二次函数的竞赛题型及其解题策略.doc
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二次函数的竞赛题型及其解题策略
二次函数是初中数学的重要内容,由于它题材丰富,又易成为多种数学思想方法的载体,因此,深受各级各类竞赛命题者的亲睐,成为近几年各地竞赛的热点问题之一.本文拟对二次函数的竞赛题型及其解题策略作粗略概括,仅供大家参考.
一、二次函数的系数a、b、c及相关代数式的取值问题
抛物线y=ax2+bx+c中二次项系数a描述抛物线的开口,a>0向上,a<0向下;常数项c描述抛物线与y轴的交点(0,c),c>0时交点处x轴上方,c<0时交点处x轴的下方,c=0时时处原点;由对称轴公式x=-知b与a一起来描述抛物线的对称轴;b2-4ac大于0,等于0或小于0,决定抛物线和x轴交点的个数,等等.
上面性质反之亦成立.我们还可以通过考察如x=±1时y的值的情况,来确定a±b+c等的符号问题.
例1 抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(4,-11),且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负.则a、b、c中为正数的()
A、只有a B、只有b C、只有c D、有a和b
解:
由顶点为(4,-11),抛物线交x轴于两点,知a>0.设抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x1,x2,即x1、x2为方程ax2+bx+c=0的两个根,由题设x1x2<0知<0,所以c<0,又对称轴为x=4知->0,故b<0.故选(A).
二、二次函数与整数问题
二次函数与整数问题的联姻主要表现在系数a、b、c为整数、整点以及某范围内的参数的整数值等.解题时往往要用到一些整数的分析方法.
例2 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的系数a、b、c都是整数,并且f(19)=f(99)=1999,|c|<1000,则c=.
解:
由已知f(x)=ax2+bx+c,且f(19)=f(99)=1999,因此可设f(x)=a(x-19)(x-99)+1999,
所以ax2+bx+c=a(x-19)(x-99)+1999
=ax2-(19+99)x+19×99a+1999,故c=1999+1881a.
因为|c|<1000,a是整数,a≠0,经检验,只有a=-1满足,此时c=1999-1881=118.
例3已知a,b,c是正整数,且抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点A,B,若A、B到原点的距离都小于1,求a+b+c的最小值.
解:
设A、B的坐标分别为A(x1,0),B(x2,0),且x1 ∴∴x1<0,x2<0 又由题设可知△=b2-4ac>0,∴b>2① ∵|OA|=|x1|<1,|OB|=|x2|<1,即-1 ∴=x1x2<1,∴c ∵抛物线y=ax2+bx+c开口向上,且当x=-1时y>0, ∴a(-1)2+b(-1)+c>0,即a+c>b. ∵b,a+c都是整数,∴a+c≥b+1③ 由①,③得a+c>2+1,∴()2>1,又由②知, >1,+1,即a>(+1)2≥(+1)2=4 ∴a≥5,又b>2≥2>4,∴b≥5 取a=5,b=5,c=1时,抛物线y=5x2+5x+1满足题意. 故a+b+c的最小值为5+5+1=11. 三、二次函数的图象与面积问题 求抛物线的顶点、两坐标轴的交点以及抛物线与其它图象的交点等点所构成的面积,关键是用含系数a、b、c的代数式表示出点的坐标或线段长,使面积问题与系数a、b、c建立联系. 例4 如果y=x2-(k-1)x-k-1与x轴的交点为A,B,顶点为C,那么△ABC的面积的最小值是() A、1B、2C、3D、4 解: 由于△=(k-1)2+4(k+1)=(k+1)2+4>0,所以对于任意实数k,抛物线与x轴总有两个交点,设两交点的横坐标分别为x1,x2,则: |AB|= 又抛物线的顶点c坐标是(), 因此S△ABC=· 因为k2+2k+5=(k+1)2+4≥4,当k=-1时等于成立, 所以,S△ABC≥,故选A. 四、二次函数的最值问题 定义域是闭区间时,二次函数存在两个最值(最大值和最小值).如果顶点横坐标在区间内,则在顶点处与距顶点较远的端点处各取一个最值;如果顶点横坐标不在区间内,则在区间两端点处各取一个最值.定义域是开区间时,二次函数只有其顶点横坐标在区间内的才在顶点处取得一个最值,否则不存在最值. -2 -1 1 2 0 x y · 图1 例5 已知二次函数y=x2-x-2及实数a>-2.求: (1)函数在-2 (2)函数在a≤x≤a+2的最小值. 解: 函数y=x2-x-2的图象如图1所示. (1)若-2 当x=a时,y最小值=a2-a-2 若a≥,当x=时,y最小值=-. (2)若-2 若a≥,当x=a时,y最小值=a2-a-2. 例6 当|x+1|≤6时,函数y=x|x|-2x+1的最大值是. 解: 由|x+1|≤6,得-7≤x≤5,当0≤x≤5时,y=x2-2x+1=(x-1)2,此时y最大值=(5-1)2=16. 当-7≤x<0,y=-x2-2x+1=2-(x+1)2,此时y最大值=2. 因此,当-7≤x≤5时,y的最大值是-16. 说明: 对于含有绝对值的二次函数,通常是先分区间讨论,去掉绝对值符号,求出各区间的最值,然后通过比较得出整个区间函数的最值. 五、二次函数及其图像的应用. 有些方程及不等式等有关问题,直接求解十分困难,若能构造二次函数关系,借助函数图像使之形象化,直观化,以形助数,会简化求解过程. 例7 当a取遍0到5的所有实数时,满足3b=a(3a-8)的整数b有几个? 解: 由3b=a(3a-8)有b=a2-a,即 b=(a-,因为,当a=0时,b=0时;当a=5时,b=11 利用二次函数图象可知-≤b≤11 所以b可取到的整数值为-1,0,1,…,11,共有13个. 例8 已知a<0,b≤0,c>0,且=b-2ac,求b2-4ac的最小值. A B O x1 x2 y x C(0,c) 图2 解: 令y=ax2+bx+c,由于a<0,b≤0,c>0,则△=b2-4ac>0, 所以,此二次函数的图像是如图2所示的一条开口向下的抛物线,且与x轴有两个不同的交点A(x1,0),B(x2,0). 因为x1x2=<0,不妨设x1 |x1|=, 故≥c=≥- ∴b2-4ac≥4,当a=-1,b=0,c=1时,等号成立. 1 O -1 x y 图3 因此,b2-4ac的最小值为4. 练习题: 1、已知二次函数y=ax2+bx+c图像如图3所示,并设M=|a+b+c|-|a-b+c|+|2a+b|-|2a-b|,则( ) A、M>0B、M=0 C、M<0D、不能确定M为正、为负或为0 (答案: C) A B y x O y=-2x+3 图4 2、已知二次函数y=ax2+bx+c(其中a是正整数)的图象经过点A(-1,4)与点B(2,1),且与x轴有两个不同的示点,则b+c的最大值为. (答案: -4) 3、如图4,已知直线y=-2x+3与抛物线y=x2相交于A、B两点,O为坐标原点,那么△OAB的面积等于. (答案: 6) 4、设m为整数,且方程3x2+mx-2=0的两根都大于-而小于,则m=. (提示: 设y=3x2+mx-2,由题设可知x=-时y>0,且x=时y>0.答案: 4) 5、已知函数y=(a+2)x2-2(a2-1)x+1,其中自变量x为正整数,a也是正整数,求x为何值时,函数值最小. (答案: x=(其中a为正整数),函数值最小. 6、已知关于x的方程x2-(2m-3)x+m-4=0的二根为α1,α2,且满足-3<α1<-2,α2>0,求m的取值范围. (答案: ) 7、已知关于正整数n的二次式y=n2+an(a为实数),若当且仅当n=5时,y有最小值,则实数a的取值范围是. (答案: -11 6
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- 二次 函数 竞赛 题型 及其 解题 策略