八个有趣模型搞定外接球内切球问题学生版Word格式文档下载.docx
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球的表面积为()
A.11■:
B.7二
c.d
6、4、3,那么它的外接球的表面积是
(5)如果三棱锥的三个侧面两两垂直,它们的面积分别为
1的正方形,则该几何体外接球的体积为
类型二、垂面模型(一条直线垂直于一个平面)
1.题设:
如图5,PA_平面ABC
解题步骤:
第一步:
将.\ABC画在小圆面上,A为小圆直径的一个端点,作小圆的直
径AD,连接PD,贝UPD必过球心0;
第二步:
0,为-ABC的外心,所以00,_平面ABC,算出小圆Q的半
径0,D=r(三角形的外接圆直径算法:
利用正弦定理,得
确定球心
O的位置,取;
ABC的外心Oi,则P,O,Oi三点共线;
先算出小圆Oj的半径AO^r,再算出棱锥的高POj=h(也是圆锥的高);
222222
第三步:
勾股定理:
OA=OiAOiO=R=(h-R)r,解出R
方法二:
小圆直径参与构造大圆。
例2一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体外接球的表面积为()C
16花
A.3二B.2-C.D.以上都不对
3
类型三、切瓜模型(两个平面互相垂直)
图9-2
P
图9-3
1•题设:
如图9-1,平面PAC_平面ABC,且AB_BC(即AC为小圆的直径)
易知球心O必是PAC的外心,即PAC的外接圆是大圆,先求出小圆的直径AC=2r;
2•如图9-2,平面PAC_平面ABC,且AB_BC(即AC为小圆的直径)
OC2=O1C2O1O^R2二r2OQlAC=2.R2—OQ2
3.如图9-3,平面PAC_平面ABC,且AB_BC(即AC为小圆的直径),且P的射影是:
ABC的外心二三棱锥P_ABC的三条侧棱相等三棱P_ABC的底面:
ABC在圆锥的底上,顶点P点也是圆锥的顶点
确定球心O的位置,取.'
ABC的外心O1,则P,O,O1三点共线;
先算出小圆0勺的半径AO^r,再算出棱锥的高PO^h(也是圆锥的高);
OA^O1A2O1O^R2=(h-R)2•r2,解出R
4•如图9-3,平面PAC_平面ABC,且AB_BC(即AC为小圆的直径),且PA_AC,贝U
利用勾股定理求三棱锥的外接球半径:
①(2R)2二PA2•(2r)2=2R—PA2(2r)2;
②R2=r2OQ2:
=R=.r2OO12
例3
(1)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为1,底面边长为2,.3,则该球的表面积为。
(2)正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为2,各顶点都在同一个球面上,则此球的体积为
(3)在三棱锥P-ABC中,
PA=PB二PC=•..3,侧棱PA与底面ABC所成的角为60,则该三棱锥
外接球的体积为(
)
ji
A.二B.—
4兀
C.4二D.
(4)已知三棱锥S_ABC的所有顶点都在球0的求面上,GABC是边长为1的正三角形,SC为球0的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为()A
类型四、汉堡模型(直棱柱的外接球、圆柱的外接球)
题设:
如图10-1,图10-2,图10-3,直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱,棱柱的上下底面可以是任意三角形)
确定球心0的位置,01是ABC的外心,则001_平面ABC;
11
算出小圆01的半径A0^r,001AA,h(AA^=h也是圆柱的高);
22
0A2=01A2010^R2=(号)2・r2=R=.r2•(:
)2,解出R
例4
(1)一个正六棱柱的底面上正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,
9
且该六棱柱的体积为,底面周长为3,则这个球的体积为
8
(2)直三棱柱ABC-ABjG的各顶点都在同一球面上,若AB二AC二AA=2,•BAC=120,则此
球的表面积等于。
(3)已知.EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直,EA=EB=3,AD=2,.AEB=60,
则多面体E-ABCD的外接球的表面积为。
的表面积为
先画出如图所示的图形,将BCD画在小圆上,找出BCD和ABD的外心H1和H2;
过Hi和H2分别作平面BCD和平面ABD的垂线,两垂线的交点即为球心O,连接OE,OC;
解OEHi,算出OHi,在RtOCHi中,勾股定理:
OH;
•CH;
=OC2
例5三棱锥P-ABC中,平面PAC_平面ABC,△PAC和厶ABC均为边长为2的正三角形,则三棱锥P-ABC外接球的半径为
类型六、对棱相等模型(补形为长方体)
三棱锥(即四面体)中,已知三组对棱分别相等,求外接球半径(AB=CD,AD=BC,AC=BD)
画出一个长方体,标出三组互为异面直线的对棱;
设出长方体的长宽高分别为a,b,c,AD=BC=x,AB=CD=y,AC二BD二z,列方程组,
-2”22
a+b=x
.2,22/cr\22
«
b+c=y=(2R)=a
222
c+a=z
b2c2
11
补充:
Va_bcd=abcabc4abc
63
图12
根据墙角模型,
2R-a2b2c2
xyz,求出
例如,正四面体的外接球半径可用此法。
例6
(1)棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一
个截面如图,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是
(2)一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上,其中底面的三个顶点
在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积是()
A.33
B
V3
C
.迥
D
4
12
(1)题解答图
(3)在三棱锥A-BCD中,AB=CD=2,AD=BC=3,AC=BD=4,则三
棱锥A-BCD外接球的表面积为
(4)如图所示三棱锥A-BCD,其中AB=CD=5,AC=BD=6,AD二BC=7,则该三棱锥外接球的表面积为.
(5)正四面体的各条棱长都为
■.2,则该正面体外接球的体积为
类型七、两直角三角形拼接在一起
(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥
)模型
•APB=/ACB=90,求三棱锥P-ABC外接球半径(分析:
取公共的斜边的中点O,连接
OP,OC,则OA=OB=OC=OP二丄AB,O为三棱锥P-ABC外接球球心,然后在OCP中求出
2
半径),当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关,只要不是平角球半径都为定值。
例7
(1)在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D,则四面体ABCD的外接球的体积为()
类型八、锥体的内切球问题
1•题设:
如图14,三棱锥P-ABC上正三棱锥,求其外接球的半径。
步:
先现出内切球的截面图,E,H分别是两个三角形的外心;
1
求DH^BD,P—,PD是侧面:
ABP的高;
由POE相似于PDH,建立等式:
二更,解出r
DHPD
2.题设:
如图15,四棱锥P—ABC上正四棱锥,求其外接球的半径
先现出内切球的截面图,P,O,H三点共线;
求fh=2bc,p°
=phr,PF是侧面PCD的高;
由APOG相似于PFH,建立等式:
=-PO,解出
HFPF
3•题设:
三棱锥P-ABC是任意三棱锥,求其的内切球半径
等体积法,即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等第一步:
先画出四个表面的面积和整个锥体体积;
设内切球的半径为r,建立等式:
Vp^bc二Vojbc-Vo_pab'
V°
_pac7。
冲。
=
_1111_1
Vp4BC■■SABCr~SpABr—Spacr~SpBCr(SABC'
SPAB'
S°
AC'
SPBC)r
33333
解出r3Vp」bc
SO-ABC'
SO-PABSO-PACSO-PBC
习题:
1.若三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直,且SA=2,SB二SC=4,则该三棱锥的外接球半径为()
A.3B.6C.36D.9
2.三棱锥S-ABC中,侧棱SA_平面ABC,底面ABC是边长为■3的正三角形,SA=2、3,则该三棱锥的外接球体积等于
3•正三棱锥S-ABC中,底面ABC是边长为3的正三角形,侧棱长为2,则该三棱锥的外接球体积等于.
4•三棱锥P-ABC中,平面PAC_平面ABC,△PAC边长为2的正三角形,AB_BC,则三棱锥P-ABC外接球的半径为
5.三棱锥P_ABC中,平面PAC_平面ABC,AC=2,PA=PC=3,AB_BC,则三棱锥
P-ABC外接球的半径为
6.三棱锥P_ABC中,平面PAC_平面ABC,AC=2,PA_PC,AB_BC,则三棱锥P-ABC
外接球的半径为.
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