线性代数同济大学课后习题详解Word文件下载.docx
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(4)
x(xy)yyx(xy)
(xy)yxy3
(xy)3
x3
3xy(xy)
y3
3x2yx3
2(x3
y3)
按自然数从小到大为标准序次
求以下各摆列的逆序数
(1)1234
逆序数为0
(2)4132
逆序数为4
41
43
42
32
(3)3421
逆序数为5
32
42
41,21
(4)2413
逆序数为3
21
43
(5)13
(2n
1)2
(2n)
解逆序数为n(n1)
32(1个)
52
5
4(2
个)
72
7
76(3
个)
(2
n1)2
1)4(2n1)6
(2n1)(2n2)(n1
(6)13
n1)
(2n)(2n
2)
逆序数为n(n
2(1
4(2
n
1)4
(2n1)6
1)(2n2)(n1
6
n)2
(2n)4
(2n)6
(2n)(2n
2)(
n1个)
3写出四阶队列式中含有因子a11a23的项解含因子a11a23的项的一般形式为
1)ta11a23a3ra4s
此中rs是2和4组成的摆列
这类摆列共有两个
即24和42
所以含因子a11a23的项分别是
1)t
aa
aaaa
1123
3244
11233244
112332
44
1)ta11a23a34a42
1)2a11a23a34a42
a11a23a34a42
4计算以下各队列式
4124
(1)1202
10520
1117
24
c2c3
12
10
202
7c
14
17
4110
122
(1)43
10314
110
c2
c3
9
c1
12c3
171714
2141
(2)3121
1232
5062
41cc
40
rr
121
122
30
62
r
00
abacae
(3)bdcddebfcfef
ab
ac
ae
b
e
解bd
cd
de
adfb
bf
cf
ef
4abcdef
adfbce1
a100
(4)1b10
01c1
001d
a1
rar
1ab
a0
1b
21b
1d
1)(
0c3dc21
ad
1)21
1cd
21
abcd
cdad
11cd
5证明:
a2
b2
(1)2aab
2b(ab)
3;
证明
abb2c2
c1a2aba2b2a2
2a
b2b
ba
2b2a
1c3
c11
(1)31ab
(ba)(b
a)a
a(ab)
2b
axbyay
bzaz
bx
z
(2)aybzazbxaxby(a3b3)yzx;
azbxaxbyaybzzxy
ax
byay
ay
by
az
bxax
bz
xay
yay
ay
bzaz
xax
bzz
zaz
a2yaz
b2z
zax
yz
a3y
b3zx
b3y
xyz
(a3b3)yzx
d
d2
a4
b4
c4
d4
(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd);
zxy
(a
1)2
2)2
(b
(3)
(c
(d
d2
32a
2c
2d
12d
32d
22
3)2
55(c4
0;
(c4c3c3c2c2c1得)
c3c3c2得)
1111
abcd
a2b2c2d2
a4b4c4d4
b(b
a)
c(c
d(d
0b2(b2a2)c2(c2a2)d2(d2a2)
(ba)(ca)(da)bcd
b2(ba)c2(ca)d2(da)
a)(ca)(da)0
db
b)(c
ba)d(d
b)(dba)
a)(ca)(da)(cb)(db)c(cba)d(d
ba)
=(
ab
ac
ad
bc
bd
cd
(5)
1n1
n1
ax
anan1an2
a2xa1
证明用数学概括法证明
当n
2时
D2
a1xa2
命题建立
假定对于(n
1)阶队列式命题建立
即
n2
D
则n按第一列睁开
有
xD
a
(1)n1x
xDn
an
anxan
所以
对于n阶队列式命题建立
设n阶队列式D
det(aij
),把D上下翻转、或逆时针旋转
90、或依副
对角线翻转
挨次得
an1
ann
a1n
D1
D2a
11
1n
n1
anna1n
D3
an1a11
n(n1)
证明D1D2
(1)2DD3
因为Ddet(
aij)
a11
n1an1
a21
a2n
1)n1(
1)n2an1
a31
a3n
n(n
1)12
(n2)
(n
1)D
(1)2
同理可证
n(n
1)a11
D2
(1)2
(1)2DT
(1)2D
D
(1)
2D
(1)2
(1)2D
(1)n(n1)DD
计算以下各队列式(k为
k
阶队列式)
(1)Dn
此中对角线上元素都是a
未写出的元素都是0
Dn
(按第n行睁开)
1)n10
0(n1)(n1)
1)2na
a(n1)
(n1)
(1)n1
(1)n
anan2an2(a2
a(n2)(n2)
(2)
a;
将第一行乘(
1)分别加到其他各行
得
xx
Dna
xa
再将各列都加到第一列上
x(n
1)a
]()n1
0xa
[
axa
0x
1)n
n)n
Dn1
an1
1)n1
n)n1
;
依据第6题结果
此队列式为范德蒙品德列式
[(a
i1)
(aj
1)]
i
j1
n(n1)
(i
j)]
j
n(n1)
j)
1ij1
(ij)
n1ij1
bn
D2n
a1
b1
d1
cndn
(按第1
行睁开)
bn1
cn1
dn1
dn
1)2n1bn
dn1
cn
再按最后一行睁开得递推公式
DadD
bcD
adbcD
2n
nn2n
nn2n2
即2n
nnnn)2n2
bici)D2
于是
(aidi
而
a1d1b1c1
bici)
det(aij)
此中aij
|ij|;
|i
j|
ij
det(aij)
1n
2n
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