最新超全中考数学备考之相似三角形Word文件下载.docx
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;
(2)求证:
AE2:
AC・EC、
【解析】此题为利用'
黄金三角形"
证明相似,再运用相似三角形对应边成比例解决几条线段长乘积柜等的问题。
〔1〕由线段垂直平分线的性质可得EA=EB,进而可求出nABC=nC,易求解.〔2〕先由〔1〕的结论可证得SBCdBEC,根据比例即可证明.
【答案】证明:
〔1〕「DE是AB的垂直平分线,
「AB二AC,zA=36°
/.zABC=zC=72°
.
/.zCBE=zABC-zEBA=36°
⑵由〔1〕得,在^BCE中,nC=72°
/.zBEC=zC=72°
z/.BC=BE=AES
在SBC与YEC中,zCBE=zA,zC=z
."
ABJBEC、.嚏=If
即BC2=AC・EC、故AE2=AC・EC、
2.相似三角形与四边形
[1]相似二角形与平行四边形〔含矩形、
A□AD
[2]相似三角形与梯形
J5.DAn
FC
[3)直角二角形与矩形〔含止力形〕:
•1
zc,
麦形、止方形〕:
Hz<
\p
A^DEB
以上为相似三角形与四边形结合的常考图形,下面将例题形式展示。
【例2】[2018广州10)如图,在口ABCD中,AB=6,AD=9,zBAD的平
分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,BG,AE,垂足为G,BG=4&
,那么aCEF的周长为〔〕
A、8B、9.5C、10D、11.5
【解析】此题为典型的相似三角形与平行四边形的结合。
在。
ABCD中,AB=CD=6,AD=BC=9,zBAD的平分线交BC于点E,可彳导4ADF是等月要三角形,AD=DF=9;
3BE是等腰三角形,AB=BE=6,所以CF=3;
5EMBG中,BGJLAE,AB=6,BG=4亚,可彳导AG=2,又4ADF是等月要三角形,BG_lAE,所以AE=2AG=4,所以3BE的周长等于16,又由。
ABCD可得aCEFiBEA,相似比为1:
2,所以aCEF的周长为8,因此选Ao
【答案】A
【例3】[2018巴中〕如下图,在梯形ABCD中,ADIIBC,点M是AD的
中点.连接BM交AC于N.BM的延长线交CD的延长线于E、
[1]求证:
里=型;
EBBC
〔2〕假设MN=lcm,BN=3cm,求线段EM的长.
【解析】此题为相似三角形与梯形结合考查。
⑴由于ADIIBC,易证得^MED
一△BEC;
得
I=挈;
AM=MD,代换相等线段后即可得出此题要证的结论,〔2〕按照〔1〕
的方法,可由AMIIBC,得出兽=黑=日,再联立⑴得出的比例关系式,BCBNEB
可列出关于EM的方程,即可求得EM的长.
【答案】〔1〕证明:
•.ADllBC,「.△MEDiBEC,
.EM_MD
'
EB-BC-f
又是AD的中点,
..AM;
MD,
.EM_AM
*'
EB-BC'
⑵解:
•.•△AMN^CBN,
.AM_MN_EM.EM_1
-'
BC-BN-EBz-'
EB"
3
又「EB=ME+MB,
MB=BN+NM=4cm,
【例4】[2018广东22〕正方形ABCD边长为4,M、N分别是BC、CD上
的两个动点,当M点在BC上运动时,保持AM和MN垂直.
〔1〕证明:
RfABMsRfMCN;
(2)第⑵题略;
(3)当M点运动到什么位置时RfABMsRfAMN,求此时x的值.
【解析】〔1〕为'
三垂直〃模型直接应用,了这两个三角形中一组对应角为直角,而/BAM和nNMC都是nAMB的余角,因此这两个角也相等,据此可得出两三角形相似.
〔3〕了这两个三角形中柜等的对应角是/ABM和nAMN,如果要想使RfABMsRfAMN,那么两组直角边就应该对应成比例,即第=当,根据〔1〕的相MNBM
似三角形可得出第=学,因此BM=MC,M是BC的中点,即x=2.MNMC
【答案】
[1]证明:
在正方形ABCD中,AB=BC=CD=4,zB=zC=90°
•/AM±
MN,
/.zAMN=90°
/.zCMN+zAMB=90°
在RfABM中,zMAB+zAMB=90°
z
/.zCMN=zMAB,
」.RfABMsRfMCN.
⑶解:
vzB=zAMN=90°
.•・要使△ABM-aAMN,必须有更=—,AMMN
由⑴知以=竺,
MNMC
AB_AB
BM"
MC#
...BM=MC,
3.相似三角形与圆
以上两图常见于相似三角形与圆结合考查的题目中,左图应用到同弧所对的圆周角柜等,右图实际上是圆内部的一个双垂直图形,利用直径所对的圆周角为直角。
接下来请看例题。
【例5】(2007肇庆22]如图,是SBC的外接圆,CD是AB边上的
高,AE是OO的直径,求证:
AC・BC=AE・CD、
【解析】此题考查同弧所对的圆周角相等以及直径所对的圆周角为直角。
看到要求边长的乘积等量关系,第一反应即是将乘法转换成边的比例。
于是将
AC・BC=AE・CD可转变为坐=坐,找到此4条边对应的三角形〔连接EC〕,证
明即可。
连接EC,
/.zB=zEs
.•.AE是。
。
的直径,
/.zACE=90°
「CD是AB边上的高,/.zCDB=90°
在3EC与KBD中,zE=zB,zACE=zCDB,
/.△AEC-aCBDs
.AE_AC
BC-CD*
即AC・BC二AE・CD、
【例6】[2018黔东南州〕如图以3BC的边BC为直径作O。
分别交AB,
AC于点F.点E,AD±
BCTD,AD交于。
于M,交BE于H.
求证:
DM2=DH・DA、
【解析】此题考查的是双垂直模型在圆中的应用,看到有直径,有垂直直径的辘和想到这个模型。
要证明DM2=DH・DA,即鳄噎,但此比例式并非两个相似三角形中对应线段比例式,故利用双垂直模型进行转换,先连接DM、CM,证明^DMiMDC,得到黑=约得到
MDCD
MD2=BD-CD,再证明△BD2ADC,即=叫,BD-CD=DH-DA,再用
ADDC
等量代换即可。
连接BM,CM,・・・BC为O。
直径,/.zBMC=zBEC=90°
f-/MD±
BC,・・.nC+nCMD=90。
,\zCMD+zBMD=90°
/.zMCD=zBMD,zMDC=zMDB=90°
「.△BDMiMDC,.•.2=—,.•.MD2=BD・CD,MDCD
\zAHE=zBHD,zAEH=zHDB=90°
・・.nDBH=nDAC,zBDH=zADC=90°
f."
BDHsADC,.微4,BD・CD=AD・DHf/.DM2=DH>
DAS
4.相似三角形与函数
相似三角形与函数结合,往往难度较大,出现在中考较靠后的解答题中,
也是中考考察的一大专题。
本文暂只举两个例子说明。
【例7】〔2018广州23〕反比例函数y二三(m为常数)的图象经过点A〔・
1,6].
(1)求m的值;
〔2〕如图9,过点A作直线AC与函数y二厘的图象交于点B,与x轴
X
交于点C,且AB=2BC,求点C的坐标.
【解析】此题难度不大为反比例函数与相似三角形结合考查的是'
A字型〃。
出现AB=2BC,实际上就是边长的比例关系,于是分别过点A、B作x轴的垂
线,垂足分别为点D、E,得到相似三角形从而求解。
【答案】解:
⑴.•.图像过点A(-1,6),胃=6./.m=2;
(2)分别过点A、B作x轴的垂线,垂足分别为点D、E,
由题意得,AD=6,OD=1Z易知,ADllBE,
「.△CBEiCAD,,”些.
CAAD
・「AB=2BC,.•.又」
CA3
-1BE・np_q
36
即点B的纵坐标为2
当y=2时,x=-3,易知:
直线AB为y=2x+8,
•.C(-4,0)
【例8】如图,抛物线的方程Ci:
y二二(x+2)[x-m][m>
0]与x轴相交m
于点B、C,与y轴相交于点E,且点B在点C的左侧.
〔1〕假设抛物线Cl过点M〔2,2〕,求实数m的值;
⑵⑶略;
〔4〕在第四象限内,抛物线Ci上是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与3CE相似?
假设存在,求m的值;
假设不存在,请说明理由.
图1图2
【解析】〔1〕将点〔2,2〕的坐标代入抛物线解析式,即可求得m的值;
(4)本问要使得以点B、C、F为顶点的三角形与YCE相似,没说明对应顶点,顾要分类讨论,又由于根据条件,zBEC为钝角,当点F在第四象限的抛物线上时,zBCF为钝角,故nBEC二nBCF,为对应角。
于是本问需分两种情况进行讨论:
①当△BEC^BCF时,如答图1所示,有fl=*.此时可求得m=2V2+2;
BCBF
②当ABECs阡CB时,如答图2所示,有能=底.此时可以得到矛盾的等式,BFBC
故此种情形不存在.
〔1〕依题意,将M〔2,2〕代入抛物线解析式得:
2=-1〔2+2〕[2-m],解得m=4.
m
〔4〕①当△BECs^BCF日寸,如图1喷.
那么巴=四,,BC2=BE・BFBCBF
由〔2〕知B〔-2,0〕,E〔0,2〕,即OB=OBz/.zEBC=45°
/.zCBF=45°
作FT_Lx轴于点F,那么BT=TF.
.•可令F〔x,-x-2〕〔x>
0〕,又点F在抛物线上,
-x-2=--〔x+2〕[x-m),,/x+2>
0「.x>
0],m
/.x=2m,F(2m,-2m-2].
此时BF=J(2m+2)。
+(-2m+2>
=2而m+1),BE=2&
BC=m+2,
又BC2=BE・BF,〔m+1〕2=2桓•2网(m+1),
,m=2±
2尼,
•/m>
0,,m=2亚+2.
②当△BECs^FCBH寸,女口图2.
那么里=巴,,BC2=EC・BF.
BFBC
同①,•.nEBC=nCFB,沏…灯,”=里,,
—BT0Cm
.■可令F〔x,,[x+2]][x>
0)m
又点F在抛物线上,「「a〔x+2〕=1〔x+2〕〔x-m〕,
mm
\x+2>
0(/x>
0],
/.x=m+2,.二F(m+2,--〔m+2〕〕,EC=Vm2+4,BC=m+2,
又BC2=EC・BF,〔m+2〕2=•J(ra+2+2)2+
vnr整理得:
0=16z显然不成立.
综合①②得,在第四象限内,抛物线上存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与^BCE相似,m=m=2亚+2.
以上为相似三角形板块与中考结合考法的简要说明,希望对大家复习能够有所帮助。
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