v8v7G的一个最大独立集的一个最大独立集3定义定义2设设G=（V,E）是一个图。

是一个图。

V的一个顶点子集的一个顶点子集K称为称为G的一个的一个点覆盖点覆盖,如果如果E中的每条边至少有一个端点在中的每条边至少有一个端点在K中。

中。

G的一个包含顶点数最少的点覆盖称为的一个包含顶点数最少的点覆盖称为G的的最小点覆盖最小点覆盖。

最小点覆盖包含的顶点数，称为最小点覆盖包含的顶点数，称为G的点的点覆盖数覆盖数，记为，记为（G）（G）。

v2v1v6v5v4v3v8v7G的一个点覆盖的一个点覆盖v2v1v6v5v4v3v8v7G的一个最小点覆盖的一个最小点覆盖4定理定理1（加莱加莱）对任意不含孤立点的对任意不含孤立点的n阶图阶图G，有：

，有：

2、加莱恒等式、加莱恒等式（G）+（G）=n二、拉姆齐数二、拉姆齐数R（m,n）1.RamseyRamsey问题问题问题：

问题：

在任意在任意6个人中，一定存在三个人彼此相识，或者个人中，一定存在三个人彼此相识，或者彼此不相识。

彼此不相识。

5拉姆齐拉姆齐（1903-1930）英国数学家。

英国数学家。

1920年毕业于英国年毕业于英国曼切斯特学院，随后获得奖学金入剑桥三一学院研究数学，曼切斯特学院，随后获得奖学金入剑桥三一学院研究数学，1924年当选为该学院年当选为该学院fellow。

1925年，拉姆齐发表第一篇重要学术论文年，拉姆齐发表第一篇重要学术论文“数学的基数学的基础础”。

拉姆齐问题是他的第二篇文章中提出的。

拉姆齐问题是他的第二篇文章中提出的。

除数学外，拉姆齐在经济学和哲学方面兴趣很高，但除数学外，拉姆齐在经济学和哲学方面兴趣很高，但主要是在哲学方面。

主要是在哲学方面。

拉姆齐工作效率很高，每天只工作拉姆齐工作效率很高，每天只工作4小时，其余时间全小时，其余时间全用在娱乐上。

用在娱乐上。

26岁时，拉姆齐意外去世。

岁时，拉姆齐意外去世。

6对对Ramsey问题，即问题，即“任意六个人中必存在任意六个人中必存在三个人相互认识或三个人相互不认识三个人相互认识或三个人相互不认识”可如下建可如下建立一个图论模型：

以完全图立一个图论模型：

以完全图K6的顶点代表人，的顶点代表人，对对K6的任意一条边的任意一条边e，若，若e的端点代表的两人认识，的端点代表的两人认识，则给则给边边e着着红色（或连实线），红色（或连实线），否则给否则给边边e着蓝着蓝色（或连虚线）色（或连虚线）。

于是我们得到一个每条边都着。

于是我们得到一个每条边都着有红色或蓝色的完全图有红色或蓝色的完全图K6。

这样，。

这样，Ramsey问题问题便转化为对便转化为对K6的边用红和蓝两种颜色任意着色，的边用红和蓝两种颜色任意着色，使得着色后在其子图中，或存在一个使得着色后在其子图中，或存在一个红色红色K3（即所有边均着红色的即所有边均着红色的K3，以下同），或存在一，以下同），或存在一个个蓝色蓝色K3。

7Ramsey问题的图论模型还等价于问题的图论模型还等价于:

1.（定理定理7）在任意的在任意的6阶图阶图G中，或存在三个点的中，或存在三个点的团团（其导出子图为其导出子图为K3）,或存在三个点的独立集。

或存在三个点的独立集。

2.任意任意一个一个6阶图中阶图中或存在三个点的团或存在三个点的团,或其补或其补图中图中存在三个点的团存在三个点的团。

例如下图中有例如下图中有红色红色K3也有蓝色也有蓝色K38定理定理8对任意的对任意的9阶图阶图G，必存在含，必存在含3个点的团或存在含个点的团或存在含4个个点的独立集。

点的独立集。

证明明因因图中奇点个数中奇点个数为偶，所以偶，所以G中不可能所有点的度均中不可能所有点的度均为3。

从而。

从而G中存在点中存在点v，满足足d（v）3。

以下我。

以下我们证明明G中若不中若不存在含存在含3个点的个点的团，则必存在含必存在含4个点的独立集。

个点的独立集。

情况情况1d（v）3。

此此时与与v相相邻的点至少有的点至少有4个，个，设为u1,u2,u3,u4。

因假。

因假设G中不存在含中不存在含3个点的个点的团，所以，所以u1,u2,u3,u4互互不相不相邻，即，即u1,u2,u3,u4是是G的独立集。

的独立集。

9例例定理定理2.3.12.3.1意味着意味着R（3,3）6（3,3）6定义定义1给定正整数给定正整数a和和b，令，令R（a,b）是保证任意的是保证任意的n阶图中必存在含阶图中必存在含a个点的团或存在含个点的团或存在含b个点的独个点的独立集的最小立集的最小n值，则称值，则称R（a,b）为为Ramsey数。

数。

所以所以R（3,3）=6（3,3）=62.RamseyRamsey数数右图表明右图表明R（3,3）6（3,3）610类似地，定理似地，定理8表明表明R（3,4）9右面的右面的8阶图中既无中既无三个点的三个点的团，又无四，又无四个点的独立集个点的独立集,所以所以R（3,4）9（3,4）9于是于是R（3,4）=9113.Ramsey3.Ramsey数的性质数的性质易知易知,R（1,a）=R（a,1）=1R（a,b）=R（b,a）R（a,2）=a定理定理8当当a,b2时，时，R（a,b）是一个有限数，并且有是一个有限数，并且有R（a,b）R（a-1,b）+R（a,b-1）

（1）首先首先,当式当式

（1）已经证明成立时，即可知已经证明成立时，即可知R（a,b）是有限的。

是有限的。

这是由于若式这是由于若式

（1）成立，则对式成立，则对式

（1）不等号的右边反复使用不等号的右边反复使用式式

（1），且因，且因a,b是有限数，故总可以在使用式是有限数，故总可以在使用式

（1）一定次数之一定次数之后，不等式右边都出现后，不等式右边都出现R（a,2）或或R（2,b）的形式。

再由定的形式。

再由定理理2.3.5中的式中的式

（2）即可得即可得R（a,b）有限数。

有限数。

12在在R（a-1,b）+R（a,b-1）个人中任意挑选一个人，把这个人个人中任意挑选一个人，把这个人称作称作p。

将剩下的将剩下的R（a-1,b）+R（a,b-1）-1个人分成两个集个人分成两个集合合F（与与p相识的人相识的人）和和S（与与p不相识的人不相识的人）下面我们证明式下面我们证明式

（1）

（1）于是，或者在于是，或者在F中至少有中至少有R（a-1,b）个人，或者在个人，或者在S中至少有中至少有R（a,b-1）个人个人（否则（否则F和和S中最多有中最多有R（a-1,b）+R（a,b-1）-2个个人，矛盾）人，矛盾）。

定理定理8当当a,b2时，时，R（a,b）是一个有限数，并且有是一个有限数，并且有R（a,b）R（a-1,b）+R（a,b-1）

（1）13情况情况1在在F中有中有R（a-1,b）个人。

这表明个人。

这表明F中有中有a-1个人彼此相识，或者有个人彼此相识，或者有b个人彼此不相识。

若有个人彼此不相识。

若有a-1个人彼此相识，则加上个人彼此相识，则加上p就有就有a个人彼此相个人彼此相识，因而式识，因而式（3）成立。

成立。

情况情况2在在S中有中有R（a，b-1）个人。

这表明个人。

这表明S中有中有a个人彼此相识，或者有个人彼此相识，或者有b-1个人彼此不相识。

若有个人彼此不相识。

若有b-1个人彼此不相识，则加上个人彼此不相识，则加上p就有就有b个人彼此不个人彼此不相识，因而式相识，因而式（3）也成立。

也成立。

综上所述，本定理得证。

综上所述，本定理得证。

14例例证明证明R（3,3）=6（3）R（3,4）=R（4,3）=9（4）R（3,5）=R（5,3）=14（5）R（4,4）=18（6）定理定理99当当R（a-1,b）和和R（a,b-1）都是偶数时，都是偶数时，则有则有R（a,b）R（a-1,b）R（a,b-1）-1

（2）

（2）证明：

证明：

留作练习。

留作练习。

证明：

证明：

式式（3）,（3）,（4）已前面例子中被证明，已前面例子中被证明，下面证明式下面证明式（5）。

15由式由式

（1）知知R（3,5）=R（5,3）R（2,5）+R（3,4）=5+9=14该图表明该图表明R（3,5）14,所以所以R（3,5）=141471013右图是右图是K13的一种着色的一种着色（图中只画出了着红色（图中只画出了着红色的边，而省去了着蓝色的边，而省去了着蓝色的边的边）16对对（6）式，有式，有R（4,4）R（3,4）+R（4,3）=18另一方面可以构造出一个另一方面可以构造出一个17阶图阶图G，它既不含，它既不含K4，又不，又不含含4点独立集。

点独立集。

所以，所以，R（4,4）=18。

G17一般说来，求一般说来，求R（a,b）是一个是一个很困难的问题，到目前为止，我很困难的问题，到目前为止，我们已知的一些们已知的一些Ramsey数或其一数或其一些上下界如下表所示些上下界如下表所示。

18ba334455667788991010111112121313141415153366991414181823232828363640404343464651515151606059596969666678787373898944181825253535414149496161535384846969115115808014914996961911911061062382381181182912911291293493491341344174175543434949585887878080143143959521621611411431631644244266102102165165298298495495780780117111717720520554054010311031171317132826282688187018702822823583358360906090996625662556556512715127151010238542385479879819

（1）定理定理8当当m,n2时，有：

，有：

注：

注：

称称r（m,m）为对角线拉姆齐数。

为对角线拉姆齐数。

（2）Erdos教授利用概率方法证明了如下结论：

教授利用概率方法证明了如下结论：

注：

注：

f（n）（1-o

（1）g（n）表示：

表示：

对任意任意0,0,存在自然数存在自然数NN，当，当nNnN时，有，有f（n）（1-）g（n）。

Ramsey数的一些估计式数的一些估计式20（3）1959年，年，Erdos教授利用随机图论方法，巧妙证明教授利用随机图论方法，巧妙证明了如下结论：

了如下结论：

（4）1995年，贝尔实验室的年轻数学家年，贝尔实验室的年轻数学家Kim（现在微软现在微软公司，他是公司，他是Erdos的学生的学生）将上式改进为：

将上式改进为：

Kim由此获得由此获得1997年度的年度的Fulkerson奖。

这是图论领域奖。

这是图论领域的重大事件。

的重大事件。

21（5）对于对于r（m,n）的下界，的下界，1977年，年，Spencer利用罗瓦斯利用罗瓦斯的局部引理得到：

的局部引理得到：

罗瓦斯由此获得罗瓦斯由此获得1999年度的年度的Wolf奖。

奖。

这也是图论领域的重大这也是图论领域的重大事件。

事件。

（6）1980年，年，Komlos等得到：

等得到：

（7）后来，）后来，Bollbas教授作了改进：

教授作了改进：

22（8）2007年，我国学者李雨生等进一步对上面界做了年，我国学者李雨